1 сем / Lecture_alg._6

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ЛЕКЦИЯ № 6

Содержание: Линейные операторы

Собственные числа и собственные векторы квадрвтной матрицы Квадратичные формы

Линейные операторы

Пусть X и Y – некоторые множества. Если задано правило, по которому каждому вектору x Х ставится в соответствие вектор y Y, то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение) F (x) ,

действующий из X в Y и записывают F : X Y или y F(x) . Пусть X и Y – линейные векторные пространства. Оператор называют линейным, если:

а) для a Х и b Х выполняется условие F(a b) F(a) F(b) ; б) для x Х и R выполняется условие F( x) F(x) .

Примеры.

1. Пусть X = Rn и Y= Rn ; F : y 3x. Выяснить, является ли оператор F линейным.

Решение. Проверим условие а). Пусть a и b произвольные векторы из пространства Rn , тогда F(a b) 3 (a b) 3 a 3 b F(a) F(b) , т.е. свойство а) выполняется.

Проверим выполнение условия б). Пусть x Rn , - любое число, тогда F( x) 3 ( x) (3x) F(x) , т.е. б) выполняется.

Следовательно, F - линейный оператор.

Выяснить, является ли оператор F линейным.

Решение. Проверим условие а). F (a b) a b c.

F(a) F(b) a c b c; F(a b) F(a) F(b) . Следовательно, F не является линейным оператором.

Проверим условие б) F( x) A ( x) Ax F(x) , т.е. свойство б) выполняется. Следовательно F - линейный оператор.

Замечание. Любой линейный оператор, отображающий Rn в Rm , можно представить в виде y Ax , где A - матрица размера m n .

1

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Пример. Пусть X=R3, Y=R2. F(x1, x2 , x3)=(3x1+ x3, 2x2–x1).

Исследовать оператор на линейность. Построить матрицу линейного оператора.

(3a1 a3 ,2a2 a1 ) (3b1 b3 ,2b2 b1 ) F (a) F (b)

2.Однородность

F( a) (3 a1 a3 ,2 a2 a1 ) F(a)

Покажем, что матрица линейного оператора имеет вид:

Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы

Пусть A - квадратная матрица. Рассмотрим уравнение вида

Произведём элементарные преобразования.

если матрица системы ( A E) невырожденная, система имеет единственное

нулевое решение. В противном случае, если определитель A E 0 , система имеет ненулевые решения.

Уравнение A E 0 называется характеристическим.

Значения , являющиеся корнями характеристического уравнения, называются собственными числами матрицы A .

Ненулевые решения уравнения AX X ( - собственное число матрицы), называются собственными векторами матрицы A , соответствующими собственному числу .

2

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Пример. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

Заметим, что такой способ задания квадратичной формы не является единственным. Тот же самый оператор можно представить в других видах.

f (x) 5x12 x1x2 4x22 ;

f (x) 5x12 3x1x2 4x2 x1 4x22 и т.д.

Запишем квадратичную форму таким образом, чтобы коэффициенты перед

3

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Любую квадратичную форму можно единственным способом представить как симметричную.

Матричная запись квадратичной формы.

Покажем, что в матричной записи квадратичная форма имеет вид f (x) xТ Ax .

Будем считать в дальнейшем, что матрица квадратичной формы является симметричной.

Квадратичные формы применяют при исследованиях функций многих переменных на экстремум. При этом важную роль играют так называемые положительно определённые и отрицательно определённые квадратичные формы.

Квадратичная форма f (x) xТ Ax называется:

-положительно определённой, если для любого ненулевого

вектора x выполняется условие f (x) 0 ;

-отрицательно определённой, если для любого ненулевого

вектора x выполняется условие f (x) 0 .

Теорема 1.

4

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Для того, чтобы квадратичная форма была положительно (отрицательно) определённой, необходимо и достаточно, чтобы все её собственные числа были положительными (отрицательными).

Теорема 2 (критерий Сильвестра).

Квадратичная форма f (x) xТ Ax положительно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы A положительны.

Квадратичная форма f (x) xТ Ax отрицательно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы A нечётного порядка отрицательны, а чётного порядка положительны.

Форма не является ни положительно, ни отрицательно определённой.

5