Литература и лекции / DefiniteIntegral

Определение

Набор точек fxigi=0; 1; 2; ::: ; n ; таких, что a = x0 < x1 < x2 < : : : < xn = b, принято называть разбиением (или дроблением) промежутка [a; b].

и этот предел не зависит от способа расстановки узлов xi на промежутке [a; b] и от выбора места для точек »i ; на промежутках [xi¡1; xi],

то принято говорить, что функция f(x) интегрируема на промежутке [a; b] , а значение предела в (1) называется определ¼нным интегралом функции f(x) на промежутке [a; b] .

Теорема

Пусть f : [a; b] ! R.

Åñëè f(x) непрерывна на [a; b] ; то она интегрируема на [a; b] : Без доказательства.

1

Замечание. Обратное, вообще говоря, неверно.

Определение

Пусть f : [a; b] ! R. Пусть f(x) ¸ 0, 8x 2 [a; b].

Часть плоскости в декартовой прямоугольной системе координат xOy, ограниченная прямой y = 0 (снизу), прямой x = a (слева), прямой x = b (справа), и графиком функции y = f(x) (сверху), называется криволинейной трапецией, èëè подграфиком функции f(x) на промежутке [a; b].

Замечание. Геометрический смысл определ¼нного интеграла

Построим график функции y = f(x) на промежутке [a; b]. Пусть S площадь

подграфика этой функции на этом промежутке.

Возьм¼м разбиение промежутка [a; b] набор точек ; таких, что a = x0 < x1 < x2 < : : : < xn = b. Через каждый из узлов разбиения, расставленных на оси Ox , провед¼м вертикальный отрезок до пересечения с линией y = f(x) . Провед¼нные отрезки рассекут подграфик функции f(x) íà n долей (Рис. 1, синие криволинейные трапеции).

Ðèñ. 1

2

Расставим на оси Ox набор точек f»igi=1; 2; ::: ; n ; таких, что xi¡1 · »i · xi . На каждую, i ю по номеру, синюю криволинейную трапецию наложим красный прямоугольник высотой f(»i) . i й по номеру прямоугольник ограничен вертикальными прямыми x = xi¡1 , x = xi , и горизонтальными прямыми y = 0 , y = f(»i) .

Очевидно, что сумма площадей всех красных прямоугольников (а это интегральная сумма) примерно равна сумме площадей всех синих криволинейных трапеций (а это площадь всего подграфика):

Прич¼м, можно попытаться доказать, что разность этих сумм убывает и стремится к нулю при n ! +1 , èëè ïðè r ! 0 :

Попытаться можно. Но не факт, что нужно.

Теперь мы готовы сформулировать геометрический смысл определ¼нного интеграла:

интегральная сумма примерно равна площади подграфика f(x) íà [a; b];

интеграл точно равен площади этого подграфика .

Пытливый читатель скажет: "А вс¼-таки в последнем, фиолетовом пункте, чтото не так".

Безразличный читатель ответит: "А мне это глубоко фиолетово". Теорема

Доказательство строится методом математической индукции.

3

1. База индукции. Убедимся, что формула (3) справедлива при n = 1:

12 = 16 ¢ 1 ¢ 2 ¢ 3 :

2. Индуктивное предположение. Предположим, что формула (3) верна при n = k:

Xk i2 = 16 ¢ k ¢ (k + 1) ¢ (2k + 1) :

i=1

3. Индуктивный переход. Докажем, что формула (3) верна и при n = k + 1:

Xk+1

i2 = 16 ¢ (k + 1) ¢ (k + 2) ¢ (2k + 3) :

i=1

Действительно,

Доказательство закончено. Следствие

Доказательство основано на том, что (4) отличается от (3) отсутствием слагаемого n2.

Теорема

Площадь подграфика функции f(x) = x2 на промежутке [0; b] вычисляется по формуле S = 13 ¢ b3.

