ИДЗ 1

Студент: Группа: Вариант: Дата:

— 93— 7 9 июня 2021 г.

Теория вероятностей и математическая статистика Индивидуальное домашнее задание №1

Задача 1. 6 банкнот достоинством в 1 д. е., 7 в 10 д. е. наудачу разложены по 4-м карманам. Найти вероятность того, что в каждом кармане будут банкноты двух достоинств.

Решение. Пусть событие — в каждом кармане банкноты двух достоинств.

, где

Рассмотрим событие .

Интерпретируем разложение банкнот по четырём карманам как расстановку трёх перегородок между банкнотами.

варианта выбрать 3 места под перегородки среди 9 мест для 3-х перегородок и 6-ти банкнот.

вариантов выбрать 3 места под перегородки среди 5 возможных мест между банкнотами.

Вычислим по аналогии.

Ответ:

Задача 2. Прямые разбивают плоскость на равносторонние треугольники со стороной 16. Определить вероятность того, что монета диаметра 4, наугад брошенная на плоскость, не пересечёт ни одной прямой.

Решение. Рассмотрим заданную плоскость.

Вместо всей плоскости, мы можем вычислить геометрическую вероятность для любого треугольника на этой плоскости.

где — треугольник, стороны которого удалены от сторон треугольника на радиус монеты.

Ответ: .

Задача 3. Продавец берет у поставщика партию 1500 единиц товара. Считается, что вероятность того, что каждая единица товара бракованная независимо от других равна 0.005. Если продавец обнаруживает в партии более 3-х бракованных деталей, то вся партия возвращается поставщику. Определить вероятность того, что покупатель, приобретающий 250 единиц товара, получит не более одной бракованной.

Решение. Пусть событие — в партии не более 3-х бракованных деталей, — покупатель получает не более одной бракованной детали.

Тогда искомой вероятностью является .

Рассмотрим событие .

, где — в партии ровно бракованных деталей.

Для нахождения воспользуемся формулой Пуассона:

Отсюда получаем:

Тогда .

Рассмотрим событие .

, где — среди 250 ед. товара, выбранных из 1500 ед. с -ю бракованными, не более одного бракованного.

Очевидно, что .

Рассмотрим событие .

комбинаций выбрать из 1500 товаров 250 любых.

комбинаций выбрать из 250 товаров ровно с двумя бракованными.

Рассмотрим событие .

комбинаций выбрать из 1500 товаров 250 любых.

комбинаций выбрать 250 товаров без бракованных.

комбинаций выбрать 250 товаров ровно с одним бракованным.

Ответ: .

Задача 4. Чтобы наладить производство требуется заключить контракт на поставку товаров трех типов. По 1-му типу товаров ведутся переговоры с 3-мя фирмами, по 2-му — с 4-мя и по 3-му — с 4-мя. Вероятности заключить контракт каждой фирмой по 1-му типу товара независимо от других 0,4; по 2-му типу — 0,6 и по 3-му — 0,7. Определить вероятность того, что производство будет налажено.

Решение. Пусть событие — хотя бы с одной фирмой каждого типа заключён контракт.

, где событие — хотя бы с одной фирмой -го типа заключён контракт.

Рассмотрим событие — ни с одной из фирм 1-го типа не заключён контракт.

Вероятность не заключить контракт с фирмой 1-го типа: .

Тогда

По аналогии с событием :

Ответ: .