Добавил:

FilimonLipin86 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Литература и лекции / Series

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.06.2023

Размер:

469.81 Кб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Определение Числовой ряд это совокупность двух последовательностей:

основной последовательности чисел fangn2N ;

вспомогательной последовательности fSngn2N частичных сумм, содер- жащих элементы основной последовательности: S1 = a1 , S2 = a1 + a2 ,

S3 = a1 + a2 + a3 , : : : ; Sk = a1 + a2 + a3 + : : : + ak , : : : :

Обозначение:

an :

n=1

Если существует и конечен предел

lim Sk

= S,

принято говорить, что

k!+1

числовой ряд сходится, а число S åñòü сумма ряда.

Если ряд сходится, и S есть сумма ряда, то принято писать

an = S :

n=1

Если предел

lim

Sk бесконечен либо не существует,

принято говорить,

k!+1

что числовой ряд расходится.

Åñëè lim S

то принято писать

= +

;

= +

k!+1

n=1

Теорема

о необходимом условии сходимости числового ряда

9 n!+1

Если сходится числовой ряд n=1

òî

= 0.

;

lim

Доказательство

Числовой ряд

an ; сходится, следовательно, существует и конечен предел

n=1

lim S

lim

+ a

+ : : : + a

n¡1

+ a

) = S :

(1)

n!+1

Предел в (1) не зависит от имени переменной, следовательно, индекс суммирования n в (1) можно заменить на индекс суммирования m : Далее, можно сделать ещ¼ одну

замену, индекс m можно заменить на индекс n ¡ 1 ; тогда

lim

n¡1

lim (a

+ a

+ : : : + a

n¡1

) = S :

(2)

n¡1!+1

n!+1

Вычитая равенство (2) èç (1), получаем:

lim

n¡1

= S

lim (S

n¡1

) = 0 =

lim

= 0 :

n!+1

¡ n!+1

)

n!+1

)

n!+1

Доказательство закончено.

Теорема

о линейной комбинации сходящихся числовых рядов

Если сходятся числовые ряды

и суммы этих рядов равны

bn ;

соответственно A è B ;

n=1

òî числовой ряд

(®an + ¯bn) (ãäå ® 2 R; ¯ 2 R)

также сходится,

n=1

и сумма такого ряда равна ®A + ¯B :

Доказательство

Рассмотрим предел частичной суммы целевого ряда:

n! =

(

®a

¯b

n) = k

lim

(

®a

n +

¯b

n) = k

lim

n +

n=1

1 n=1

¢k

lim

+ ¯

¢k

lim

= ®A + ¯B :

1 n=1

}

Пределы

lim

существуют и конечны (поскольку, по условию

k!+1 n=1

теоремы, сходятся соответствующие числовые ряды). Доказательство закончено.

Замечание В предыдущей теореме речь шла о линейной комбинации двух сходящихся рядов.

Аналогично доказывается теорема о комбинации любого другого конечного количества сходящихся рядов (одного, тр¼х, четыр¼х, и т.д.).

Пример 1 Числовой ряд

+1
X				1)n не существует.
n	расходится, так как предел		lim (	1)n не существует.
(¡1)		n	+	¡
n=1			! 1

Пример 2 Числовой ряд

+1 pn расходится, так как		lim pn		.
X		+	= +1
	n
n=1		! 1

Пример 3 Числовые ряды в предыдущих двух примерах расходятся, поскольку ими нару-

шено необходимое условие сходимости. А вот так называемый Гармонический Ряд

+1	1			1
X		также расходится, даже несмотря на то, что	lim		= 0. Тем подтверждается,
			lim		= 0. Тем подтверждается,
n=1 n			n!+1 n

что необходимое условие сходимости вовсе не обязательно является достаточным.

Пример 4 С первым из сходящихся числовых рядов каждый студент познакомился в школе,

изучая тему "Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии". В частном

случае,

lim

¡ k

!+1 µ

1 2

¢ Ã

¡ µ

¶ !

