Литература и лекции / IntCalculus

Теорема о разложении дробно рациональной функции на простейшие Пусть знаменатель правильной дроби

R(x) = bmxm + bm¡1xm¡1 + bm¡2xm¡2 + : : : + b1x + b0 (x ¡ x1) ¢ (x ¡ x2) ¢ (x ¡ x3) ¢ : : : ¢ (x ¡ xn)

представляет собой произведение n разных линейных множителей вида

(x ¡ xi) :

Тогда дробь может быть представлена в виде суммы так называемых простейших дробей:

	R(x) =	A1	+	A2	+	A3	+ : : : +		An	:
		x ¡ x1		x ¡ x2		x ¡ x3		x ¡ xn

Постоянные коэффициенты A1 ; A2 ; A3 ; : : : ; An можно найти методом неопредел¼нных коэффициентов.

Без доказательства.

Пример 9	Z	x2 ¡ 3x + 2		¢
Взять интеграл
Решение		x ¡ 5			dx :

x ¡ 5

x2 ¡ 3x + 2

=

x ¡ 5

=

A1

+

A2

=

A1(x ¡ 2) + A2(x ¡ 1)

;

(x ¡ 1)(x ¡ 2)

x ¡ 1

x ¡ 2

(x ¡ 1)(x ¡ 2)

x ¡ 5

=

A1x ¡ 2A1 + A2x ¡ A2

;

(x ¡ 1)(x ¡ 2)

(x ¡ 1)(x ¡ 2)

x ¡ 5

=

(A1 + A2) ¢ x + (¡2A1 ¡ A2)

;

(x ¡ 1)(x ¡ 2)

(x ¡ 1)(x ¡ 2)

1 ¢ x ¡ 5 = (A1 + A2) ¢ x + (¡2A1 ¡ A2) :

Метод неопредел¼нных коэффициентов состоит в следующем. Для того, чтобы два полинома относительно переменной x были тождественно равны, достаточно по-

требовать, чтобы у них были равны коэффициенты при одинаковых степенях x :

11

½

A

+

A = 1

¯:

2A11

A22 =

¡

5

(6)

¡

¡

¯

¯

Школьная система уравнений (6) имеет решение A1¯= 4 , A2 = ¡3 , таким образом,

x ¡ 5

=

4

¡

3

;

x2 ¡ 3x + 2

x ¡ 1

x ¡ 2

x ¡ 5

dx =

4

3

dx = 4

dx

3

dx

=

x2

3x + 2 ¢

µx

1

¡ x

2¶ ¢

¢

x

1

¡

¢

x

2

¡

Z

¡

¡

¡

¡

Z

Z

Z

¢Z

d(x ¡ 1)

¢Z

d(x ¡ 2)

= 4

3

=

Int 5

= 4

ln x

1

3

ln

x

2

+ C :

x ¡ 1

¡

x ¡ 2

¢

j ¡ j ¡

¢

j

¡

j

Пример 10

Z

30

Взять интеграл

¢ dx :

x3

+ x2 ¡ 6x

Решение

Разложим знаменатель на линейные множители:

x3 + x2 ¡ 6x = 0;

x ¢ (x2 + x ¡ 6) = 0;

x1 = 0; x2 = ¡3; x3 = 2:

x3 + x2 ¡ 6x = x ¢ (x + 3) ¢ (x ¡ 2) :

Определимся с разложением дробно рациональной функции на простейшие:

30

=

30

=

A1

+

A2

+

A3

=

x3 + x2 ¡ 6x

x ¢ (x + 3) ¢ (x ¡ 2)

x

x + 3

x ¡ 2

=

A1 ¢ (x + 3)(x ¡ 2)

+

A2 ¢ x(x ¡ 2)

+

A3 ¢ x(x + 3)

=

x ¢ (x + 3) ¢ (x ¡ 2)

x ¢ (x + 3) ¢ (x ¡ 2)

x ¢ (x + 3) ¢ (x ¡ 2)

=A1 ¢ (x + 3)(x ¡ 2) + A2 ¢ x(x ¡ 2) + A3 ¢ x(x + 3) : x ¢ (x + 3) ¢ (x ¡ 2)

Для тождественного равенства синей è фиолетовой дробей достаточно потребовать равенства их числителей, благо, знаменатели у них одинаковые. Итак:

A1 ¢ (x + 3)(x ¡ 2) + A2 ¢ x(x ¡ 2) + A3 ¢ x(x + 3) = 30 :

(7)

Для поиска коэффициентов A1 , A2 , A3 , конечно же, можно применить метод

12

неопредел¼нных коэффициентов. Но в данном случае, когда знаменатель исходной дроби разлагается только на линейные множители, разумнее применить другой, весьма эффективный метод Метод Коллокаций.

