Литература и лекции / Алгебра20171011

Определение

Пусть дана матрица An£n . Матрица Bn£n называется обратной по отношению к матрице A , åñëè A ¢ B = B ¢ A = E.

Обозначение: B = A¡1.

Определение

Пусть дана матрица A =

f

a

=1;2; ::: ; n

f

ijgji=1;2; ::: ; n .

Матрица B =

ijgji=1;2; ::: ; n

называется присоедин¼нной по отношению

b

=1;2; ::: ; n

к матрице A ,

åñëè

bij = Aji , i = 1; 2; : : : ; n, j = 1; 2; : : : ; n.

Обозначение:

˜

B = A.

Замечание

Напомним, что Aij

есть алгебраическое дополнение элемента aij .

Объяснение присоедин¼нной матрице можно дать так. Если

0 a21

a22

a23

: : : a2n

1

a11

a12

a13

: : : a1n

C;

A = B a31

a32

a33

: : : a3n

B

C

B

.

.

.

.. .

C

B .

C

B

C

Ba

a

a

: : : a

C

@

A

B n1

n2

n3

nn C

òî		A11		A12		A13		: : :
	B
				A22		A23		: : :
	0 A21
	B							.	..
	B . . .
	A˜ = B A31			A32		A33		: : :
	B
	@
	BA		n1	A	n2	A	n3	: : :
	B

A1n A2n

A3n

.

Ann

1	0 A12			A22	A32 : : : An2 1
T		A11		A21	A31 : : : An1
C	= B A13			A23	A33	: : : An3			C:
C	B					.			C
C	B			.	.		.. .		C
C	B .								C
C	B								C
C	BA			A	A	: : : A			C
A	@								A
C	B		1n	2n	3n			nn C

Иными словами, чтобы из матрицы сделать присоедин¼нную, нужно все е¼ элементы заменить их алгебраическими дополнениями, а затем полученную таким образом матрицу ещ¼ и транспонировать.

21

A¡1:

Определение

Пусть дана матрица An£n : Åñëè det A = 0 ; то матрица A называется особенной, èëè вырожденной.

Теорема об обратной матрице

Если квадратная матрица A не является вырожденной,

¡1 1 ˜

òî A = det A ¢ A :

Доказательство

Для получения элемента с индексами i; k матрицы A¢A¡1 следует, по правилам перемножения матриц, i ю строку матрицы A умножить на k й столбец матрицы

Выделим цветом в матрицах ýòó строку и ýòîò столбец:

0 . .

. ... .

1 0 det1 A

A12

: : :

det1 A

Ak2

: : :

det1 A

An2

1

a11

a12

a13

: : : a1n

1

A11

: : :

1

Ak1

: : :

1

An1

A

A¡1 = B ai1

ai2

ai3

: : : ain

C B det1 A A13

: : :

det1 A Ak3

: : :

det1 A

An3

C

=

¢

B

C¢B

C

B

.

.

.. .

C B

.

.

.

..

.

C

B . .

C B .

C

B

C B

1 A

1 A

C

Ba

a

a

: : : a

C B 1

A

: : :

: : :

C

@

A @

A

B n1

n2

n3

nn C B

1n

kn

nn C

=

0

det A

det A

det A

: : : ai1

det1 A Ak1 + ai2 det1 A Ak2 + ai3

det1 A Ak3 + : : : + ain det1 A Akn

: : :

1

=

B

: : :

: : :

: : :

C

: : :

: : :

: : :

@

= 0

: : :

det1 A

(ai1 Ak1 + ai2

Ak2

+ ai3 Ak3 + : : : + ain Akn)

: : :

1

=

A

: : :

: : :

: : :

B

: : :

: : :

: : :

C

(4:1)

@

B

: : :

: : :

: : :

C B

: : :

: : : : : :

C

A

|{z}

(4:1)

: : :

: : :

: : :

: : :

: : : : : :

= E:

=

0

: : :

det1 A (±ik det A)

: : :

1

= 0

: : : ±ik

: : :

1

|{z}@

A

@

A

По определению символа Кронекера, элемент последней матрицы есть единица, если индексы равны между собой (то есть, элемент диагональный), и есть нуль, если

22

индексы íå равны между собой. Таким образом, матрица, заполненная "символами Кронекера", есть единичная матрица.

Нами проверено равенство A¢A¡1 = E на основе соотношения (4:1). Аналогично

проверяется равенство A¡1 ¢ A = E на основе соотношения (4:2).

Задача

0

1.

Пусть

A =

3

6

5

Найти

A¡1.

5

1

7

B

2

8

4 C

Решение

@

A

Найд¼м миноры.