}

¡ 3

lim

= 2 :

n=1 µ3¶

k!+1 n=1

µ3

k!+1

Пример 5 Со следующим числовым рядом обычно знакомы студенты, которые в школьные

годы посещали математические кружки и участвовали в математических олимпиадах:

lim

n=1 n(n + 1) = n=1 µn ¡ n + 1¶

µn

¡ n + 1¶

= k!+1 n=1

= lim

+ : : : +

1 ¡

¡ 3

µk ¡ 1 ¡ k

¡ k + 1

k!+1 Bµ

¶ µ

¶ µk

¶C

n=1

n=2

n=3

n=k

} |

}

("цветные" члены, представленные одинаковыми цветами, взаимно уничтожаются)
= k!+1	µ1 ¡ k + 1	¶	¡ k!+1 k + 1		¡
lim	1		= 1 lim	1	= 1 0 = 1 :
lim			= 1 lim		= 1 0 = 1 :

Пример 6 Следующие числовые ряды обычно студентам 1 го курса незнакомы.

Вывод сумм этих рядов нетривиален, а результаты неожиданны:

¼2

¼4

¼6

¼8

;

945

9450

n=1

Замечание К необходимости вычисления сумм числовых рядов приводит решение многих

(если не большинства) инженерно технических и экономических задач. Достаточно сказать, что вычисление обычного синуса это вычисление суммы некоего числового ряда. В компьютере таким вычислением занимается микросхема, называемая "математическим сопроцессором" и являющаяся частью процессора.

Замечание Случаи, когда сумма ряда известна из теоретических соображений (как в пока-

занных выше Примерах 4 6), весьма немногочисленны. В большинстве случаев суммы приходится находить прямыми арифметическими действиями. Поскольку сложить бесконечно много слагаемых невозможно даже на суперсовременных компьютерах,

приходится довольствоваться суммами из конечного числа слагаемых. Сколько именно слагаемых из бесконечной суммы следует сохранить, чтобы обеспечить достаточную точность вычислений, приходится выяснять из теоретических соображений. Но прежде, чем эти соображения реализовать, неплохо бы выяснить, а сходится ли исследуемый числовой ряд вообще. Если ряд расходится, вычислять его сумму бессмысленно. Выяснять, сходится ли ряд, можно с помощью признаков сходимости.

Знакопостоянными принято называть числовые ряды, слагаемые которых не меняют знак (например, все слагаемые неотрицательны).

Теорема. Первый признак сравнения рядов

Пусть даны два числовых ряда: X+1 an

n=1

Пусть 0 · an · bn, 8n 2 N.

Тогда:

1. Åñëè ðÿä X+1 bn сходится, то и ряд

n=1

X+1

èbn :

n=1

X+1

an также сходится.

n=1

2. Åñëè ðÿä

Доказательство

+1	+1
X	X
an расходится, то и ряд	bn также расходится.
n=1	n=1

Прежде всего обратим внимание на то, что последовательности частичных сумм

Sn = a1 + a2 + a3 + : : : + an ,			Tn = b1 + b2 + b3 + : : : + bn ,				возрастают. Действительно,
Sn+1 = Sn + an		¸ Sn ; Tn+1 = Tn		+ bn ¸ Tn ; 8n 2 N.				N. Действительно,
	\|{z}				\|{z}	Sn Tn ,	n	N. Действительно,
	¸0				¸0
Обратим внимание ещ¼ и на то, что						·	8	2
						·	8	2
Sn = a1	+ a2	+ a3 + : : : + an			· b1 + b2 + b3 + : : : + bn = Tn :
\|{z}	\|{z}	\|{z}	\|{z}
·b1	·b2	·b3	·bn

