2 сем / 869636

Задача 11.

Найти частные производные первого и второго порядков от функции z = ln(x2 - y2 ) .

Считая последовательно постоянной y, затем x, и применяя правило диф-

ференцирования сложной функции, получим:

∂z =		1	× (x2 - y2 )¢	=	2x	,
		- y2 )			x2 - y2
¶x (x2			x

∂z

=

1

× (x2 - y

2 )¢

= -

2 y

. Дифференцируя вторично, получим:

x2 - y2

¶y (x2 - y2 )

y

¶2 z

=

¶

¶z

=

¶

2x

= 2

(x2

- y2 ) - x × 2x

= -2

x2 + y2

,

¶x

2

2

- y

2

(x

2

- y

2

)

2

(x

2

- y

2

)

2

¶x

¶x

¶x x

¶2 z

¶

¶z

¶

2x

(-2 y)

4xy

=

=

= 2x

-

=

,

¶y

¶x

2

- y

2

(x

2

- y

2

)

2

(x

2

- y

2

)

2

¶x¶y

¶y x

¶

2

z

¶

¶z

¶

2 y

2x

4xy

=

=

-

= -2 y

-

=

,

x

2

- y

2

(x

2

- y

2

)

2

(x

2

- y

2

)

2

¶y¶x

¶x

¶y

¶x

¶2 z

=

¶

¶z

=

¶

-

2 y

= -2

(x2 - y2 ) - y(-2 y)

= -2

x2 + y2

.

¶y

2

x

2

- y

2

(x

2

- y

2

)

2

(x

2

- y

2

)

2

¶y

¶y

¶y

Задача 12.

Найти дифференциал функции f (x, y, z) = x2 y3 / z4 .

Первый способ. По формуле (5.4): ¶f

=

2xy3

,

¶f

=

3x2 y2

,

¶f

= -

4x2 y3

z

¶y

¶z

z5

¶x

z4

df (x, y, z) =

2xy3

dx + 3

3x2 y2

dy -

4x2 y3

dz = xy2 (2 yzdx + 3xzdy - 4xydz) /

z4

z4

z5

Второй способ. Применяем правила дифференцирования (5.5):

df (x, y, z) = d (x2 y3 ×

1

) =

1

d (x2 y3 ) + x2 y3d (

1

) = ( y3 × 2xdx + x2 ×3y2dy)

z4

z4

z4

+x2 y3 × (-4dz / z5 ) = xy2 (2 yzdx + 3xzdy - 4xydz) / z5 .

,

z5 .

/ z4 +

90

Задача 13.

Найти дифференциалы 1-го, 2-го и 3-го порядков для функции f (x, y) .

По формуле (5.4): df = fx′dx + f y′dy . По формуле (5.6) при m = 2 и m = 3,

считая dx и dy постоянными, последовательно находим (смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования):

d 2 f = d (df ) = d ( f ′dx + f				′dy) = ( f ′dx + f ′dy)′ dx + ( f ′dx + f						′dy)′ dy =
		x	y		x	y x	x			y y
= f ′′	(dx)2 + 2 f ′′dxdy + f ′′			(dy)2 ;
xx	xy		yy
d 3 f = d (d 2 f ) = ( f ′′			(dx)2	+ 2 f ′′dxdy +		f ′′ (dy)2 )′ dx + ( f ′′			(dx)2 + 2 f ′′dxdy +
		xx		xy		yy	x	xx		xy
+ f ′′	(dy)2 )′ dy =	f ′′′	(dx)3	+ 3 f ′′′	(dx)2 dy + 3 f ′′′ dx(dy)2			+	f ′′′	(dy)3.
yy	y	xxx		xxy		xyy			yyy

Задача 14.

Даны функция u=x2+y2+4x-6y+1, точка M0(-1,2) и вектор a = 4i − 3 j .

1.Найти градиент функции в точке М0 и наибольшую скорость изменения функции в точке М0. Построить градиент.

2.Вычислить производную функции в точке М0 по направлению вектора a .

3.Составить уравнение линии уровня функции и построить ее график при а=4.

Решение.