M12

=

¯

2

4

¯

= 2 ;

M13

=

¯

2

8

¯

= 12 ;

M11

=

¯

8

4

¯

= ¡16 ;

¯

6

5

¯

¯

3

5

¯

¯

3

6

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

M21

=

¯

1

7

¯

= ¡52 ;

M22

=

¯

5

7

¯

= 6 ;

M23

=

¯

5

1

¯

= 38 ;

¯

8

4

¯

¯

2

4

¯

¯

2

8

¯

¯

1

7

¯

¯

5

7

¯

¯

5

1

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

= ¡37 ;

¯

¯

¯

¯

M31

=

¯

6

5

¯

M32

=

¯

3

5

¯

= 4 ;

M33

=

¯

3

6

¯

= 27 :

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

Вычислим¯

алгебраические¯

дополнения.¯

¯

¯

¯

A11 = M11 = ¡16;

A12 = ¡M12 = ¡2;

A13 = M13 = 12;

A21 = ¡M21 = 52;

A22 = M22 = 6;

A23 = ¡M23 = ¡38;

A31 = M31 = ¡37;

A32 = ¡M32 = ¡4;

A33 = M33 = 27:

Найд¼м определитель матрицы

A разложением по первой, второй и третьей

строкам:

det A = a11A11 + a12A12 + a13A13 = 5 ¢ (¡16) + 1 ¢ (¡2) + 7 ¢ 12 = 2 ; det A = a21A21 + a22A22 + a23A23 = 3 ¢ 52 + 6 ¢ 6 + 5 ¢ (¡38) = 2 ; det A = a31A31 + a32A32 + a33A33 = 2 ¢ (¡37) + 8 ¢ (¡4) + 4 ¢ 27 = 2 :

Совпадене тр¼х результатов свидетельствует в пользу их верности. Построим обратную матрицу:

23

A¡1 =

1

0A12 A22

A32

1 = 1

0¡ 2

6

¡ 4 1 = 0¡1

3

¡ 2

1

:

A11

A21

A31

16

52

37

8

26

37

det A

¢

BA13

A23

A33

C

2

¢

B

12

38

27

C

B

6

19

2

C

@

A

@

¡

A

@

¡

27

A

Проверка:

A A¡1 =

03

6 5

1 0¡1 3

37

1 =

¡ 2

5

1

7

8

26

2

B2 8 4 C

B 6 ¡19

C

¢

¢

2

0

@

A

@

27

A

1

372 ) + 6

272

=

3

( 8) + 6

( 1) + 5

6

3

26 + 6

3 + 5

(

19)

3

(

( 2) + 5

=

5 ¢ (¡8) + 1 ¢ (¡1) + 7 ¢ 6

5 ¢ 26 + 1 ¢ 3 + 7 ¢ (¡19)

5 ¢ (¡

37

27

B

2 ) + 1 ¢ (¡2) + 7 ¢

2

C

2

¢ (¡8) + 8

¢

(¡1) + 4

¢ 6

2 ¢

26 + 8

¢ 3 + 4 ¢

(¡19)

2

¢ (¡

372 ) + 8

¢ (¡2) + 4

¢

272

@

¢ ¡

¢ ¡

¢

¢

¢

¢ ¡

¢ ¡

¢ ¡

¢

A

= 0

0

1

0

1

= E:

B

1

0

0

0

0

1 C

@

A

Замечание

Система Линейных Алгебраических Уравнений словосочетание, часто применяемое и весьма длинное. Далее, для уменьшения этой длины, мы будем пользоваться аббревиатурой ÑËÀÓ, которая широко распространена в литературе.

Определение

n мерный столбец, или n мерный вектор это матрица, состоящая из n

строк и одного столбца.

При обозначении элементов столбца обычно сохраняется только один индекс (второй, заведомо равный единице, не нужен).

Примеры

X = µx1 ¶; x2

Y =	0y2	1	; Z =
	y1	C
	By3
	@	A

0z1 1

B C BBz2 CC; B@z3 CA

z4

	0		0		0	0	1
		0	0 1			0
0 =	µ0 ¶; 0 =			;	0 = B	0 C
		B	0 C		B C
		@ A			B	0 C
					B C
					@ A

24

сответственно двумерный, тр¼хмерный и четыр¼хмерный векторы, а также сответственно двумерный, тр¼хмерный и четыр¼хмерный нулевые векторы.

Определение

Пусть дана СЛАУ

= b2

¯

8

a21x1 + a22x2 + a23x3 + : : : + a2nxn

>

a11x1 + a12x2 + a32x3 + : : : + a1nxn

= b1

¯

>

¯

>

¯

>

>

¯

<

: : :

> a x

¯

+ a x + a x

+ : : : + a

x

= b

¯

:

(6)

>

31 1

32 2

33 3

2n n

= b

3

¯

> a x + a x + a x + : : : + a x

¯

>

¯

>

¯

>

>

¯

>

:

m2 2

m3 3

mn n

m

¯

> m1 1

Тогда

0 a21

a22

a23

: : : a2n

1

a11

a12

a13

: : : a1n

C

A = B a31

a32

a33

: : : a3n

B

C

B

.

