Добавил:

ANRAKHA anrakhmanowa@yandex.ru Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

1 сем / Lecture_alg._3матричные уравнения

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.06.2023

Размер:

366.04 Кб

Скачать

☆

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ЛЕКЦИЯ № 3

Содержание:

Теорема об обратной матрице Решение матричных уравнений Ранг матрицы

Теорема об обратной матрице

называется

Пусть

- квадратная матрица. Напомним, что обратной к

матрица

, удовлетворяющая условиям

A E

, где

- единичная

матрица.

называется невырожденной,

если ее определитель не равен

Матрица

нулю.

Теорема.

Для того, чтобы квадратная матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Доказательство.

1. Необходимость.

Пусть матрица	A	имеет обратную	A	1	. По определению	AA	1	E	. По

свойству 8 определителей A A 1 A A 1 E 1. Следовательно,

A	1	0
	1
			.
		2. Достаточность.

A 0

Пусть

A 0

A ...

n 2

... ... ... ...

A ...

Построим матрицу

2 n

Матрицу

называют присоединенной к матрице A .

A является обратной к матрице

Покажем, что матрица

выполняются условия

A A = A

A = E . Действительно,

a ...

...

a ...

...

... ... ...

...

... ...

...

A =

A ,i j

ai1 Aj1 ai 2 Aj 2

... ain Ajn

0,i

j .

так как по теореме Лапласа

A	,

0 0 A 0

т.е.

0 0 0 A

для нее







=	E	,
	E

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

А Е

Аналогично доказывается, что

Решение матричных уравнений

Рассмотрим уравнения

1) AX B

2) XA B

В данных уравнениях A - квадратная матрица, X и B - матрицы, имеющие

размеры, при которых возможны операции

или XA . Считается, что A и B -

известные матрицы, а элементы матрицы X надо найти. Для этого умножим обе

части уравнения на

1) A

= A

2) XA A

EX A 1 B ;

X A 1 B

XE BA 1 ;

Х BA 1

То есть для решения матричного уравнения надо найти обратную матрицу, а затем умножить её на матрицу, стоящую в правой части уравнения.

Пример. Найти матрицу, обратную к матрице

	2	1	1
	A 0	1	1 6 3 3 2 2
1.	3	1	3
1.

	2	1	1

A	0	1	1
	3	1	3
	3	1	3

A11		1		1	4;		A		0		1		3;		A			0		1		3;
2.		1		3			12		3		3				13			3		1
							12								13

A			1	1	2;		A	2		1	3;			A		2		1		1;
A					2;		A				3;			A						1;
21			1	3			22	3		3				23		3		1
			1	3				3		3						3		1
A		1		1	2;		A		2		1		2;		A		2		1		2.
A					2;		A						2;		A						2.
31		1		1			32		0		1				33		0		1
		1		1					0		1						0		1
									4		2			2
							~		3
							A		3			3		2
										3		1		2
										3		1		2

						4	2	2						2	1	1
1		1		~	1	3	3		2				1.5		1.5
A			.A			3	3		2				1.5		1.5			1 .
		A			2
		A			2	3	1		2				1.5		0.5			1
3.						3	1		2				1.5		0.5			1


Ранг матрицы
Пусть	A		- матрица размера m n. Выделим в этой матрице любые

и k столбцов.

строк

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Минором

M	k

- го порядка матрицы

называют определитель,

составленный из элементов, стоящих на пересечении			k	строк и	k	столбцов этой
составленный из элементов, стоящих на пересечении				строк и		столбцов этой
матрицы.
Рангом матрицы называют число, равное наибольшему порядку миноров
этой матрицы, отличных от нуля.
Обозначим ранг матрицы A rang ( A) или r( A).
Из определения следует, что
1.	r( A) min( m, n)
1.
2.	r( A) 0 A	0.
2.		0.

3.Ранг квадратной матрицы размера n n равен n только если матрица невырожденная.

4.Ранг диагональной матрицы равен числу её ненулевых элементов.

							0	1	0
							0	2	0
							0	2	0
					A
							0	3	0
							0	3	0

							0	4	0
Пример. Определить ранг матрицы							0	4	0
Пример. Определить ранг матрицы
Решение.
1.	r( A) 4	, но т.к.	A 0	, то	r( A) 4	r( A) 3.
	r( A) 4				r( A) 4	r( A) 3.