+1
1. Ðÿä	bn сходится, следовательно, существует и конечен предел lim Tn = T .
n=1								n!+1
X				8n 2 N. Предположим, нашлось такое натуральное N1,
Докажем, что		Tn · T ,		8n 2 N. Предположим, нашлось такое натуральное N1,
что, наоборот, TN1		> T . Но тогда
				Tn ¸ TN1 ; 8 n > N1 ;					(3)
в силу возрастания последовательности fTngn2N :
Пусть	" = T	N1 ¡	T > 0.		По определению предела lim	T	n	= T ,	для этого
		N1 ¡			n!+1		n		8 n > N2 ;
" (как и для любого другого				")	существует такое натуральное	N2, ÷òî			8 n > N2 ;
справедливо неравенство

jTn ¡ T j < TN1 ¡ T () ¡(TN1 ¡ T ) < Tn ¡ T < TN1 ¡ T =) Tn ¡ T < TN1 ¡ T =)

=¡"

N :

< T

;

>{z }

(4)

Возьм¼м N0 = max(N1; N2).

Тогда

8 n > N0

должно выполняться неравенство (3) (òàê êàê n > N0 =) n > N1).

À åù¼

8 n > N0

должно выполняться неравенство (4) (òàê êàê n > N0 =) n > N2).

Но одновременно неравенства (3) è (4) выполняться не могут, так как они прямо

противоположны.

Следовательно, гипотеза о наличии N1

такого, что

TN1 > T , отвергается, и

оста¼тся принять

Tn · T ,

8n 2 N.

Последовательность fSngn2N ;

как уже отмечено, возрастает.

Последовательность fSngn2N ограничена, поскольку

Sn · Tn · T , 8n 2 N.

Тогда, по первой теореме Вейерштрасса (изученной в прошлом семестре), последовательность fSngn2N имеет конечный предел. А это и означает сходимость ряда

X+1

an :

n=1

	+1
2. Ðÿä	X
2. Ðÿä	an расходится. Поскольку последовательность fSngn2N ; êàê óæå îòìå-
	n=1

чено, возрастает, она может быть либо ограничена сверху (и в таком случае иметь конечный предел, что означало бы сходимость ряда а в этом пункте о сходимости

ðå÷ü íå èä¼ò), ëèáî íåограничена сверху, но тогда lim S	n	= +	1	: То есть, у возрас-
n!+1	n		1

тающей последовательности не может вообще íå быть предела.

Докажем, что тогда lim Tn = +1.

n!+1

Зададим произвольное " >		0	: По определению предела	lim	S	n	= +	1	; íàé-
				n!+1
д¼тся такое	N = N(") > 0 ; что из неравенства n > N(") следует справедливость
неравенства	Sn > " : Íî Tn ¸ Sn > " ; а справедливость неравенства						Tn > " ïðè

n > N

N "

)

как раз и означает, что

lim T

= +1

(

n!+1

Доказательство закончено.

Пример 7

Выяснить, сходится ли ряд

n=1

Решение

Нетрудно доказать, что n < 2n,

8n 2 N. Тогда

, 8n 2 N.

Ðÿä

n=1

сходится (и это доказано в Примере 4),

следовательно,

ðÿä

n=1

также сходится по первому признаку сравнения.

Теорема.

Второй признак сравнения рядов

Пусть даны два числовых ряда:

bn :

n=1

Пусть lim

= A, ãäå A =

A = 0 (например,

A = 1).

n!+1 bn

6 1

		+1					+1
		X					X
Тогда	ðÿäû			bn		è		an либо оба сходятся, либо оба расходятся.
		n=1					n=1
2. Пусть		lim	an		= 0.
2. Пусть		lim			= 0.
		n!+1 bn							+1
				+1					+1
Тогда	åñëè ðÿä			X					X
Тогда	åñëè ðÿä					bn		сходится, то и ряд	an	также сходится.
				n=1					n=1
3. Пусть		lim	an		=		1	.


		n!+1 bn							+1
				+1					+1
Тогда	åñëè ðÿä			X		bn			X	an также расходится.
Тогда	åñëè ðÿä					bn		расходится, то и ряд		an также расходится.
				n=1					n=1

Без доказательства.

Пример 8

Выяснить, сходится ли числовой ряд

n=1

Решение

n + 1

lim

= lim

lim

1 +

= 1 + 0 = 1 :

n¶

n!+1

n(n + 1)

Ðÿä

сходится (и это доказано в Примере 5), следовательно, ряд

n=1 n(n + 1)

также сходится по второму признаку сравнения.

