ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ЛЕКЦИЯ № 1
Содержание:
Предмет линейной алгебры Матрицы Виды матриц
Линейные операции над матрицами Умножение матрицы на матрицу
Предмет линейной алгебры
Объектами изучения линейной алгебры являются матрицы, определители, системы линейных уравнений, векторы и линейные векторные пространства. Основное прикладное значение имеет теория систем линейных уравнений, а матрицы и определители используются как удобный аппарат для описания линейных систем. Теория линейных систем широко используется в экономических расчетах и при построении моделей в экономической среде.
Матрицы.
Матрицей размера m n называют любую систему из расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей столбцов. Будем записывать матрицу в виде
m n чисел, m строк и n
|
|
|
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
. |
a21 |
a22 |
... |
a2 n |
|
|
|
|
|
... |
|
|||
m n |
|
|
... |
... |
... |
|
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am1 |
am 2 |
|
|
A =( aij ) i=1,…,m, j=1,…,n. |
|
|
|
|
... |
amn или кратко |
Числа aij , из которых состоит матрица, называются элементами матрицы. Первый индекс i означает номер строки, второй индекс j – номер столбца матрицы.
|
|
2 |
1 |
5 |
|
|
|
0 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|||
|
A |
1 |
2 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
11 |
8 |
|
Пример. Матрица |
|
имеет 4 строки и 3 столбца, т.е. |
размерность этой матрицы |
4 3. Общее количество элементов этой матрицы |
|||||||||||
равно |
|
|
12. |
|
|
Элементы |
|
этой |
матрицы: |
|||
a11 2; |
a12 1; |
|
a13 5;...; |
a41 3; |
a42 11; |
a43 8. |
|
|||||
Пусть даны две матрицы A и B равных размеров m n . |
|
|||||||||||
|
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
b11 |
b12 ... |
b1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
... |
a2 n |
|
b21 |
b22 ... |
b2 n |
|
|
|
A . |
... ... ... ... |
|
B . |
... ... ... ... |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
am1 |
am 2 |
|
|
|
|
bm1 |
bm 2 ... |
|
|
|
|
|
... |
amn и |
|
bmn |
|
||||||
1
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Две матрицы равных размеров называют равными, если равны их соответствующие элементы.
Матрица называется квадратной, если число строк совпадает с числом столбцов.
Все элементы квадратной матрицы a11, a22 , a33 ,...,имеющие равные индексы, образуют главную диагональ матрицы.
|
|
|
5 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
9 |
11 |
7 |
|
|
|
|
Пример. Матрица |
является квадратной, количество строк и |
||||||||
количество |
столбцов |
равно |
|
3. |
Элементы |
главной |
диагонали: |
||
a11 5; a22 |
2; |
a33 7. |
|
|
|
|
|
|
|
Матрица, состоящая из одной строки, называется вектором-строкой:
a a11,a12 ,...,a1n .
Матрица, состоящая из одного столбца, называется вектором-столбцом.
b11 |
|
|
|
b21 |
|
b |
|
... |
|
|
|
|
|
bm1 |
. |
Любой |
упорядоченный набор чисел представляет собой либо вектор- |
||||
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
строку a (a1a2 ...an ) |
|
|
|
||
, либо вектор-столбец b b1 |
. |
||||
|
|
|
|
Виды матриц. |
|
1. Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю. |
|||||
|
0 |
0 ... |
0 |
|
|
|
0 |
0 ... |
0 |
|
|
|
|
|
|||
... ... ... |
... |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 ... |
0 |
|
|
0= |
. |
|
|||
Аналогично определяется нулевой вектор 0=(0,0,…,0).
2. Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы
|
a11 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
A |
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
0 |
расположенные не на главной диагонали равны нулю: |
|
|
0 ... 0
a22 ... 0
... ... ... 0 ... ann
2
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
3. Диагональную матрицу называют единичной, если все ее диагональные
|
|
1 |
0 |
... |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
... |
0 |
|
|
|
|
||||
|
E ... |
... |
... |
... |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
... |
1 |
|
элементы равны единице: |
|
|
||||
4. Единичным n-мерным вектором называют вектор, у которого один из элементов равен единице, а все остальные нулю. Существует n различных n- мерных векторов.
