Литература и лекции / АлгебраГеометрия

+ ¸k¡1

¢ (ek¡1 ¢ ei) + ¸k ¢ (ek ¢ ei) = 0 ()

|

}ei) = 0

|

{z

}

¸i = 0 :

(26)

¸i

{z(ei

()

=0

¢

=0

¢

()

|

{z

}

>0

Равенство (26) справедливо для всякого i ( i = 1; 2; 3; : : : ; k ), òî åñòü, âñå коэффициенты нулевой линейной комбинации (25) равны нулю, следовательно, линейная комбинация (25) тривиальна.

Определение

Базис из n мерных векторов e1 ; e2 ; e3 ; : : : ; en называется ортонормиро-

ванным, если элементы этого базиса нормированы и попарно ортогональны.

Теорема о матрицах перехода между двумя ортонормированными базисами

Если базисы e = fe1 ; e2 ; e3 ; : : : ; eng è g = fg1 ; g2 ; g3 ; : : : ; gng îáà ÿâ-

ляются ортонормированными, òî

(Se!g)¡1 = (Se!g)T ; (Sg!e)¡1 = (Sg!e)T :

Без доказательства. Определение

Пусть дана квадратная матрица		a22		a23		: : : a2n 1
0 a21
a11		a12		a13		: : : a1n			C
B
B						.	.. .		C
B . . .									C	:
A = B a31		a32		a33		: : : a3n			C
B									C
@									A
Ba	n1	a	n2	a	n3	: : : a			C
B								nn C

51

Если существует такое число ¸ и такой ненулевой n мерный вектор

0 x1 1 B C BB x2 CC

X = B x C;

BB 3 CC

B . C

@ A

xn

÷òî

A ¢ X = ¸ ¢ X ;

(27)

то число ¸ принято называть собственным числом матрицы A, а вектор X принято называть собственным вектором матрицы A, соответствующим собственному числу ¸.

Замечания

1. Нулевой вектор X = (0; 0; 0; : : : ; 0) обращает уравнение (27) в верное равенство,

однако, нулевой вектор не пригоден в качестве собственного.

2. Если вектор X â (27) заменить на ¹¢X (ãäå ¹ любое число), равенство сохранит

силу. Принято говорить, что собственный вектор определяется с точностью до постоянного множителя. Из всего множества таких взаимно пропорциональных векторов

чаще всего выбирается один, нормированный вектор (jXj = 1).

3.Разным собственным числам соответствуют разные нормированные собственные векторы. Имеется в виду, что каждый из этих векторов не является линейной комбинацией остальных.

4.Одному собственному числу может соответствовать несколько разных нормированных собственных векторов.

Теорема

Собственные числа матрицы A являются корнями уравнения

det(A ¡ ¸E) = 0 ;	(28)
(E единичная матрица), а для каждого собственного числа ¸i	собствен-

52

ные векторы находятся, как решения однородной системы уравнений

(A ¡ ¸iE) ¢ X = 0 :

(29)

Доказательство теоремы несложно и предоставляется слушателям.

Замечание Уравнение (28), которое принято называть характеристическим, имеет вид

¯

a21

a22

¡

¸

a23

: : :

a2n

¯

¯

a11 ¡ ¸

¯

¯

a12

a13

: : :

a1n

¯

¯

a31

a32

a33

¸

: : :

a3n

¯

= 0 :

(30)

¯

¡

¯

¯

.

.

.

.

..

.

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

a

a

: : :

a

¡

¸

¯

¯

¯

¯

¯

¯

n1

n2

n3

nn

¯

¯

¯

Матрица, от которой бер¼тся определитель в (30), отличается от исходной матрицы A тем, что из каждого диагонального элемента матрицы вычитается искомое ¸.

Замечание

Уравнение (28), равно, как и (30), есть алгебраическое уравнение степени n относительно искомого ¸. Количество корней такого уравнения не превышает n. Некоторые из корней могут быть комплексными. При n > 4 уравнение, вообще говоря, может быть решено только численно.