Теорема.

Признак Даламбера

an+1

Пусть

> 0,

2 N

, и пусть

lim

= q.

Тогда:

9 n!+1

Åñëè

q < 1,

òî ðÿä

Xan сходится;

n=1

X+1 1

n=1 n2

	+1
Åñëè q > 1, òî ðÿä	X
Åñëè q > 1, òî ðÿä	an расходится.
	n=1

Без доказательства.

Пример 9 Выяснить, сходится ли числовой ряд

X+1 n2 n=1 2n :

Решение

(n+1)2

n!+1

¢ 2n+1¢

= 2 ¢n!+1 µ

¶=

2 ¢ µn!+1

µ1 + n

¶¶=

n!+1 n2

q = lim

2n+1

= lim

(n+1)2

lim

n+1

lim

Поскольку

q = 1

< 1,

ряд сходится по признаку Даламбера.

Теорема.

Признак Коши

и пусть

lim

= q.

Пусть

Тогда:

n ¸

2 N

Åñëè

q < 1,

òî ðÿä

сходится;

n=1

Åñëè

q > 1,

òî ðÿä

расходится.

n=1

Без доказательства.

Пример 10 Выяснить, сходится ли числовой ряд

X+1 2n ¡ 1 : 2n

n=1

Решение

lim pn

n 2n

2n ¡ 1

q = lim

= lim

1 =

lim (2n

1) n =

2¡n

n!+1 r

n!+1

pn 2n

¢n!+1

=1 ¢ lim

2 n!+1

				1		1
eln(2n¡1)			n		=	1		lim
eln(2n¡1)			´		=			lim
³			´		2		¢n!+1
2	¢	exp			Bn!+1 µn
= 1		exp			0 lim			1
					B
					@\|

en1

¢ln(2n¡1)

lim exp

= 2

µn

¢n!+1

¢ ln(2 ¡ 1)¶ =

¶C

= 1

exp(0) =

1 :

ln(2n 1)

Предел внутри высоких скобок вычисляется по правилу Лопиталя:

lim

ln(2x

lim

ln(2x

= lim

(ln(2x ¡ 1))0

µx

x¡

h1i

(x)0

x!+1

¢ 2

lim

2x¡1

lim

= 0 :

x!+1

x!+1 2x ¡ 1

Поскольку q = 12 < 1, ряд сходится по признаку Коши.

Замечание В большинстве случаев признак Даламбера и признак Коши взаимозаменяемы.

Однако, работа с признаком Коши чуть более трудо¼мка.

Замечание Если при попытке использования признака Даламбера или признака Коши вы-

ясняется, что q = 1 ; то признак не да¼т ответа на вопрос о сходимости ряда.

Теорема. Интегральный признак Коши Пусть f : R ! R: Пусть:

1)функция f(x) убывает на промежутке [1; +1);

2)f(x) > 0, 8x 2 [1; +1).

Тогда числовой ряд	n=1 f(n)		и несобственный интеграл	Z f(x) dx
	+	1		+1
	X			1

либо оба сходятся, либо оба расходятся. Без доказательства.

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Литература и лекции

#
30.06.2023364.68 Кб0IndefiniteIntegral.pdf
#
30.06.2023161.57 Кб0IntCalculus.pdf
#
30.06.20235.04 Mб1Kudryavcev_KursMatana-1_2006.pdf
#
30.06.2023377.5 Кб0MathAn20180303.pdf
#
30.06.20231.56 Mб0Opredelenia.pdf
#
30.06.2023469.81 Кб0Series.pdf
#
30.06.2023316.86 Кб0Алгебра20170928.pdf
#
30.06.2023537.16 Кб0Алгебра20171011.pdf
#
30.06.2023868.2 Кб0АлгебраГеометрия.pdf
#
30.06.20231.68 Mб1Аналитическая геометрия и линейная алгебра.pdf
#
30.06.2023205.77 Кб0Векторы.pdf