Равенство (7) должно быть выполнено при любом значении x ; следовательно, оно должно выполняться и для какого то удобного значения x :

Подставим x = 0 â (7). Получим:

A1 ¢ (¡6) + A2 ¢ 0 + A3 ¢ 0 = 30 =) A1 = ¡5 :

Подставим x = ¡3 â (7). Получим:

A1 ¢ 0 + A2 ¢ 15 + A3 ¢ 0 = 30 =) A2 = 2 :

Подставим x = 2 â (7). Получим:

A1 ¢ 0 + A2 ¢ 0 + A3 ¢ 10 = 30 =) A3 = 3 :

Заметим, что для вычисления Ai мы подставляли в (7) то значение x, которое обратило бы в ноль знаменатель простейшей дроби с числителем Ai :

Возвращаемся к интегралу:

µ¡x + x + 3

+ x ¡ 2¶

¢ dx =

Z

x3 + x2

¡ 6x ¢ dx = Z

30

5

2

3

¡

¢Z

x

¢Z

x + 3

¢Z

x ¡ 2

=

5

dx

+ 2

d(x + 3)

+ 3

d(x ¡ 2)

=

= Int 5 = ¡5 ¢ ln jxj + 2 ¢ ln jx + 3j + 3 ¢ ln jx ¡ 2j + C :

Теорема о разложении дробно рациональной функции на простейшие Пусть знаменатель правильной дроби

R(x) =	bmxm + bm¡1xm¡1 + bm¡2xm¡2 + : : : + b1x + b0
	(x ¡ x1) ¢ : : : ¢ (x ¡ xk) ¢ (x2 + p1x + q1) ¢ : : : ¢ (x2 + p`x + q`)

представляет собой произведение k разных линейных множителей вида (x ¡ xi) è ` разных квадратичных множителей вида (x2 + pjx + qj) с отрицательными дискриминантами.

13

Тогда дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей:

R(x) =	A1	+ : : : +	Ak	+	®1x + ¯1	+ : : : +	®`x + ¯`	:
	x ¡ x1		x ¡ xk		x2 + p1x + q1		x2 + p`x + q`

Постоянные коэффициенты A1 ; : : : ; Ak ; ®1 ; : : : ; ®` ; ¯1 ; : : : ; ¯` можно найти методом неопредел¼нных коэффициентов.

Без доказательства.

Замечание Метод Коллокаций для рассмотренного в последней Теореме случая не да¼т за-

метных преимуществ.

Замечание

Если квадратичный полином x2 + px + q имеет отрицательный дискриминант (p2 ¡ 4q < 0), то возможно представление

x2 + px + q = (x + a)2 + b2 ;

ãäå

a = 2 ; b = r

:

q ¡ 4

p

p2

Пример 11

x ¢ (x2

++2x + 2) ¢ dx :

Взять интеграл Z

x2

2

Решение

x2 + 2

=

A

+

®x + ¯

=

A ¢ (x2 + 2x + 2) + (®x + ¯) ¢ x

;

x ¢ (x2 + 2x + 2)

x2 + 2x + 2

x

x ¢ (x2 + 2x + 2)

x2 + 0 ¢ x + 2

=

(A + ®) ¢ x2 + (2A + ¯) ¢ x + 2A

;

x ¢ (x2 + 2x + 2)

x ¢ (x2 + 2x + 2)

1 ¢ x2 + 0 ¢ x + 2 = (A + ®) ¢ x2 + (2A + ¯) ¢ x + 2A :

14

В соответствии с методом неопредел¼нных коэффициентов

(8)

8

2A++ ¯ = 0

¯

:

