Литература и лекции / КомплексныеЧисла

Определение

Функция pn(x) = anxn + an¡1xn¡1 + : : : + a1x + a0 называется полиномом (многочленом) степени n. Чаще всего an; an¡1; : : : ; a1; a0 2 R.

Определение

Число x0 называется корнем (или íóë¼ì) функции f(x), åñëè f(x0) = 0.

Теорема (основная теорема алгебры)

Полином n й степени pn(x) имеет ровно n корней, x1, x2, : : : ; xn, è ðàç- лагается на произведение n линейных множителей:

pn(x) = an ¢ (x ¡ x1) ¢ (x ¡ x2) ¢ : : : ¢ (x ¡ xn¡1) ¢ (x ¡ xn).

Без доказательства.

Замечание Принято считать, что строгого алгебраического доказательства основной теоре-

мы алгебры не существует. Все имеющиеся "доказательства" опираются на íåалгебраи-

ческие концепции. К тому же, статус "основной" теорема давно утратила, и такое названиет имеет чисто историческое значение.

Замечание

То, что полином p2(x) = x2 ¡ 3x + 2 = (x ¡ 1)(x ¡ 2) имеет ровно два корня (x1 = 1 è x2 = 2), сомнений не вызывает.

С тем, что полином p2(x) = x2 ¡ 2x + 1 = (x ¡ 1)2 имеет два корня, кто-то не согласится, утверждая, что корень только один (x1 = 1). Однако, разложение p2(x) = (x¡1)¢(x¡1) можно воспринимать и так: корней два, но они одинаковые. Если

в разложении полинома присутствует (как в данном случае) несколько одинаковых линейных сомножителей, соответствующий им корень принято называть кратным. В данном случае, корень имеет кратность 2.

Полином p5(x) = x5 + 3x4 + 3x3 + x2 = x2 ¢ (x + 1)3 = (x ¡ (¡1))3 ¢ (x ¡ 0)2 имеет

1

корень кратности 3 (x1 = ¡1) и корень кратности 2 (x2 = 0). Сумма кратностей всех

корней полинома в ýòîì и во всех прочих случаях равна степени полинома.

С тем, что полином p2(x) = x2 ¡ 2x + 5 имеет хотя бы один корень, кто-то не

согласится, утверждая, что отрицательный дискриминант означает отсутствие корней. И это было верно, пока мы не знали, что такое комплексные числа. Теперь пришла пора узнать.

Формальное решение уравнения x2 ¡ 2x + 5 = 0

До сей поры квадратные корни из отрицателüíых чисел были запрещены. Отныне запрет снимаетсÿ. Âñÿêîå âûðàæåíèå âèäà p¡a , ãäå a > 0 , дозволяется преоб- разовывать к виду p¡a = p¡1 ¢ pa = { ¢ pa, ãäå { = p¡1 некое новое, впервые

вводимое число, для которого принято название "мнимая единица" (imaginary unit). В свете этой новой договор¼нности корнями полинома p2(x) = x2 ¡2x + 5 будут

числа x1 = 1+2¢{ , x2 = 1¡2¢{ . И, следовательно, p2(x) = (x¡(1+2¢{ ))(x¡(1¡2¢{ )) .

Кто-то скажет: "Но вс¼-таки корней квадратных из отрицательных чисел в природе нет!". Ответить можно словами: "Чисел в природе вообще нет. Они есть только

в нашем сознании". Так что, одним числом больше, одним числом меньше : : :

Определение Мнимая единица { есть число, которое подчиняется требованию {2 = ¡1 .

Комплексным числом называется выражение вида a + b ¢ { , ãäå a, b вещественные числа (a 2 R, b 2 R), a называется вещественной частью комплексного числа, b называется мнимой частью комплексного числа.

Для множества всех комплексных чисел вводится обозначение C.

Если новые конструкции (выражения) названы числами, логично ожидать, что над ними можно будет совершать логические и арифметические операции, от них можно будет брать функции.

Сами комплексные числа можно обозначать буквами латинского и греческого

2

алфавита, как это делалось для вещественных чисел.

Определение

Два комплексных числа u = a + b ¢ { è v = c + d ¢ { равны тогда и только тогда, когда a = c è b = d одновременно.

Комплексное число u = a + b ¢ { равно нулю тогда и только тогда, когда a = 0 è b = 0 одновременно.

Отношения "больше меньше" для комплексных чисел не определены. Поэтому, знаки > , < , ¸ , · к комплексным числам не применяются.

Определение

Числом, комплексно сопряж¼нным к данному числу u = a + b ¢ { , называется комплексное число v = a ¡ b ¢ { .

Обозначение: v = u¯, a + b ¢ { = a ¡ b ¢ {.

3

Замечание Назначенные этим определением результаты можно получить и "непосредствен-

но", если совершать арифметические операции "как обычно", без оглядки на особен-

Замечание Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами ком-

мутативности, ассоциативности, дистрибутивности. Справедливость этого утверждения непосредственно следует из определения операций.

Замечание Далее рассматриваются функции, зависящие от комплексных переменных. Мы

начинаем работать с тем, что принято называть теорией функций комплексного переменного (для краткости, ÒÔÊÏ).

Определение

z = a + b ¢ { называется число pa2 + b2. Обозначение: jzj = ja + b ¢ {j = pa2 + b2.

Вещественная часть комплексного числа z = a + b ¢ { есть величина a. Обозначение: Re z = Re(a + b ¢ {) = a.

Мнимая часть комплексного числа z = a + b ¢ { есть величина b. Обозначение: Im z = Im(a + b ¢ {) = b.

4

Ðèñ. 1

Замечание Если множество всех вещественных чисел принято изображать точками на "ве-

щественной прямой" (на вещественной оси), то множество всех комплексных чисел изображается точками на комплексной плоскости (Рис. 1).