Градиентом функции u=f(x,y) в точке М0(х0,у0) называется вектор, коорди-

наты которого равны значениям частных производных функции в точке М0:

grad

f (M

) =

du

;

du

.

0

dx

M 0 dy

M

0

Найдем значение частных производных функции в точке М0(-1, 2):

du	= (x 2 + y 2 + 4x − 6 y + 1)′	= 2x + 4;	du
dx	x		dx

du	= (x 2 + y 2 + 4x − 6 y + 1)′	= 2 y − 6;	du
dy	y		dy

M 0 (−1,2)

M 0 ( −1,2)

=2;

=−2;

Вектор gradf (M 0 ) = 2i − 2 j указывает направление наискорейшего воз-

растания функции f в точке М0.

91

Наибольшая скорость возрастания функции f равна модулю градиента:

2

2

gradf (M

)

=

du

+

du

= 22 + (−2) 2 = 2 2.

0

dy

dx

M 0

M

0

Построим градиент, начало которого находится в точке М0(-1, 2):

у

М0

-1	0	1
		х

Задача 15.

Классический метод минимизации.

Решить задачу f (x) = x21 + x22 + x23 +x1 – x3 – x2x3 → min.

Шаг 1. Запишем систему:

		df	= 2x + 1 = 0 ;	df	= 2x	2	− x = 0 ;			df		= 2x − 1 − x								2		= 0 .
	1			dx2			3			dx3			3
		dx1
																1		2			1
	Решив ее, получим стационарную точку											x0	=	−			,		,			.
															2
																		3 3
											2	0		0
							"(х0							− 1
	Шаг 2. Находим гессиан f							) =			0	2					. Так как, согласно крите-
									0			− 1		2

рию Сильвестра, эта матрица положительно определена, заключаем, что х0 яв-

ляется точкой минимума функции f (x).

Минимальное значение f *≈ f (х0 )= –19/12.

92

Задача 16.

Найти локальный экстремум функции z = x3 + y3 - 3xy .

Решение. Находим частные производные функции:

z	'	= 3x 2 − 3y; z	'	= 3y 2− 3x
	x		y

Приравниваем частные производные к нулю:

3x2		- 3y = 0
	2	- 3x = 0 .
3y

Решаем систему уравнений:

	2	- 3y = 0
3x
	2 - 3x = 0
3y

Ûy = x23x4 - 3x

	2
y = x		-1) = 0
Û
= 0 3x (x3

	x = 0
Û	y = 0
	x =1
	y =1 .

Имеем две стационарные точки (0,0) и (1,1).

Найдем вторые частные производные:

zx''2 = 6x, zxy'' = -3, zyx'' = -3, zy2''= 6 y .

Вычисляем значения вторых частных производных в каждой стационарной точке, составляем определитель D и применяем достаточные условия экстре-

мума.

''

(0,0)

''

''

''

a11 = zx2

= 0, a12 = zxy (0,0) = −3,

a21 = zyx (0,0) = −3, a22

= zx2 (0,0) = 0

D =

a11

a12

=

0 -3

= 0 × 0 - (-3) ×(-3) = -9

a

a

-3

0

21

22

''

(1,1) = 6, a12

''

(1,1) = -3,

''

''

= 6

a11 = zx2

= zxy

a21 = zyx (1,1) = -3, a22

= zx2 (1,1)

D =

a11

a12

=

6 -3

= 6 × 6 - (-3) ×(-3) = 27

a

a

-3

6

21

22

Достаточные условия экстремума функции двух переменных:

А) Если >0 и а11<0 (a22<0), то в точке функция имеет максимум; если

>0 (a22>0), то в точке минимум.

93

Б) Если <0, то экстремума нет.

В) Если =0, то вопрос об экстремуме остается открытым.

В точке (0,0) D<0, значит, экстремума нет. В точке (1,1) D>0 и а11>0, следо-

вательно, точка (1,1) является точкой минимума функции. Вычислим значение функции в этой точке.

z(1,1) = 1 + 1 − 3 = −1

Ответ: (1,1) – точка минимума, z(1,1) = −1.

Задача 17.

Исследовать на экстремум функцию z = x3 + y3 - 3xy .