>

A ® = 1

¯

<

2A = 2

¯

¯

>

¯

¯

:

Школьная система уравнений

(8)

имеет решение¯

A = 1

,

® = 0

,

¯ = ¡2 ;

таким

образом,

+ 2x + 2¶

¢ dx = Z

x

¡ Z

(x2

+ 2x¢

+ 1) + 1 =

Z

x ¢ (x2 + 2x + 2) ¢ dx = Z µx ¡ x2

x2 + 2

1

2

dx

2

dx

= Int 5 = ln jxj ¡ 2 ¢Z (x + 1)2

+ 1 = Int 12

= ln jxj ¡ 2 arctg (x + 1) + C :

d(x + 1)

Теорема о разложении дробно рациональной функции на простейшие Пусть знаменатель правильной дроби

R(x) = bmxm + bm¡1xm¡1 + bm¡2xm¡2 + : : : + b1x + b0

(x ¡ x1)¹1 ¢ : : : ¢ (x ¡ xk)¹k ¢ (x2 + p1x + q1)º1 ¢ : : : ¢ (x2 + p`x + q`)º`

представляет собой произведение k разных линейных множителей вида (x ¡ xi)¹i è ` разных квадратичных множителей вида (x2 + pjx + qj)ºj ñ отрицательными дискриминантами; ¹i, ºj натуральные числа.

Тогда дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей:

R(x) =

=

A11

+

A12

+ : : : +

A1; ¹1

+

x ¡ x1

(x ¡ x1)

2

¹1

(x ¡ x1)

+ : : : +

+

Ak1

+

Ak2

+ : : : +

Ak; ¹k

+

x ¡ xk

(x ¡ xk)

2

¹k

(x ¡ xk)

®11 x + ¯11

®12 x + ¯12

®1; º1 x + ¯1; º1

+

+

+ : : : +

+

x2 + p1x + q1

(x2 + p1x + q1)2

(x2 + p1x + q1)º1

+ : : : +

15

+	®`1 x + ¯`1	+		®`2 x + ¯`2	+ : : : +		®`; º` x + ¯`; º`	:
	x2 + p`x + q`			(x2 + p`x + q`)2			(x2 + p`x + q`)º`

Постоянные коэффициенты

A11 ; A12 ; : : : ; A1¹1 ; : : : ; Ak1 ; Ak2 ; : : : ; Ak; ¹k ; ®11 ; ®12 ; : : : ; ®1º1 ; : : : ; ®`1 ; ®`2 ; : : : ; ®`; º` ; ¯11 ; ¯12 ; : : : ; ¯1º1 ; : : : ; ¯`1 ; ¯`2 ; : : : ; ¯`; º`

можно найти методом неопредел¼нных коэффициентов. Без доказательства.

Теорема об интегрировании дробно-рациональной функции Простейшие дроби,

1	;	1		;	®x + ¯	;	®x + ¯
x ¡ °		(x ¡ °)¹			x2 + px + q		(x2 + px + q)º

на сумму которых разлагается всякая правильная дробно рациональная функция, могут быть проинтегрированы.

Доказательство

Z

x ¡ °

Z

x ¡ °

j

¡

j

dx

=

d(x ¡ °)

= ln

x

°

+ C ;

Z

Z

dx

=

d(x °)

= (x

°)¡¹

d(x

°) =

(x ¡ °)¡¹+1

+ C ;

(x ¡ °)¹

(x ¡¡°)¹

¡

¢

¡

¡¹ + 1

Z

¹=1

|{z}

6

®x + ¯

dx =

®x + ¯

dx =

®(x + a) + (¯ ¡ ®a)

d(x + a) =

Z

x2 + px + q

¢

Z (x + a)2 + b2 ¢

Z

¢

(x + a)2 + b2

= ® ¢Z

(x + a¢)2

+ b2

+ (¯ ¡ ®a) ¢Z

(x + a)2 + b2 =

(x + a) d(x + a)

d(x + a)

= 2

¢

¡(x + a)2 + b2 ¢ + (¯ ¡ ®a) ¢

(x + a)2 + b2 =

®

Z

d (x + a)2 + b2

Z

d(x + a)

