1 сем / Lecture_alg._4

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ЛЕКЦИЯ № 4

Содержание:

Системы линейных уравнений Матричная форма записи системы линейных уравнений

Условия совместности системы линейных уравнений

Системы n линейных уравнений с n неизвестными, формулы Крамера

Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы

Системы линейных уравнений

Общие понятия.

Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид

коэффициентами при неизвестных и свободными коэффициентами. Решением системы уравнений называется совокупность из n чисел, при

подстановке которых вместо неизвестных x1, x2 ,..., xn все уравнения превращаются в тождества.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной в противном случае.

Решить систему – значит найти все ее решения или доказать, что решения

нет.

Примеры.

x1 10, x2 10

2x1 x2 10

3)4x1 2x2 20 - система совместна и имеет бесчисленное множество

решений.

Две системы называются равносильными или эквивалентными, если множества их решений совпадают.

Матричная форма записи системы линейных уравнений

1

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Матрицу A называют матрицей коэффициентов при неизвестных или матрицей системы.

Матрицу A1 называют расширенной матрицей системы, она содержит всю информацию о системе линейных уравнений.

Вектор B - это вектор свободных коэффициентов, а вектор X - вектор неизвестных.

Найдем произведение A X .

В результате получим

A X = B . (2)

Уравнение (2) называют системой линейных уравнений в матричной форме.

Условия совместности систем линейных уравнений

Теорема Кронекера-Капелли.

Если r( A) r( A1 ) , то система (1) несовместна.

Если r( A) r( A1 ) , то система (1) совместна, при этом

а) если r( A) n ( n -число неизвестных), то решение единственное;

б) если r( A) n , то решений бесчисленное множество.

Пример. Выяснить условия совместности системы, не решая её, если

Ответ. Система имеет единственное решение, т.к. r( A) r( A1) n

2

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Применим теорему Кронекера-Капелли для решения так называемой однородной системы линейных уравнений.

Система линейных уравнений называется однородной, если все её свободные коэффициенты равны нулю. В этом случае ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы, т.к. добавление нулевого столбца не меняет ранга матрицы. Поэтому однородная система всегда имеет решение

x1 0; x2 0;...; xn 0 . Нулевое решение единственное, если матрица системы невырожденная, в противном случае однородная система имеет бесчисленное множество решений.

Теорема Крамера.

Если определитель системы линейных уравнений отличен от нуля

( 0) , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам

Формулы (3) называются формулами Крамера.

Доказательство.

Рассмотрим систему уравнений в матричном виде

AX B .

Так как 0 , то по теореме об обратной матрице существует обратная матрица

3

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

где Aij (i 1,...,n; j 1,...,n) - алгебраические дополнения к элементам матрицы A .

Решая матричное уравнение, получим X A 1 B ;

i A1i b1 A2i b2 ... Anibn - по формуле Лапласа, полученной при разложении определителя по столбцу с номером i .

Теорема доказана.

Пример. Решить систему, применяя формулы Крамера.

x1 1719 ; x2 1714 .

Проверка.

Ответ: x1 1719 ; x2 1714 .

Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы.

Пусть A - квадратная матрица. Рассмотрим уравнение вида

4

Произведём элементарные преобразования:

Уравнение A E 0 называется характеристическим.

Значения , являющиеся корнями характеристического уравнения, называются собственными числами матрицы A .

Ненулевые решения уравнения AX X ( - собственное число матрицы), называются собственными векторами матрицы A , соответствующими собственному числу .

Пример. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

Аналогично можно найти собственный вектор, соответствующий числу

2 4.

5