4

Доказательство

Возьм¼м набор точек xi = b ¢ ni ; (i = 0; 1; 2; : : : ; n) равномерное разбиение промежутка [0; b]. Ранг разбиения r = nb ; откуда n = rb .

Ðèñ. 2

Рассмотрим i й промежуток разбиения промежуток

Площадь подграфика функции f(x) на этом промежутке (площадь криволинейной трапеции ABDC, Рис. 2) обозначим через si.

Следующие два утверждения основаны на том, что функция f(x) = x2 строго возрастает при x ¸ 0.

Поскольку криволинейная трапеция ABDC полностью содержится внутри прямоугольника ABDC1, справедливо неравенство

Поскольку криволинейная трапеция ABDC полностью содержит внутри себя прямоугольник ABD1C, справедливо неравенство

5

межутке [0; b]. Очевидно, что эта, большая площадь равна сумме маленьких площадей

6

2. Интеграл не зависит от имени переменной интегрирования:

Zb Zb Zb

f(x) ¢ dx = f(¸) ¢ d¸ = f(Ω) ¢ dΩ :

a a a

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

Zb Zb

c ¢ f(x) ¢ dx = c ¢ f(x) ¢ dx :

a a

4.1. Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций:

Zb Zb Zb

(f(x) + g(x)) ¢ dx = f(x) ¢ dx + g(x) ¢ dx :

a a a

7

4.2. Интеграл от разности двух функций равен разности интегралов от этих функций:

Zb Zb Zb

(f(x) ¡ g(x)) ¢ dx = f(x) ¢ dx ¡ g(x) ¢ dx :

a a a

5. Обмен местами пределов интегрирования изменяет знак интеграла на противоположный:

Zb Za

f(x) ¢ dx = ¡ f(x) ¢ dx :

a b

6. При равенстве верхнего и нижнего пределов интегрирования интеграл

равен нулю:

Za

f(x) ¢ dx = 0 :

a

7. Интеграл по полному промежутку [a; c] равен сумме интегралов по

8.1. Интеграл от положительной функции положителен:

8.2. Интеграл от неотрицательной функции неотрицателен:

8

9.1. Большая функция да¼т больший интеграл:

9.2. Не меньшая функция да¼т не меньший интеграл:

Zb Zb

f(x) ¸ g(x); b > a =) f(x) ¢ dx ¸ g(x) ¢ dx :

a a

f(x) ¢ dx = f(c) ¢ (b ¡ a) ;

a

ïðè÷¼ì, c принято называть среднеинтегральной точкой, а f(c) среднеинтегральным значением функции на промежутке [a; b] .

Без доказательства. Позже будет дано доказательство свойства 12.

9

Теорема Ньютона Лейбница Пусть f : [a; b] ! R.

Пусть f(x) непрерывна на [a; b]. Пусть F (x) первообразная для f(x) .

Zb

Тогда f(x) dx = F (b) ¡ F (a) :

a

Доказательство

Возьм¼м разбиение промежутка [a; b] набор точек fxigi=0; 1; 2; ::: ; n ; таких, что

a = x0 < x1 < x2 < : : : < xn = b.

Пусть это разбиение строится по такой схеме, что r = max (xi ¡ xi¡1) ! 0 ïðè

1·i·n

n ! +1.

Рассмотрим разность

F (b) ¡ F (a) = F (xn) ¡ F (x0) = = (F (x1) ¡ F (x0)) +

+ (F (x2) ¡ F (x1)) + + (F (x3) ¡ F (x2)) + + (F (x4) ¡ F (x3)) + + : : : +

+ (F (xn¡1) ¡ F (xn¡2)) + + (F (xn) ¡ F (xn¡1)) =

Члены, представленные в (7) одинаковыми цветами (кроме ч¼рного), взаимно уничто-

жаются.

F (x) есть первообразная для f(x) , следовательно, F 0(x) = f(x).

10