Оси двумерной системы координат сопровождаются именами "Re" (горизонтальная ось) и "Im" (вертикальная ось). Иногда пишут Re z è Im z (если имя комплексной

переменной обязательно z).

Комплексное число изображается точкой, горизонтальная и вертикальная координаты которой соответственно вещественная и мнимая части числа.

Расстояние точки от начала координат (гипотенуза треугольника с катетами, равными вещественной и мнимой частям) есть модуль комплексного числа (Рис. 1). Отрезок, идущий вдоль гипотенузы, в литературе иногда называется радиус вектором комплексного числа. На Рис. 1 этот отрезок даже снабж¼н стрелкой, но не следует злоупотреблять смешением векторной алгебры с комплексной арифметикой.

Комплексные числа, мнимая часть которых равна нулю, изображаются точками на горизонтальной (вещественной) оси "Re".

Комплексные числа, вещественная часть которых равна нулю, называются чисто мнимыми и изображаются точками на вертикальной (мнимой) оси "Im".

Комплексное число, вещественная и мнимая части которого обе равны нулю, есть ноль. Это число расположено в начале отсч¼та координатной системы (в месте пересечения осей "Re" и "Im").

5

Замечание Следует обратить внимание на то, что ÒÔÊÏ использует слово "аргумент" в

непривычном смысле. В средней школе слово "аргумент" относилось к значению, от которого функция зависела. В ÒÔÊÏ это слово относится к значению, которое принимает одна из функций. Поэтому то, от чего функция зависит, будем далее называть параметром (как это принято в языках программирования).

Замечание

Аргументом комплексного числа z = a+ b¢{ называется угол ' такой, что

Обозначение: arg z = '.

Если некоторый угол ' подчиняется требованиям (1), òî óãîë ' + 2¼k (ãäå k любое целое число), также подчиняется этим требоввниям. То

есть, в качестве аргумента комплексного числа пригодно бесконечно много вещественных чисел (Рис. 2), и с таким изобилием требуется разбирательство.

Именно поэтому формулировка (1) вынесена в замечание, а не в определе-

6

Выражение (3), принимает значения из промежутка (¡¼; +¼]. Óãîë, ïðè-

годный в качестве аргумента комплексного числа, в этом промежутке единственен.

Замечание

Символ def

= означает "равно по определению". Справа от этого символа да¼тся разъяснение тому понятию, которое названо слева от символа.

Определение

Логарифм комплексного числа z зада¼тся формулой

def

ln z = ln jzj + { ¢ arg z :

Определение

Экспонента комплексного числа z = a + b ¢ { зада¼тся формулой

Замечание

Логарифм определ¼н для любого комплексного числа, кроме нуля. ln z = 0 только при z = 1.

7

Экспонента определена для любого комплексного числа. Экспонента никогда не обращается в ноль.

В соответствии с определением экспоненты справедливо соотношение

На основе (4) можно доказать, что

Соотношение (7) есть представление комплексного числа в тригонометрической

форме, или представление в форме Эйлера. Она выражает комплексное число через две его "полярные" компоненты: модуль числа и аргумент числа.

Формулы (5) (6) пригодятся при изучении темы "дифференциальные уравне-

íèÿ".

Настало время назвать геометрический смысл аргумента.

Аргумент комплексного числа есть кратчайший угол, отмеряемый от положительного направления вещественной оси (Рис. 1, Рис. 2) до радиус вектора числа. Крат-

чайшим считается угол, абсолютная величина которого не превосходит ¼.

Угол считается положительным, если он отмерен против часовой стрелки (Рис. 1, Рис. 2(а),(б),(в)). Угол отрицателен, если он отмерен по часовой стрелке (Рис. 2(г)). Отметим, что углы, показанные на Рис. 2(г),(в),(б), не являются кратчайшими.

8

Для множества вещественных чисел, наряду с бинарными операциями сложения, вычитания, умножения, деления, определена ещ¼ одна (пятая) бинарная операция: возведение одного числа в степень, равную другому числу. Если показатель степени целое число, определить такую операцию для комплексных чисел несложно.

Определение

Пусть z комплексное число, z 6= 0 ; n 2 N; n ¸ 2 : Тогда

то есть, модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей, а аргумент произведения двух комплексных чисел равен сумме их аргументов.

9

Доказательство

z1 ¢ z2 = jz2j ¢ (cos '1 + { ¢ sin '1) ¢ jz2j ¢ (cos '2 + { ¢ sin '2) =

=jz1j ¢ jz2j ¢ ¡cos '1 ¢ cos '2 + { ¢ cos '1 ¢ sin '2 + { ¢ sin '1 ¢ cos '2 + {2 ¢ sin '1 ¢ sin '2¢ =

=jz1j ¢ jz2j ¢ ((cos '1 ¢ cos '2 ¡ sin '1 ¢ sin '2) + { ¢ (sin '1 ¢ cos '2 + cos '1 ¢ sin '2)) =

=jz1j ¢ jz2j ¢ (cos('1 + '2) + { ¢ sin('1 + '2)) :

Следствие

Модуль произведения n комплексных чисел равен произведению их модулей, а аргумент произведения n комплексных чисел равен сумме их аргументов.

Иными словами, если бы определение корня натуральной степени n из комплексного числа z строилось по тому же принципу, что и школьное определение корня из вещественного числа, то комплексное число u было бы пригодно в качестве такого корня.

Замечание

Дать определение степени с произвольным комплексным основанием и произвольным комплексным показателем степени можно, казалось бы, с помощью формулы

u 2 C; v 2 C; u 6= 0 :

В действительности, определение степени будет несколько иным.

10