Из необходимого условия экстремума функции (теорема 9.7) имеем сис-

z¢ = 3x2 - 3y = 0,

M1 (0;0),

тему x

решая которую получаем критические точки

z¢y = 3y2 - 3x = 0,

M 2 (1;1) . Определим характер критических точек по достаточным условиям экс-

тремума. Находим z′′

(x, y) = 6x, z′′ (x, y) = −3,

z′′

(x, y) = 6 y . В точке

M

(0;0) :

xx

xy

yy

1

′′

′′

′′

= -9 < 0 . Следо-

zxx (M1 ) = 0 ,

zxy (M1 ) = −3 ,

zyy (M1 ) = 0 , D = zxx × zyy - (zxy )

2

M1 (0;0)

вательно, M

1

(0;0) – седловая точка. В точке M

2

(1;1) : z′′

(M

2

) = 6,

z′′ (M

2

) = −3 ,

xx

xy

′′

2

zyy (M 2 ) = 6 ,

D = 6 × 6 -

(-3)

= 27 > 0 , поэтому M 2 (1;1) – точка минимума функ-

ции z; zmin = z(M 2 ) = −1.

Задача 18. (минимизация функции нескольких переменных методом

Ньютона).

Минимизировать функцию f (х) методом Ньютона с заданной точностью

ε = 10−3 .

f (х) = х12 + 2х22 + х12 х22 + х32 + ехр(х22 + х32 ) - х2 + х3

Решение.

94

Итерационная формула метода Ньютона для минимизации функции трех

переменных имеет вид:

х

[ j +1]

х

[ j ]

−1 (f (х , х

, х )[ j ])Ñf (х , х

х1

=

х1

- Н

2

2

, х

3

)[ j ].

2

2

1

3

1

х3

х3

Найдем градиент и матрицу Гессе функции

									¶2 f								¶2 f										¶2 f
					¶x						2						¶x1¶x2									¶x1¶x3
										1
									¶	2	f						¶	2	f								¶	2		f
	H ( f ) =																															.
																	¶x22
					¶x2¶x1																				¶x2¶x3
									¶	2	f						¶	2	f								¶	2		f
					¶x ¶x												¶x ¶x					2					¶x			2
									3			1					3													3
	∂f			= 2x + 2x x											2
															2
	¶x1				1						1
	∂f			= 4x					+ 2x				2 x				+ 2x						× exp(x						2 + x				2 )-1
						2										2					2
	¶x2											1																	2				3
	∂f			= 2x					+ 2x						× exp(x				2			+ x2 )+ 1
												3							2
	¶x3				3																		3
Составим градиент
					2x				+ 2x x2
						1						1			2
Ñf = 4x2 + 2x12 x2 + 2x2																								× exp(x22 + x32 )-1 .
					2x				+ 2x						× exp(x					2		+ x				2	)	+ 1
													3							2						3
						3
	¶2 f			= 2 + 2x22
	¶x2
1
	¶2 f			= 4 + 2x							2		+ 2 × exp(x										2 + x2 )+ 4x2											× exp(x		2	+ x	2 )
	¶x22									1													2				3						2			2		3
	¶2 f			= 2 × exp(x									2		+ x2 )+ 4x2											× exp(x2							+ x		2 )+ 2
	¶x2												2				3						3								2				3
3

95

¶2 f		= 4x x				2	,			¶2 f		= 0
¶x1¶x2			1							¶x1¶x3
¶2 f		= 4x		2	x			× exp(x2	+ x2 ).
¶x2¶x3						3		2	3
			2 + 2x 2						+ 2 × exp(x				4x x		2	2 × exp(x			2 )
					2								1
H ( f ) =			4x x		2			4 + 2x2				2	+ x	2 )+ 4x			2	+ x
			1					1				2		3		2	2		3
															2	2
			0							4x2 x3 × exp(x2 + x3 )

0

4x x × exp(x2 + x2 )

× ( 2 + 2 23)+ 2 ×2 (32 + 2 )+

2 exp x2 x3 4x3 exp x2 x3

2

Первая итерация.