= 2

¢ ln ¡(x + a)2 + b2¢ +

¡b

¢ arctg

µ

b

¶ + C ;

®

¯

®a

x + a

16

Z	(x2 + px + q)º ¢ dx = Z	((x + a)2 + b2)º ¢ dx = Z	((x + a)2 + b¡2)º	¢ d(x + a) =
	®x + ¯	®x + ¯	®(x + a) + (¯ ®a)

= ® ¢Z							x + a) d(x + a)				+ (¯ ¡ ®a) ¢Z
					( ¢
						((x + a)2 + b2)º
=	®			¢		d (x + a)2 + b2
	2						((¡x + a)2 + b2)º¢ + (¯ ¡ ®a) ¢
				Z							Z
	®				((		x	a 2 + b2)	º+1		+ (¯ ¡ ®a) ¢Z
=				¢				+ ) ¡
	2							¡º + 1
											|

d(x + a)

((x + a)2 + b2)º =

d(x + a)

((x + a)2 + b2)º =

d(x + a)

((x + a)2 + b2)º :

{z }

= Iº

	Интеграл	d x + a)
	Iº = Z
		(
		((x + a)2 + b2)º

будет взят после изучения темы "интегрирование по частям".

Замечание До сей поры теорема о замене переменной под знаком интеграла использовалась,

по сути дела, с применением схемы

Z

f(g(x)) ¢ g0(x) dx = Z f(g(x)) ¢ d(g(x)) =

= Z

f(y) ¢ dy

y = g(x)

(9) :

Идея схемы состояла в том, что интеграл

R

f(y)dy

бер¼тся легче, нежели ис-

ходный интеграл

f(g(x)) g0(x) dx.

Íî

действовать можно и прямо противоположным образом:

Z

R

= Z

f(g(t)) ¢ d(g(t)) = Z

f(x) ¢ dx =

f(g(t)) ¢ g0(t) dt :

x = g(t)

(10)

Идея этой схемы срабатывает, если интеграл

f(g(t))

¢

g0(t) dt бер¼тся легче,

чем интеграл

f(x)

¢

dx :

R

R

Действия по первой схеме, по формуле (9), принято называть "заменой переменных". Действия по второй схеме, по формуле (10), принято называть "подстановкой".

17

Во многих случаях "трудный" интегал может быть взят с помощью такой подстановки, после которой останется взять интеграл от дробно рациональной функции.

Пример 12

Z

p

Взять интеграл

x

¢ dx :

x + 1

Решение

Применим подстановку t = p

, èëè

x = t2:

x

Z

p

p

= t x = t2

= Z

= 2 ¢Z

t2

x

t dt

x

¢ dx =

dx = d(t2) = 2t ¢ dt

t ¢ 2 ¢

¢ dt = :

x + 1

t2 + 1

t2 + 1

= 2 ¢Z (

t2 + 1¡

¢ dt = 2 ¢Z µ1 ¡ t2

+ 1¶

¢ dt = 2 ¢

µZ dt ¡ Z t2 + 1¶

=

t2 + 1)

1

1

dt

= 2t ¡ arctg t + C = 2 px ¡ 2 arctg px + C :

Пример 13

Z

1 ¡ p

x + 1

dx :

Взять интеграл

1 + p3 x + 1 ¢

Решение

Применим подстановку t = p6

,

èëè x = t6 ¡ 1:

x + 1

p

p6

p3

= t2

p

= t3

x + 1 = t

x + 1

x + 1

I =

1 ¡

x + 1

dx =

=

Z

1 + p3 x + 1

¢

x = t6 ¡ 1 dx = d(t6 ¡ 1) = 6t5 ¢ dt

Z

1 + t2

¢

¢

¡

¢Z

t2

+ 1

¢

¡

µZ

t2

+ 1

¡ Z

t2

+ 1

¶

=

1 ¡ t3

6t5

dt =

6

t8

¡ t5

dt =

6

t8

¢ dt

t5

¢ dt

=

1 + 6 ¢Z

= ¡6 ¢Z

t2 +¢

t2

+¢

1 = ¡6 ¢ I1 + 6 ¢ I2 :

t8

dt

t5

dt

Далее имеет смысл |

{z

}

|

{z

}

I1 , I2 взять

=I1

=I2

"разветвить" процесс и каждый из интегралов

отдельно. Подынтегральные выражения в I1 , I2 являются неправильными дробями, следовательно, каждую из этих дробей нужно представить в виде суммы полинома и

18

правильной дроби.