	2
	4
	4
	6
	6

	8
	8

2.Все миноры третьего порядка равны нулю, т.к. содержат нулевые ряды. Следовательно r( A) 3 r( A) 2.

3.Все миноры второго порядка равны нулю, т.к. содержат или нулевые ряды или пропорциональные ряды. Следовательно r( A) 2 r( A) 1.

4.Матрица имеет ненулевые элементы. Значит, r( A) 1.

Вычисление ранга матрицы на основе определения является очень трудоёмкой задачей. Более эффективным является способ вычислений с помощью элементарных преобразований.

Элементарными называют следующие преобразования матрицы.

1.Перестановка рядов матрицы.

2.Умножение всех элементов ряда на одно и то же число, неравное нулю.

3.Удаление из матрицы или приписывание к ней ряда, состоящего из нулей.

4.Транспонирование матрицы.

5.Прибавление к каждому элементу ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Теорема. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы. Способ вычисления ранга матрицы основан на том, чтобы с помощью

элементарных преобразований превратить матрицу в диагональную.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

		1	2	3	4

	r	2	1	4	3
		1	2	3	1
Пример. Вычислить		1	2	3	1

Решение

Умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к соответствующим элементам второй строки, а также элементы первой строки прибавим к

соответствующим											элементам	третьей
		1	2	3	4		1		2	3	4
						r			3	2
	r	2	1	4	3	r		0	3	2	5 .

		1	2	3	1			0	4	6	5
строки		1	2	3	1			0	4	6	5

Прибавляя поочерёдно элементы первого столбца ко второму, третьему и четвёртому столбцу, предварительно умножая на (–2), (–3) и (–4) соответственно, получим…

	1	2	3	4
		3	2	5
r	0	3	2	5
	0	4	6	5
	0	4	6	5

Разделим элементы

	1	0	0	0
		3	2	5
r	0	3	2	5
	0	4	6	5
	0	4	6	5	.
					.

2-го столбца на 2, а элементы 3-го столбца на 5:

	1		0	0	0		1		0	0	0
			3	2	5	r			3	1
r		0						0			1 .

		0	4	6	5			0	4	3	1

Прибавим элементы третьей строки к элементам второй строки:

	1		0	0	0		1		0	0	0
r		0	3	1	1	r		0	1
										2	0 .

		0	4	3	1			0	4	3	1

Прибавляя поочерёдно элементы четвёртого столбца к третьему и второму столбцу, предварительно умножая на (–3) и (–4) соответственно, получим…

1		0	0	0	1		0	0	0

r	0	1	2	0	r	0	1	2	0
	0	4	3	1		0	0	0	1
	0	4	3	1		0	0	0	1

Прибавив элементы 2-го столбца, умноженные на (–2) к элементам третьего столбца, а затем удалив нулевой столбец, получим…

1		0	0	0	1		0	0	0	1		0	0

r	0	1	2	0	r	0	1	0	0	r	0	1	0	3.
	0	0	0	1		0	0	0	1		0	0	1
	0	0	0	1		0	0	0	1		0	0	1

Ответ. r( A) 3.

Соседние файлы в папке 1 сем

#
16.06.2023216.11 Кб3IMG_20221112_215733.jpg
#
16.06.2023243.18 Кб3IMG_20221112_215749.jpg
#
16.06.2023215.51 Кб3IMG_20221112_215758.jpg
#
16.06.2023299.14 Кб9Lecture_alg.1.pdf
#
16.06.2023319.62 Кб8Lecture_alg._2.pdf
#
16.06.2023366.04 Кб5Lecture_alg._3матричные уравнения.pdf
#
16.06.2023318.82 Кб5Lecture_alg._4.pdf
#
16.06.2023444.17 Кб5Lecture_alg._5 метод Гаусса.pdf
#
16.06.2023337.7 Кб6Lecture_alg._6.pdf
#
16.06.2023979.56 Кб6Отчет №1 (2).docx
#
16.06.20231.14 Mб6Отчет №1.docx