Добавил:

ANRAKHA anrakhmanowa@yandex.ru Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

1 сем / Lecture_alg._5 метод Гаусса

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.06.2023

Размер:

444.17 Кб

Скачать

☆

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ЛЕКЦИЯ № 5

Содержание:

Система линейных уравнений с базисом Элементарные преобразования системы линейных уравнений

Метод исключения неизвестных (метод Жордана-Гаусса) Вычисление обратной матрицы методом Жордана-Гаусса

Система линейных уравнений с базисом

Рассмотрим линейную систему, имеющую m уравнений и n неизвестных.

Будем называть её системой с базисом или канонической системой уравнений, если в каждом уравнении содержится неизвестное с коэффициентом, равным единице, отсутствующее во всех других уравнениях.

Такие неизвестные называют базисными, а все другие неизвестные называют свободными.

Примеры.

	x		x		x		5
		1		2		3
			x	x		2
1)			x	x		2
			2		3

В первом уравнении есть базисная переменная, это

, т.к. коэффициент

перед ней равен единице и						x	отсутствует во втором уравнении. Во втором
перед ней равен единице и						1	отсутствует во втором уравнении. Во втором
						1
уравнении базисной переменной нет.
	x	2x	x		1
	1	4		5
	x 3x		x		5
	x 3x		x		5
	2	4	5
	x	x	x		0
2)	x	x	x		0
2)	3	4	5
	3	4	5
В каждом уравнении есть базисные переменные, это x1, x2 , x3 . Система
является канонической. Свободные переменные														x	, x	. Выразим базисные
является канонической. Свободные переменные														4	5	. Выразим базисные
														4	5
								x	1 2x		x
								1		4		5
								x	5 3x			x
								x	5 3x			x
								2		4			5
									x	x x
переменные через свободные.									x	x x
переменные через свободные.									3	4		5
									3	4		5

Если переменным x4 , x5 придать конкретные значения и по полученным

формулам вычислить x1, x2 , x3 , то получим решение системы в примере 2).Таких решений бесчисленное множество.

Свойства систем с базисом.

1.В системе с базисом всегда число уравнений не превышает числа неизвестных, m n .

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

2.Если m n , то все переменные базисные, свободных переменных

						x			b
								1	1
							x		b
							x	2	b
								2	2
							.......... .
							.......... .

						x		n	b
нет, система с базисом имеет вид								n	n	. В этом случае решение
нет, система с базисом имеет вид										. В этом случае решение
единственное.						базисных имеется ещё
Если	m	<	n	, то в системе кроме	m	базисных имеется ещё					n m
	m		n		m						n m

свободных переменных. Предположим, что базисными являются

			переменные							x1, x2 ,..., xn , тогда система с базисом имеет
			вид
	x		a	x	...	a	x		b
	1		1,m 1	m 1		1n		n	1
	x		a	x		a		x	b
	x		a	x		a		x	b
	2		2,m 1	m 1		2n		n	2
	.......... .......... .......... .......... ........
	.......... .......... .......... .......... ........

x		a		x	...	a		x	b	.
	m		m,m 1	m 1		mn		m	m	.
	m		m,m 1	m 1		mn		m	m

Оставим базисные переменные слева, а свободные перенесём направо. Получим

	x	b a		x	...		a	x		n1
	1	1	1,m 1	m 1			1n			n1
	x	b	a	x			a		x
	x	b	a	x			a		x
	2	2	2,m 1 m 1				2n			n
	.......... .......... .......... .......... ........
	.......... .......... .......... .......... ........

x		b	a	x		...	a			x
	m	m	m,m 1 m 1				mn			m

.Эти выражения для базисных переменных

задают общее решение системы.

Общим решением системы с базисом называют совокупность

переменных (	x	, x	,..., x		), в которой базисные переменные выражены через
	1	2		n

свободные, а свободные переменные могут принимать любые значения. В рассмотренном ранее примере общее решение имеет вид

x	1 2x			x
1			4			5
x	5 3x				x
x	5 3x				x
2			4			5
	x	x	x				x	x
	x	x	x				x	x
	3	4			5		4	5
						,	4	- любое число, - любое число.
						,		- любое число, - любое число.

Частным решением системы уравнений с базисом называют любое решение, полученное из общего при определённых значениях свободных переменных.