Задача Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

A = µ	7	¡4	¶:	(31)
	¡4	1

Решение Строим уравнение

	¯	¡	¡	¯
det A =	¯		1¡4¸	¯	= (¸ ¡ 7)(¸ ¡ 1) ¡ 16 = ¸2 ¡ 8¸ ¡ 9 = 0 ;
	¯7 ¡4¸			¯
	¯			¯

53

из которого можно найти пару собственных чисел ¸1 = ¡1, ¸2 = 9.

Поскольку матрица имеет размер 2 £ 2, искомые векторы следует разыскивать

â âèäå		X = µx2	¶:
		x1
1. ¸1 = ¡1 : Система уравнений (18) принимает вид
½	¡			¯
	8x1 ¡ 4x2		= 0	¯	:	(32)
		4x1 + 2x2	= 0	¯
				¯

Второе уравнение пропорционально первому, и поэтому должно быть отброшено, так как не нес¼т новой информации после первого. Дефект системы равен единице, по-

этому в общем решении системы (32) должна присутствовать одна произвольная константа. Пусть C имя этой произвольной константы.

Åñëè x1 = C; то общее решение системы (32) имеет вид x1 = C; x2 = 2C;

позволяющий выписать собственный вектор						¶	= C	µ2 ¶	:
X =	µx2	¶	=	µ	2C
	x1				C			1

Во многих практически важных случаях собственный вектор нормируется, то есть, находится такое C; при котором норма (модуль) собственного вектора обраща-

ется в единицу. В данном случае	¢ X =	µ p25 ¶			:
g1 = jXj
		1
1		p	5

Обозначение g1 применено для нормированного собственного вектора, соответствующего числу ¸1 :

2. ¸2 = 9: Система уравнений (18) принимает вид

½ ¡4x1	¡	8x2	= 0	¯	:	(33)
¡	¡			¯
2x1		4x2	= 0	¯
				¯

Второе уравнение пропорционально первому и поэтому отбрасывается. Общее решение системы (33) имеет вид x1 = ¡2C; x2 = C; позволяющий выписать собственный

вектор

54

X =	µx2 ¶	=	µ¡C	¶ = C	µ 1 ¶	:
	x1		2C		¡2

Результатом нормировки будет		¢ X =	µ¡p15		5 ¶		:
g2 = jXj
			2
1			p

Обозначение g2 применено для нормированного собственного вектора, соответствующего собственному числу ¸2 .

Замечание

Векторы g1; g2 ортогональны, g1 ¢ g2 = 0 ; и это не случайно.

Определение Квадратная матрица

A = faijgi=1;2; ::: ; n называется симметричной,

j=1;2; ::: ; n

	åñëè aij		= aji ; i = 1; 2; 3; : : : ; n ;				j = 1; 2; 3; : : : ; n :
Примеры симметричных матриц:				1	4	7		0		3	19		9			1	1
	3	5
			; B = 0			9 1;		B	11		¡3		4		6		C
A =		¡		4	2		C =		¡						¡			:
µ	5	2	¶			8 C			4		9		¡	8	9
	¡		B	7	9			B	6			1			15		C
			@			A		B					9				C
								B									C
								@			¡						A

Теорема о собственных числах и собственных векторах симметричной матрицы Пусть квадратная матрица A симметрична и состоит только из веществен-

ных элементов. Тогда:

1.Все собственные числа матрицы A вещественны.

2.Собственные векторы матрицы A; соответствующие разным собственным числам, попарно ортогональны.

Без доказательства.