.. .

C

B . . .

C

B

C

Ba

a

a

: : :

a

C

@

A

B m1

m2

m3

mn C

называется матрицей коэффициентов системы, или главной матрицей системы, 0 b1 1

B C

BB b2 CC

B = B b C BB 3 CC B . C @ A

bm

столбцом правых частей системы, 0 x1 1

B C

BB x2 CC

X = B x C BB 3 CC B . C @ A

xn

25

столбцом неизвестных,

A ¢ X = B

(7)

матричной формой записи СЛАУ.

Теорема о матричном способе решения СЛАУ

Åñëè ÑËÀÓ (7) содержит n уравнений относительно n неизвестных, и если det A =6 0 ;

òî решение системы выражается формулой X = A¡1 ¢ B . Доказательство

A ¢ X = B =) A¡1 ¢ (A ¢ X) = A¡1 ¢ B =) (A¡1 ¢ A) ¢ X = A¡1 ¢ B =)

=) E ¢ X = A¡1 ¢ B =) X = A¡1 ¢ B :

Задача Найти решения двух СЛАУ с одинаковыми коэффициентами при неизвестных в

левых частях уравнений:

8

5u1 + u2 + 7u3 = 8

¯

;

8

5v1 + v2 + 7v3 = 2

¯

:

3u1 + 6u2 + 5u3

= 1

3v1

+ 6v2

+ 5v3

=¡5

>

¯

>

¯

<

2u1 + 8u2 + 4u3

=

2

¯

<

2v1

+ 8v2

+ 4v3

= 8

¯

¡

¯

¯

>

¯

>

¯

¯

¯

Решение

:

¯

:

¯

Матрица коэффициентов

A ранее уже была рассмотрена (стр. 19), обратная

матрица для не¼ уже найдена:

5

1

7

8

26

37

2

A = 03 6 5 1;

A¡1 = 0¡1 3

1;

¡ 2

B2

4 C

B

¡

¡

C

8

6

¡

19

27

2

@

A

@

A

u1

1 = A¡1

0

8

0

1

U = 0u2

1 1 =

¡1 1;

Bu3

C

¢

B

¡

2 C B

¡

C

2

@

A

@

A

@

A

26

V =	0v2 1 = A¡1				0 5 1		= 0	1	1	;
	v1	C		¢	2			¡2
	Bv3				B	8 C B		1	C
	@	A			@¡	A	@		A
откуда u1 = ¡1, u2 = ¡1, u3 = 2,			v1 = ¡2,			v2 = 1,		v3 = 1.

Замечание

Матричный способ решения системы выгоден тогда, когда требуется решить несколько (или много) СЛАУ с одинаковыми наборами коэффициентов в левых частях уравнений и разными правыми частями. Для одной конкретной системы матричный способ излишне трудо¼мок.

Теорема Крамера

Если СЛАУ (7) содержит n уравнений относительно n неизвестных, то она имеет единственное решение тогда и толькo тогда, когда det A 6= 0 . При этом решение выражается формулами

x1 =	1	; x2 =	2	; x3 =	3	; : : : ; xn =	n	: (8)

Формулы (8)

¯

¯¯ b1

¯

¯¯ b2 1 = ¯¯¯ b3

¯¯¯ . ¯bn

называются формулами Крамера. В них:

a12

a13 : : : a1n

¯

¯

a11

b1

a32

a33 : : : a3n

¯

;

2

=

¯

b3

¯

¯ a31

a22

a23 : : : a2n

¯

¯

b2

¯

¯ a21

.

.

.

..

.

¯

¯

.

¯

¯ .

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

a

: : :

a

¯

¯

b

n2

n3

nn

¯

¯

n1

n

		= det A,				¯
a13		: : :		a1n
						¯
a33		: : :		a3n		¯	;
a23		: : :		a2n		¯
						¯
	.	.	..		.	¯
						¯
						¯
						¯
						¯
a		: : :		a		¯
	n3				nn	¯

¯ a21

a22

b2

: : : a2n

¯

¯ a21

a22

a23

: : : b2

¯

¯

a11

a12

b1

: : : a1n

¯

¯

a11

a12

a13

: : : b1

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

.

.

.

..

.

¯

¯

.

.

.

.. .

¯

3

=

¯ .

¯

; : : : ;

n =

¯ .

