Литература и лекции / Векторы20171108

Определение

Вектор это направленный отрезок. Вектор задан двумя точками (двумя границами), одну из которых принято называть началом, другую концом вектора.

Вектор изображается в виде отрезка прямой, начало которого выделено точкой, а конец помечен стрелочкой.

Если начало вектора совпадает с его концом, такой вектор называется нулевым вектором.

Для каждой пары точек определено понятие расстояния между ними. Длиной вектора называется расстояние между его началом и концом. Длина нулевого вектора равна нулю.

Каждая пара точек зада¼т направление от одной из них к другой из них. Это направление называется направлением вектора.

Направление нулевого вектора не определено. Нулевой вектор "параллелен" любой прямой и любой плоскости.

Принято считать, что при параллельном переносе вектора он не изменяется.

Всюду далее, для краткости, под словом "перенос" будет подразумеваться параллельный перенос вектора.

Модуль вектора это его длина.

Орт это вектор, модуль которого равен единице. Векторы обозначаются:

1. Двумя заглавными буквами латинского алфавита с общей стрелочкой

¡!

над обеими, например, AB. Первая из букв есть имя начальной точки, вторая имя конечной точки.

2. Одной маленькой буквой латинского алфавита со стрелочкой над нею, например, ~a.

3. Для нулевого вектора применяется обозначение ~

0:

1

В некоторых случаях, для экономии времени, вместо стрелочки над именем вектора ставится горизонтальный отрезок. Пример: a¯ :

Модуль вектора обозначается двумя вертикальными линиями, так же, как

¡!

модуль числа. Например, jABj ; j~aj :

Определение Суммой двух нулевых векторов считается нулевой вектор.

строится по следующему правилу (которое называется правилом треуголь-

ника). Вектор ~

b перемещается параллельным переносом так, чтобы его

Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. Произведением любого вектора на ноль считается нулевой вектор.

Произведением ненулевого вектора ~a на ненулевое число ¸ называется

вектор ~

b ; который строится по следующему правилу.

2

¸ < 0 ; вектор vecb направлен в сторону, противоположную вектору ~a :

Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются арифметическими операциями.

Замечание Множество векторов является линейным пространством. Применяется название:

линейное векторное пространство.

Теорема 1 о свойствах арифметических операций над векторами

Доказательство коммутативности

b, провед¼м прямую, параллельную вектору ~a. Векторы ~a b непараллельны,

следовательно, прямые пересекутся в некоторой точке, которую обозначим D.

¡¡!

Построим вектор OD, идущий вдоль диагонали параллелограмма OADB.

3

Это, второе определение разности, равносильно первому. Определение

Линейной комбинацией векторов ~a1, ~a2, : : : , ~an (ãäå

¸1~a1 + ¸2~a2 + : : : + ¸n~an ;

в которой ¸1, ¸2, : : : , ¸n вещественные числа.

4

Для линейной комбинации применяется, также, альтернативная форма обозна-

Линейная комбинация называется тривиальной, если ¸1 = ¸2 = : : : = ¸n = 0. Линейная комбинация называется íåтривиальной, если из чисел ¸1, ¸2, : : : , ¸n

хотя бы одно отлично от нуля.

Для того, чтобы легче было отличить векторы от чисел, векторы здесь и далее представлены латинскими буквами (и совсем не обязательно буквой a), числа пред-

ставлены греческими буквами (и совсем не обязательно буквой ¸).

Определение

Векторы ~a1, ~a2, : : : , ~an называются линейно независимыми, если из равенства

~

¸1~a1 + ¸2~a2 + : : : + ¸n~an = 0

следует, что ¸1 = ¸2 = : : : = ¸n = 0.

Векторы ~a1, ~a2, : : : , ~an называются линейно зависимыми, если равенство

~

¸1~a1 + ¸2~a2 + : : : + ¸n~an = 0

возможно при таких ¸1, ¸2, : : : , ¸n, что не все они равны нулю. А именно, найд¼тся хотя бы одно ¸j =6 0 (1 · j · n), при котором линейная комбинация векторов вс¼ таки является нулевым вектором.

Теорема 2

Для того, чтобы векторы ~a1, ~a2, : : : , ~an были линейно зависимы, необ-

ходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них выражался линейной комбинацией остальных.