Положим в нашем примере	x	1, x	1	, тогда частное решение примет вид
Положим в нашем примере	4	5		, тогда частное решение примет вид
	4	5
x
(0; -9; 2; 1; 1).

Если в системе есть свободные переменные, то она имеет бесчисленное множество частных решений.

Базисным называют частное решение, в котором все свободные переменные равны нулю.

В нашем примере базисное решение имеет вид x (1; -5; 0; 0; 0). Заметим, что базисные переменные равны свободным коэффициентам

системы.

Выводы.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА


В системах с базисом всегда			m n	.

Система с базисом всегда имеет решение.
Если	m n	, то решение единственное.

Если m < n		, то решений бесчисленное множество.

Элементарные преобразования системы линейных уравнений

Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений. Если бы нам удалось преобразовать эту систему в равносильную ей систему с базисом, то вопрос обо всех её решениях был бы решён. Действительно, все решения системы с базисом находятся очевидным образом, а так как система с базисом равносильна данной, то найденные решения были бы и решениями исходной системы.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называют преобразования, приводящие к равносильной системе.

К элементарным преобразованиям относятся следующие преобразования:

1)	перестановка любых уравнений;
2)	умножение обеих частей любого уравнения на одно и то же число,
	отличное от нуля;
3)	удаление из системы или присоединение к системе уравнения вида
	0 x	0 x	... 0 x 0
	1	2	n

4) замена одного из уравнений системы на его сумму с другим уравнением той же системы, умноженным на некоторое число.

Замечания.

1.Элементарные преобразования системы не меняют ранга матрицы системы и ранга расширенной матрицы системы.

2.В процессе преобразований какое-либо уравнение может

превратиться в уравнение вида				0 x	0 x	... 0 x	b	. В этом случае возможны
превратиться в уравнение вида				1	2	n		. В этом случае возможны
				1	2	n
варианты:
а)	если	b 0	, то всё уравнение можно отбросить, не нарушая
а)	если		, то всё уравнение можно отбросить, не нарушая
равносильности системы;
б)	если	b 0	, то исходная система не имеет решений, т.к. ни для каких
б)	если		, то исходная система не имеет решений, т.к. ни для каких

значений

x	,
1

x	,..., x	нельзя добиться равенства	0
2	n

Метод исключения неизвестных

b	, если	b 0	.

(метод Жордана-Гаусса)

Основная идея метода состоит в том, что с помощью элементарных преобразований любую линейную систему можно либо превратить в равносильную ей систему с базисом, либо убедиться в том, что система несовместна. Алгоритм метода состоит из отдельных шагов. На каждом шаге в одном из уравнений выделяется базисное неизвестное с коэффициентом, равным единице, которое исключается из всех остальных уравнений.

Шаги повторяются до тех пор, пока или в каждом уравнении будет базисное неизвестное, или встретится противоречивое уравнение вида 0 b,b 0 .

В процессе исключения могут появиться уравнения вида 0 0 , которые следует отбрасывать.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Уравнение, в котором предполагается выделение базисного неизвестного, будем называть ключевым уравнением, а отличный от нуля коэффициент при этом неизвестном ключевым элементом.

Каждый шаг исключения состоит из двух преобразований:

1)деление ключевого уравнения на ключевой элемент;

2)прибавление ключевого уравнения, умноженного на подобранное определённым образом число, ко всем другим уравнениям. Число подбирается так, чтобы исключить базисное неизвестное из всех других уравнений, кроме ключевого.

Пример.

2x1 3x2 x3 4				: 2
	2x2	2x3	5
3x1				1) в качестве ключевого уравнения выберем

первое

уравнение, ключевой элемент – коэффициент 2 при переменной Делим на 2 всё первое уравнение.

x	1.5x		0.5x		2	( 3)
1		2	3
3x		2x	2x	5
3x		2x	2x	5
	1	2	3

умноженное на (-3).

2) прибавим ко второму уравнению первое,

x			1.5x	2	0.5x			2
	1			2		3
		2.5x 3.5x				1
		2.5x 3.5x				1			В первом уравнении выделена базисная
			2		3

переменная						x	.
переменная						1	.
						1

Шаги исключения удобно производить, если система записана в так называемую таблицу Жордана. В левую колонку таблицы записываются базисные переменные (при условии, что в соответствующем уравнении базисная переменная есть), в остальные колонки записываются коэффициенты при неизвестных и свободные коэффициенты системы.