e1 (1,0,...,0) , e2 |
(0,1,...,0) ,…, en (0,0,...,1) |
|
|||||||||||||
5. Рассмотрим |
матрицу |
A размера |
m n . |
Матрицу AT размера n m |
|||||||||||
называют транспонированной по отношению к |
A , если строки матрицы A |
||||||||||||||
являются соответствующими столбцами матрицы AT . |
|||||||||||||||
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
5 |
|
|
|
3 |
1 2 0 |
|
|
|
|
|
1 |
2 2 |
|
|
||||
|
A |
T |
|
|
|
|
|||||||||
A |
|
1 2 3 4 |
|
|
2 |
3 1 |
|
||||||||
|
|
|
4 3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
5 |
2 1 3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
4 3 |
|
|
||
|
|
, |
|
|
|
|
|
. |
|
||||||
6. Квадратную матрицу A называют симметрической, если A AТ . |
|||||||||||||||
Примеры симметрических матриц. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
5 |
2 B |
|
2 |
5 7 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
5 |
, |
|
|
3 |
7 4 |
. |
|
|
|
||||
Элементы симметрических матриц, расположенных симметрично относительно главной диагонали, равны.
Линейные операции над матрицами.
Линейными операциями являются сложение матриц и умножение матрицы на число.
Пусть А и В - матрицы равных размеров.
Суммой двух матриц равных размеров называют матрицу того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых матриц.
Произведением матрицы на число называют матрицу того же размера, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента данной матрицы на число.
Примеры.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
1 |
2 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
2 |
0 |
1 |
2 |
|
B |
0 |
0 2 |
3 |
|
|
|
|
3 |
1 |
0 |
2 |
|
|
3 |
1 |
5 |
2 |
|
Пусть |
|
, |
|
. |
||||||||
3
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
|
1 1 |
2 1 3 2 |
2 3 |
2 |
3 5 |
7 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A B |
2 |
0 |
0 0 |
1 2 |
2 3 |
|
|
2 |
0 3 |
5 |
|
||
|
|
3 |
3 |
1 1 |
0 5 |
2 2 |
|
|
6 |
0 5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
|
6 |
9 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 A |
6 |
|
0 |
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
3 |
0 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Свойства сложения матриц и умножения матрицы на число.
1.A+B=B+A- коммутативность сложения
2.(A+B)+C=(A+B)+C - ассоциативность сложения
3.A+0=A
4.A+(–A)=0
5.( A) ( ) A
6.(A B) A B - дистрибутивность умножения числа на сумму
матриц
7.( )A A A - дистрибутивность умножения матрицы на сумму чисел
8.1 A A .
Выполнение этих свойств означает, что множество всех матриц одинакового размера образует линейное векторное пространство.
Умножение матрицы на матрицу.
Пусть даны две матрицы Am k и Bk n такие, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Произведением матрицы Am k на матрицу Bk n называется такая матрица
Cm n , каждый элемент которой равен скалярному произведению i-ой строки матрицы А на j-ый столбец матрицы В.
cij ai1b1 j ai 2b2 j |
... aik bkj . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким образом, результирующая матрица С имеет столько же строк |
||||||||||||||||
сколько у матрицы А и столбцов столько, сколько у матрицы В. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A B |
|
1 |
2 |
5 6 |
|
1 5 2 2 |
1 6 2 ( 1) |
|
|
9 |
|
4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3 |
|
|
|
|
3 5 4 2 |
|
|
|
|
7 |
22 |
|
|
|
|
|
2 |
2 1 |
|
3 6 4 ( 1) |
|
|
|
|
|||||||
B A |
5 |
6 |
1 2 |
|
5 1 6 ( 3) |
|
5 2 6 4 |
|
|
13 |
34 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 1 ( 1) ( 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 3 |
2 |
|
2 2 ( 1) 4 |
|
|
5 |
0 |
. |
|||||
Таким образом, |
A B B A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Свойства умножения матрицы на матрицу.
1.A(BC)=(AB)C
2.A(B+C)=AB+AC
3.(B+C)A=BA+BC/
4
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Если E - единичная матрица, то EA=A; EB=B.
Примеры.
1 |
0 |
0 1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
||||||
|
0 |
1 |
0 |
|
3 |
4 |
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
0 |
1 |
|
5 |
6 |
|
|
|
5 |
6 |
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
6 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
6 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
Обратная матрица.
Пусть A - квадратная матрица. Квадратную матрицу тех же размеров A 1 называют обратной к матрице A , если выполняется условие
AA 1 A 1 A E .
Если A - квадратная матрица первого порядка или, иначе говоря, просто число, то за исключением случая, когда это число равно нулю, всегда можно
найти обратное число, удовлетворяющее условию a a 1 1.
Если размер квадратной матрицы больше единицы, то вопрос о существовании и виде обратной матрицы усложняется. Для ответа на этот вопрос приходится вычислять некоторое число, называемое определителем матрицы и вычисляемое из элементов матрицы по определенным правилам.
5