Доказательство необходимости

По определению линейной зависимости найд¼тся такой номер элемента j (1 · j · n), ÷òî ¸j =6 0: Тогда равенство

Xn

~

¸i~ai = 0

i=1

5

можно домножить на число 1=¸ ,

который подтверждает, что элемент ~aj представлен линейной комбинацией остальных элементов. Ограничение i 6= j под знаком суммы подразумевает, что суммируются все слагаемые, кроме слагаемого с номером j.

Доказательство достаточности. Если

Определение Два вектора коллинеарны, если они параллельны одной прямой.

6

Замечание Если один из двух векторов нулевой, такие два вектора коллинеарны, посколь-

ку нулевой вектор параллелен любой прямой. Далее будет рассматриваться только случай двух ненулевых векторов.

Замечание Если два коллинеарных вектора перенести так, чтобы их начала совместились

и легли на ту прямую, которой они параллельны, оба вектора будут лежать на этой прямой.

Замечание Если два коллинеарных вектора имеют одинаковое направление, принято гово-

рить, что они сонаправлены. Если два коллинеарных вектора направлены в противоположные стороны, принято говорить, что они антинаправлены.

Замечание

орт вектора ~a коллинеарен вектору ~a и сонаправлен с ним. Очевидно, что орт вектора

единственен.

Замечание Нетрудно доказать, что справедливы свойства коллинеарности:

Теорема 3

,~

Для того, чтобы векторы ~a b были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы они были линейно зависимы.

Доказательство будет построено только для случая, когда оба вектора ненулевые.

Доказательство необходимости.

Векторы коллинеарны, следовательно, в результате переноса до совмещения начал

7

Поскольку эти орты ещ¼ и имеют одну длину, то они равны,

а значит,

,~

2.Пусть векторы ~a b антинаправлены. Тогда

~~

¸1~a + ¸2b = ;0

~

Поскольку по определению произведения вектора ~a на число ¡¸2=¸1 вектор b лежит на той же прямой, что и вектор ~a, следовательно, коллинеарность векторов соблюдена.

Определение

Три вектора компланарны, если они параллельны одной плоскости. Обозначение для компланарности векторов не придумано.

Замечание Если один из тр¼х векторов нулевой, такие три вектора компланарны. Действи-

тельно, нулевой вектор параллелен любой плоскости, а для двух оставшихся векторов всегда можно найти плоскость, которой они параллельны.

Замечание Если два из тр¼х векторов коллинеарны, такие три вектора компланарны.

Действительно, для второго и третьего (неколлинеарных друг другу) векторов всегда можно найти плоскость, которой они параллельны. Тогда первый вектор будет "автоматически" параллелен этой плоскости.

8

Замечание Если три компланарных вектора перенести так, чтобы их начала совместились

и легли на ту плоскость, которой они параллельны, все три вектора будут лежать на этой плоскости.

Теорема 4

, ~

Для того, чтобы векторы ~a b, ~c были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы они были линейно зависимы.

Доказательство будет построено для случая, когда все три вектора ненулевые, и среди них нет коллинеарной пары.

Доказательство необходимости Векторы компланарны, следовательно, после переноса до совмещения начал векторов

в точке O они будут лежать на одной плоскости.

A есть точка пересечения этой прямой с прямой, на которой лежит вектор ~a.

Ðèñ. 3

¡! ~ ¸1 ¢ ~a + ¸2 ¢ OA = 0 ;

выражения для ¸1 =6 0 è äëÿ ¸2 =6 0 показаны в доказательстве Теоремы 3. Но тогда

9

ãäå ¹1 =6 0, ¹2 =6 0, ¹3 = ¡1 =6 0, то есть, существует линейная комбинация, равная

нулевому вектору, с ненулевыми коэффициентами. Необходимость доказана.

Доказательство достаточности Векторы линейно зависимы, следовательно,

~ ~

¸1~a + ¸2b + ¸3~c = 0

при некоем ¸i =6 0. Для примера будем считать, что ¸3 =6 0 (доказательство для других случаев стоится аналогично). Тогда

Поскольку линейная комбинация двух векторов лежит в плоскости, которой они параллельны (или в которой они лежат), вектор ~c прараллелен той же плоскости (или в

ней лежит). Это и означает компланарность тр¼х векторов.

Замечание Если вектор параллелен заданной прямой, то параллельным переносом, от кото-

рого вектор не изменяется, вектор можно перенести на прямую. Поэтому слова "вектор, параллельный заданной прямой, или лежащий на ней" впредь, для краткости, будут заменяться словами "вектор, лежащий на заданной прямой".

10