Таблица Жордана.

Баз.

…

am1

am 2

…

amn

Таблица Жордана для рассмотренного примера.

Баз.

-3

-1

-2

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА


x	1	-1.5		-0.5	2
1
	0		2.5	3.5	-1


x	1	0		1.8	1.6
1

x	0	1		1.6	-0.4
2

Запишем под первой таблицей следующие, полученные в результате шагов исключения. Нетрудно сформулировать правила перехода от одной таблицы к другой.

Правила перехода.

1.Выбрать в исходной таблице ненулевой коэффициент перед неизвестным. В нашем примере это коэффициент 2. Будем называть его ключевым, а соответствующий ему столбец будем называть опорным.

2.Выделить опорный столбец.

3.Элементы строки, содержащей ключевой элемент, поделить на этот элемент, результаты записать в соответствующую строку новой таблицы. Полученную строку называют опорной, выделить её. Слева записать название базисного элемента.

4.Все остальные элементы таблицы пересчитать по правилу

где

- ключевой элемент. Правило пересчёта

называют правилом двух перпендикуляров. Для получения числа

надо

из соответствующего элемента aij опустить перпендикуляры на опорную

строку и на опорный столбец и из

aij

вычесть произведение элементов,

стоящих в основании перпендикуляров.

Шаги повторяют до тех пор, пока в каждой строке не появится базисная

переменная или пока не будет получено противоречивое уравнение.

В нашем примере после двух шагов метода получим таблицу,

соответствующую системе с базисом

5 . Общее решение

любое _ число

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Вычисление обратной матрицы методом Жордана-Гаусса

Пусть

уравнения

- невырожденная квадратная матрица. Рассмотрим матричные

AX E (1)							и	EX A	1	(2) ,
AX E (1)							и	EX A		(2) ,
X - неизвестная квадратная матрица.
Очевидно, что уравнения (1) и (2) равносильны, т.е. с помощью
элементарных преобразований можно осуществить переход от одного
уравнения к другому.										A E . Затем
Метод основан на том, что составляется таблица вида										A E . Затем
методом исключений таблицу преобразуют так, чтобы в левой части
получилась единичная матрица					E	,	тогда из условий равносильности справа
					E
будет стоять обратная матрица.
				2	1		1
		A		1	2		0
		A		1	2		0
				3	0
				3	0		1
Пример. Пусть								.
Пример. Пусть								.
Построим обратную матрицу методом Жордана-Гаусса. Для этого
составим таблицу	A E		и выполним три шага преобразований, добиваясь,
составим таблицу			и выполним три шага преобразований, добиваясь,

чтобы слева получилась единичная матрица.

2	1	1 1	0	0	1

1	2	0 0	1	0	0
3	0	1 0	0	1	0
3	0	1 0	0	1	0

1	0	0 2		1	2

0	1	0	1	1	1
0	0	1	6	3	5
0	0	1	6	3	5	.
						.

Для проверки вычислим

		2	1	1	2
	1
A A	1	1	2	0		1
A A		1	2	0		1
		3	0			6
		3	0	1		6

0.5	0.5	0.5
2.5	0.5 0.5
1.5	0.5	1.5

						2
				1
			A	1			1
			A				1
							6
							6
A A	1	.
A A

1		2			1		0

1		1				0	1
3		5				0	0
3		5				0	0

0	0		1

1	0		0
0	1		0
0	1		0
1		2
1		1
1		1
3		5
3		5
0
	E
0	E

1

0	0.4		0.2	0
		0.4
	0.2	0.2
1			0.4	0
0	0.2	1.2	0.6	1

Соседние файлы в папке 1 сем

#
16.06.2023215.51 Кб3IMG_20221112_215758.jpg
#
16.06.2023299.14 Кб9Lecture_alg.1.pdf
#
16.06.2023319.62 Кб8Lecture_alg._2.pdf
#
16.06.2023366.04 Кб5Lecture_alg._3матричные уравнения.pdf
#
16.06.2023318.82 Кб5Lecture_alg._4.pdf
#
16.06.2023444.17 Кб5Lecture_alg._5 метод Гаусса.pdf
#
16.06.2023337.7 Кб6Lecture_alg._6.pdf
#
16.06.2023979.56 Кб6Отчет №1 (2).docx
#
16.06.20231.14 Mб6Отчет №1.docx