55

Замечание Если собственное число простое (кратность равна единице), то дефект системы

уравнений (29) равен единице, и общее решение системы содержит одну произвольную

константу. Конкретное значание константе можно придать при нормировке вектора. Среди собственных чисел матрицы корней уравнения (28) могут быть крат-

íûå. Åñëè ¸i собственное число кратности ki > 1 ; то дефект системы уравнений (29) равен ki ; и общее решение системы содержит ki произвольных констант. Из

этого общего решения всегда можно (но всегда с трудозатратами) "сконструировать" ki попарно ортогональных (а следовательно, линейно независимых) нормированных

векторов, каждый из которых будет соответствовать собственному числу ¸i :

Таким образом, из собственных векторов квадратной матрицы порядка n можно "собрать" ортонормированный базис множества всех n¡мерных векторов.

Определение

Функция

f(x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn) = a11x12 + a22x22 + a33x32 + : : : + annxn2 +
+ 2 ¢ a12x1x2 + 2 ¢ a13x1x3 + 2 ¢ a14x1x4 + : : : + 2 ¢ a1nx1xn +
+ 2 ¢ a23x2x3 + 2 ¢ a24x2x4 + : : : + 2 ¢ a2nx2xn +
+ : : : + 2 ¢ an¡1;nxn¡1xn	(34)

(ãäå aij постоянные числа) называется квадратичной формой.

Каждое слагаемое квадратичной формы содержит либо квадрат одной из переменных, либо смешанное произведение первых степеней двух разных переменных.

56

Симметричная матрица	0 a12			a22	a23	: : : a2n 1
A =		a11		a12	a13	: : : a1n			C	(35)
	B a13			a23	a33	: : : a3n
	B								C
	B					.	.. .		C
	B . . .								C
	B								C
	Ba			a	a	: : : a			C
	@								A
	B		1n	2n	3n			nn C

называется матрицей квадратичной формы (34).

Замечание Квадратичная форма (34) может быть записана в виде

	n	n¡1 n
	Xi	X X
f(x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn) =	aiixi2 + 2 ¢	aijxixj	(36)
	=1	i=1 j=i+1

Представление (36) менее наглядно (менее привычно), чем (34), но более компактно.

Замечание

Поскольку запись (x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn) есть "строчное" обозначение для n

мерного вектора 0 x1 1

B C

BB x2 CC

X = B x C;

BB 3 CC

B . C

@ A

xn

далее, для краткости, вместо записи f(x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn) иногда будет применяться

f(X).

Теорема о матричной записи квадратичной формы Квадратичная форма может быть записана в виде

f(X) = XT ¢ A ¢ X :

(37)

Без доказательства.

57

Пример

f(x1; x2; x3) = 2x12 + 5x22 + 3x32 + 8x1x2 + 14x1x3 + 2x2x3 =

1 =

= ( x1 x2 x3 )

04

5

1

1 0x2 1 = ( x1

x2 x3 )

0 4x1

+ 5x2

+ x3

¢

B

2

4

7

x1

C

¢

2x1

+ 4x2

+ 7x3

C

7

1

3 C

¢ Bx3

B 7x1

+ x2 + 3x3

@

A

@

A

@

A

=x1 ¢ (2x1 + 4x2 + 7x3) + x2 ¢ (4x1 + 5x2 + x3) + x3 ¢ (7x1 + x2 + 3x3) =

=2x21 + 4x1x2 + 7x1x3 + 4x2x1 + 5x22 + x2x3 + 7x3x1 + x3x2 + 3x23 =

=2x21 + 5x22 + 3x23 + 8x1x2 + 14x1x3 + 2x2x3 :

Замечание Формула (37) позволяет представить квадратичную форму не только с исполь-

зованием матрицы (35): Пригодна и любая другая матрица A0 = fa0ijgi=1;2; ::: ; n ; îò-

j=1;2; ::: ; n

вечающая требованию a0ij + a0ji = 2aij : Однако, ценность имеет именно симметричная матрица квадратичной формы.

Замечание

Пусть дан тривиальный базис e = fe1 ; e2 ; e3 ; : : : ; eng: Тогда для всякого n мерного вектора (столбца) X справедливо Xe = X; а значит, квадратичную форму f(X) = XT AX можно представить в виде f(Xe) = XeT AeXe в котором матрицу Ae = A будем называть матрицей квадратичной формы в простейшем базисе.

