1 сем / Lecture_alg._2

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ЛЕКЦИЯ № 2

Содержание:

Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков Определители n-го порядка

Миноры и алгебраические дополнения Свойства определителей Методы вычисления определителей

Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков

С каждой квадратной матрицей можно связать число, определитель матрицы, вычисляемый из элементов матрицы по определенным правилам. Для обозначения определителей будем использовать

выражения A, det A, .

Рассмотрим вначале правила вычисления определителей 1-го, 2-го и 3-го порядков.

Пусть A - квадратная матрица 1-го порядка, т.е. A (a) .

Определителем числа является само это число, т.е. A a .

Решение.

A 3 4 1 ( 2) 14

Ответ. A 14

Пусть A - квадратная матрица 3-го порядка, т.е.

1

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Для вычисления определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольника при определении знака слагаемого.

Решение. Воспользуемся правилом треугольников для вычисления определителя матрицы.

A 1 3 1 ( 1) 1 ( 2) 0 2 0 0 3 ( 2) ( 1) 2 1 1 1 0 7

Определители второго и третьего порядка являются алгебраической суммой произведений элементов матрицы. Половина слагаемых имеет знак «+», а половина «–». Каждое слагаемое – это произведение элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца.

Если у каждого слагаемого определителя расположить сомножители в порядке возрастания индексов строк, то вторые индексы образуют различные перестановки из двух, трех и т.д. чисел в зависимости от порядка определителя.

Существует n! различных перестановок чисел 1,2,3,…,n. К примеру, если n=3, то 3!= 2 1=6. Число слагаемых в определителе равно

котором большее число оказывается левее меньшего. Если число инверсий в перестановке вторых индексов четное, то слагаемое входит в определитель со знаком «+», иначе со знаком «–».

Определитель n-го порядка.

2

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Перестановками называют множества, состоящие из одних и тех же элементов и отличающиесятолько порядком расположения этих элементов.

Рассмотрим формулу для вычисления определителя 3-го порядка:

Расположим множители каждого слагаемого так, чтобы номера первых индексов шли в порядке возрастания. Тогда вторые индексы образуют различные перестановки из этих же номеров.

К примеру, в слагаемом a11a22a33 и первые и вторые индексы дают одинаковую перестановку (1, 2, 3), в которой номера следуют в порядке

возрастания, а в слагаемом a12a23a31 первые индексы следуют в порядке возрастания, а вторые индексы дают перестановку (2, 3, 1).

Определителем квадратной матрицы n-го порядка называется число, равное алгебраической сумме n! слагаемых. Каждое слагаемое является произведением n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца матрицы. Слагаемое имеет знак «+», если число инверсий в перестановке вторых индексов четное, и знак «–», если число инверсий нечетное, при условии, что первые индексы расположены в порядке возрастания.

Число слагаемых у определителей, порядок которых выше трех, быстро возрастает. К примеру, число слагаемых у определителей 4-го порядка равно 4!= 4 3 2 1=24, число слагаемых у определителей 5-го порядка 5!= 5 4 3 2 1=120 и т.д.

Вычисление определителей порядка выше третьего превращается в очень трудоемкую задачу. При практических расчетах пользуются свойствами определителей. Для их рассмотрения нужны новые понятия.

Миноры и алгебраические дополнения.

Минором M ij элемента aij матрицы n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из элементов матрицы A после вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.

Пример.

3

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Свойства определителей.

1. A = AT , т.е. при вычислении определителя строки и столбцы матрицы обладают одинаковыми свойствами. Будем в дальнейшем и строки, и столбцы называть рядами.

2. Теорема Лапласа.

а) Для любой строки матрицы

Отметим, что результаты вычисления определителя разными способами совпадают.

Следствия теоремы Лапласа

4

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

-определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов

-если какой-либо ряд матрицы равен нулю, то ее определитель тоже равен нулю

-если какой-либо ряд матрицы домножить на одно и то же число, то ее определитель умножится на то же число.

3. При перестановке двух рядов матрицы ее определитель меняет знак.

Пример.

полученной из матрицы A перестановкой строк.

A=4-6=-2, A1 =6-4=2.

4.Если матрица A имеет два одинаковых ряда, то ее определитель равен нулю.

Доказательство.

Пусть матрица A1 получена из матрицы A путем перестановки

двух равных рядов. Так как ряды равны, то A1 = A , но по свойству

3 A1 =- A .

Это возможно только если A1 = A =0.

5.Если элементы двух рядов матрицы пропорциональны, то ее определитель равен нулю.

6.Определитель матрицы не изменится, если ко всем элементам какого-либо ряда прибавить соответствующие элементы другого ряда, домноженные на одно и то же число.

7.Сумма произведений любых чисел b1,b2 ,...,bn на алгебраические дополнения к элементам какого-либо рада матрицы A равна определителю матрицы, полученной из матрицы A заменой этого

ряда на числа b1,b2 ,...,bn .

8. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей.

AB = A B B A BA .

Метод обнуления для вычисления определителя матриц.

Метод основан на свойстве 6 для преобразования матрицы к такому виду, чтобы какой-либо ряд имел все нулевые элементы кроме одного. К элементам этого ряда применяется теорема Лапласа.

Пример.

5

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

обнуления.

Прибавим к элементам второй строки элементы первой строки, умноженной на 3, а к элементам третьей строки элементы первой строки, умноженные на (-5).

6