¯

;

¯ a31

a32

b3

: : : a3n

¯

¯ a31

a32

a33

: : : b3

¯

¯

¯

¯

¯

¯a

a

b

: : : a

¯

¯a

a

a

: : : b

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

n1

n2

n

¯

¯

n1

n2

n3

¯

¯

nn ¯

¯

n ¯

27

òî åñòü j получается из	заменой j го столбца на столбец правых
частей.
Без доказательства.

Замечание

Метод Крамера менее трудо¼мок, чем метод обратной матрицы, но и он на практике применяется нечасто. Во всяком случае, если СЛАУ содержит тысячи уравнений, метод Крамера невозможно реализовать даже на самой ультрасовременной вычислительной технике.

Определение

Ранг матрицы это наивысший порядок минора, построенного из элементов матрицы, íå равного нулю.

Если число r есть ранг матрицы A ; то существует хотя бы один ненулевой минор порядка r из элементов матрицы A ; à âñå миноры более высокого

порядка равны нулю.

Обозначение: r = rang A, èëè r = rank A.

Всякий ненулевой минор (из элементов матрицы) порядка, равного рангу матрицы, называется базисным минором.

Замечание

Если заниматься простым перебором всех возможных миноров 2 го порядка (а их, как в примере на стр. 12, может оказаться очень много), чтобы только самый последний из них оказался отличным от нуля, а потом перебирать все возможные миноры 3 го порядка с таким же конечным результатом, и так далее, то объ¼м работы по выяснению ранга матрицы может оказаться ужасающе большим. На практике ранг матрицы непосредственно по определению не вычисляют.

Теорема об элементарных преобразованиях строк матрицы

Пусть дана матрица Am£n . Следующие преобразования строк матрицы,

28

называемые элементарными, не изменяют ранга матрицы.

1.Умножение всех элементов одной из строк матрицы A на общий множитель ¸ 6= 0 :

2.Обмен двух строк матрицы A местами.

3.Прибавление к каждому из элементов одной строки матрицы A ñîîò-

ветствующего элемента другой строки, умноженного на некий общий множитель ¸ :

4.Удаление (выч¼ркивание) нулевой строки (строки, содержащей только нулевые элементы).

5.Удаление (выч¼ркивание) одной из двух пропорциональных друг другу строк.

Без доказательства. Пример

Найти ранг матрицы методом Гаусса.

03 4 5 1 A = B@2 3 4 CA:

4 3 2

Элементарное преобразование • 3 применяется несколько раз для того, чтобы свести матрицу к верхней треугольной. Каждый раз к элементам одной строки прибавляются соответствующие элементы другой, красной строки, умноженные на одно и то же, бирюзовое число.

rang A = rang	0	2	3	4	1 = rang			0			2				3		4	1	=
	B	3	4	5				B		3 + (¡1) ¢ 2				4 + (¡1) ¢ 3 5 + (¡1) ¢ 4				C
		4	3	2 C							4				3		2
	@				A			@				0				1		A
			= rang 0			2	3	4	1		= rang		2	3	4		=
					B	1	1	1				B	1	1	1
						4	3	2 C					4	3	2 C
					@				A			@				A

29

			= rang		0		2 + (			1 2)		¢	1		3 + (		1 2)			1		4 + (			1	2)		¢	1 1		=
					B		4 + (¡4)						1 3 + (¡4)						¢ 1 2 + (¡4)										1 C
					@			0		¡		¢		2	1		¡		¢		0		1		¡	2		¢	A
			= rang			0				1						= rang				0									1	=
						B		1		1				1						B	1		1			1
								0			1			2 C							0			1			2 C
= rang	0	0		1		@				¡			¡		A		0	0		@		2	¡			¡			A		1 1 1				= 2 :
									2			1		= rang						1			1		= rang
	B	1		1					1								B	1		1		1							µ					2 ¶
		0 + 0		1 + 1					2 + 2 C									0 0 0 C													0		1
	@		¡					¡				A					@						A

Ранг равен двум потому, что розовый минор второго порядка отличен от нуля (равен единице), а минор порядка три и выше невозможно построить из элементов матрицы,

âкоторой только две строки.

Âданном случае розовый минор является базисным минором.

Замечание

Язык общения с сайтом wolframalpha.com состоит из команд, набираемых пользователем в командной строке, то есть, внутри рамки оранжевого цвета .

Будем называть этот язык словом Mathematica, поскольку он почти без изменений взят из широко известного программного пакета Mathematica, производимого компанией Wolfram Research.

Команда представляет собой обращение к одной из стандартных функций языка, либо к нескольким командам (к суперпозиции нескольких команд).

Имя команды принято начинать заглавной буквой латинского алфавита. Параметры команды принято размещать в квадратных (а не в круглых) скобках, и отделять друг от друга запятыми.

Ранг матрицы можно вычислить в среде wolframalpha.com с помощью функции

Rank:

30