Теорема об изменении матрицы квадратичной формы при смене базиса.

Пусть даны n мерные векторы (столбцы) Xe è Xg , выражающие ко-

эффициенты разложения по базисам			e		= fe1 ; e2 ; e3 ; : : : ; eng è g =
fg1 ; g2 ; g3 ; : : : ; gng некоторого вектора X.
Тогда
XeT Ae Xe = XgT Ag Xg ;										(38)
где используется обозначение A	g	= ST		A	e	S	g!e	; A	g	называется матрицей
		g!e

квадратичной формы в базисе g.

58

Доказательство

XeT AeXe = (Sg!e Xg)T Ae (Sg!e Xg) = XgT SgT!e Ae Sg!e Xg = XgT (SgT!eAe					Sg!e) Xg =
= XgT Ag Xg :	|		{z			}
		=Ag

Замечание Формула (38) поначалу позволяет перейти от матрицы квадратичной формы "в

чистом виде" (в тривиальном базисе e) к матрице квадратичной формы в произвольном базисе g.

При доказательстве (38) не использовалось то, что e является тривиальным базисом. Следовательно, далее формула (38) позволяет переходить от матрицы квадра-

тичной формы в одном произвольном базисе к матрице квадратичной формы в другом произвольном базисе.

Теорема о симметричной матрице в базисе из собственных векторов

1. Набор собственных чисел симметричной матрицы квадратичной формы Ae в одном базисе e не изменяется при переходе к симметричной матрице

квадратичной формы Ag , в другом базисе g .

2. Если базис g построен из собственных векторов симметричной матрицы

квадратичной формы, и все собственные числа матрицы ¸1 ; ¸2 ; ¸3 ;											: : : ;
¸n отличны друг от друга, то матрица Ag имеет диагональный вид,
	0	¸	0	0	: : :		0		1
		01	¸2	0	: : :		0
	B								C
	B			.	.	..	.		C
Ag =	B . .								C	:	(39)
	B	0	0	¸3	: : :		0		C
	B								C
	B	0	0	0	: : :		¸		C
	B							n C
	@								A

Без доказательства.

59

Замечание

Последующая часть документа содержит указания к исполнению типового рас- ч¼та. Типовой расч¼т состоит в построении кривой второго порядка в декартовой пря-

моугольной системе координат Ox1x2 по заданному уравнению этой кривой. Уравнение произвольной кривой второго порядка имеет вид

a11x12 + a22x22 + 2a12x1x2 + b1x1 + b2x2 + c = 0 ;

(40)

a11 ; a22 ; a12 ; b1 ; b2 ; c постоянные коэффициенты.

Перед решением демонстрационной задачи следует сформулировать ряд определений и замечаний.

Определение

Наклонной асимптотой по отношению к кривой x2 = f(x1) в направлении x1 ! +1 называется прямая x2 = ®©x1+¯© ; коэффициенты для которой находятся по формулам

®

lim

f(x1)

;

¯

©

=

lim

(f(x

)

¡

®

©

x

) :

(41)

© = x1!+1

x1

x1!+1

1

1

Если хотя бы один из пределов в (41) не существует или бесконечен, наклонной асимптоты в направлении x1 ! +1 íåò.

Наклонной асимптотой по отношению к кривой x2 = f(x1) в направлении x1 ! ¡1 называется прямая x2 = ®ªx1+¯ª ; коэффициенты для которой находятся по формулам

®ª = x1lim	f(x1)			;	¯ª = x1lim (f(x1) ¡ ®ªx1) :	(42)
	x
!¡1		1			!¡1

Если хотя бы один из пределов в (42) не существует или бесконечен, наклонной асимптоты в направлении x1 ! ¡1 íåò.

Замечания 1. Горизонтальная (в случае ®© = 0 или в случае ®ª = 0) асимптота рассмат-

ривается как частный случай наклонной асимптоты.

60