С первым из интегралов разбер¼мся подробно:

¡

¡

¢ dt =

I1 = Z

t2

+¢

1 = Z

t8 + t6

¡

t6

¡

t4

t2 + 1

t2

t8

dt

+ t4

+ t2

1 + 1

= Z

(

t8

+

t6

t6

+

t4

+ (t4 + t2)

(t2

+ 1) + 1

) ¡ (

)

¡

¢ dt =

µ t2

+ 1

t2 + 1

= Z

¡ t2

+ 1

+ t2

+ 1

¡ t2

+ 1

+ t2 + 1¶ ¢ dt =

t8 + t6

t6

+ t4

t4

+ t2

t2

+ 1

1

= Z

µ

¢t2

t6

+ 1

¡

t4

¢t2

+ 1

+

t2

¢t2

+ 1

¡ t2

+ 1

+ t2 + 1¶

¢ dt =

(t2 + 1)

(t2

+ 1)

(t2 + 1)

t2

+ 1

1

1

t7

t5

t3

= Z µt6 ¡ t4 + t2 ¡ 1 +

¶ ¢ dt =

¡

+

¡ t + arctg t + C1 :

t2 + 1

7

5

3

Для второго, более л¼гкого интеграла, предъявим только результат:

I2 = Z

t5 dt

t4

t2

1

¢

=

¡

+

¢ ln(t2 + 1) + C2 :

t2 + 1

4

2

2

Ясно, что теперь осталось лишь аккуратно выписать линейную комбинàöèþ

¡6 ¢ I1 + 6 ¢ I2 и вернуться в ней к старой переменной, заменяя всюду t íà

p6 x + 1.

Предоставим это слушателям.

Определение

Функция R2(u; v) есть есть дробно рациональная функция двух переменных u è v , когда она является дробно рациональной функцией и переменной u (åñëè v считать константой), и переменной v (åñëè u считать константой).

Замечание	Z R2(sin x; cos x) ¢ dx можно свести к интегралу от дроб-
Интеграл вида

но рациональной функции с помощью так называемой универсальной тригонометри-

19

ческой подстановки

x

tg

= t :

(11)

2

Равенство (11) означает, что

x = 2 arctg t ; dx =

2 dt

;

sin x =

2 ¢ tg x2

=

2t

;

cos x =

1 ¡ tg2 x2

=

1 ¡ t2

:

1 + tg2 x2

1 + t2

1 + tg2 x2

1 + t2

1 + t2

Пример 14

Z

4 sin x + 3 cos x + 5 :

Взять интеграл

dx

Решение Применим универсальную тригонометрическую подстановку:

Z Z dx

4 sin x + 3 cos x + 5 =

Z

=

dt

t2 + 4t + 4

2 dt

1 + t2

=

2t

1 ¡ t2

4

+ 3

+ 5

¢ 1 + t2

¢

1 + t2

= Z

d (t + 2)

1

= ¡

+ C

(t + 2)2

t + 2

Z					2 dt
					+ t2
	1							=
	8t + 3 ¡ 3t2 + 5 + 5t2
				1 + t2
	1
= ¡					+ C :
			tg x2 + 2

Теорема о формуле интегрирования по частям для неопредел¼нного интеграла

Z	u(x) ¢ v0(x) ¢ dx = u(x) ¢ v(x) ¡		Z	v(x) ¢ u0(x) ¢ dx ;	(12)
	Z u(x) ¢ d (v(x)) = u(x) ¢ v(x) ¡ Z v(x) ¢ d (u(x)) ;
	Z	u ¢ dv = u ¢ v ¡ Z	v ¢ du :		(13)

Доказательство Приравняем производные левой и правой частей (12):

µZ ¶0 µ Z ¶0 u(x) ¢ v0(x) ¢ dx = u(x) ¢ v(x) ¡ v(x) ¢ u0(x) ¢ dx ;

20