				х		[0]				0 [0]
					1
Пусть х2								= 0
				х3
										0
				2			0			0			2	0		0
Н[0] =						4 +
			0						2 0				= 0 6			0
				0			0			4				0		4
													0
		−1						24		0			0	0,5				0	0
						1
(Н [0] )				=					0	8			0 »	0			0,16667		0
						48			0	0								0	0,25
													2	0
					0
					-
Ñf [0] =						1
			1
Подставим
х		[1]			х		[0]									, х )[0])Ñf (х , х					, х )[0]
	х1		=			х1			- Н −1 (f (х , х						2					2
	2					2							1				3		1			3
	х3
						х3
	х	[1]			0 [0]					1		24 0 0						0
	1
х2			=		0				-			0 8		0 ×				-1
										48
	х3												0 0 2
					0													1

96

		х		[1]											0 [0]																								0
		1																									1
х2									=						0								-							×						- 8
		х													0											48							- 0,25
		3
Проверим
	¶f (х[k ])														£ 0,001
		¶xi
																																	1
																	2 × 0						+ 2 × 0 ×
																																	6
	¶f (х[1] )																																																																				0						13
																				1													1										1									1								1										1															1
												=					4 ×						+ 2 × 0 ×															+ 2 ×								× exp											+									-1			=		× exp													-
		¶xi																		6													6										6									36																		3
																																																												16															144										3
																							1									1										1							1																					1			1										13
																	- 2 ×									- 2					×					× exp												+								+		1													-				× exp
																							4									4
																																										36							16																				2 2													144
	¶f (х				[1]				)
																				2								1																				13								2						1								13									2
												=					0						+						×			-1 + exp																																		×	1	- exp														=
		¶xi																																																								+				2
																												3																	144																									144
			1																			13									2								1												13								2
=							×	1							- exp																		+								× 1					- exp																=
			9																																				4
																						144																													144
			1												1																13							2
=									+							1 - exp																									» 0,056774 ³ 0,001.
			9												4														144
Вторая итерация.
		х		[1]													0
		1							=								1
х2
																	6
		х3
															− 0,25
								2,0555																					0																	0
	Н[1] =
															0											6,3105															− 0,1824
															0											− 0,1824
																																									4,46257
							−1										0,486486																						0													0
(Н[1])												=											0										0,15865															0,006485
																							0										0,006485
																																																0,224351
																																																										97

	0
Ñf [1] =	0,031493
	- 0,04724

Подставим

х			[2]						х		[1]		- Н −1 (f (х , х					, х )[1])Ñf (х , х					, х )[1]
		х1				=				х1							2					2
		2								2						1			3		1		3
		х3								х3
		х	[2]								0			[1]		0,486486					0		0			0
		1									1
х2						=									-	0				0,15865		0,006485			× 0,031493
											6
		х3								- 0,25						0				0,006485						- 0,04724
																						0,224351
		х	[2]								0			[1]		0					0
		1				=
х2											1				-	0,00469				= 0,161977
		х3								- 0,25						- 0,01039
																					- 0,23961
Проверим
	¶f (х[k ])							£ 0,001
		¶xi
	¶f (х				)			0
				2
						= 0,000123
		¶xi
								- 0,00023

¶f (х[2] ) = 02 + 0,0001232 + 0,000232 » 0,000264 < 0,001

¶xi

Необходимое условие выполнено.

	х	[2]		0
	1
Ответ: х2			= 0,161977		, f (x) = 0,795547 .
	х3
				- 0,23961

98

Задача 19. Геометрический способ решения ЗНЛП

F = (x − 3)2 + (x − 4)2			→ min, max
	1	2
3x1 + 2x2 ³ 7
	- x2	£ 8
10x1
-18x + 4x £12
	1	2
x1, x2 ³ 0

(x - 3)2					+ (x - 4)2 = h
1						2
2(x - 3) + 2(x - 4)x'										= 0
	1					2			2
x'	= − 2(x1 − 3) =								x1 − 3
2			2(x2 - 4)						4 - x2
x		- 3 =10(4 - x							)
1								2
10x1 - x2 = 8
x*	= 123				; x*	= 422
1					2
		101				101

= 324

f (min)

101

x**1 = 2, x**2 = 12, f (max) = 65

99