Типовик / Типовик, 2 модуль

Добавил:

FilimonLipin86 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

a и прологарифмируем функцию, тогда lna ln lim

. Найдем предел её ло-

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.06.2023

Размер:

1.51 Mб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Типовыерасчеты по высшей математике

1семестр (2 модуль)

Предел инепрерывность функции.

Дифференцирование функцииодной переменной

Учебно-методическоепособие

Санкт-Петербург

2012

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ

Сильванович О.В., Тимофеева Г.В

Типовыерасчеты по высшей математике

1семестр (2 модуль)

Предел инепрерывность функции.

Дифференцирование функцииодной переменной

Учебно-методическое пособие

Санкт-Петербург

2012

x 1;

y x2 2

Вариант типового расчета для 2 модуля

1. Найти пределы:

3		3		3	1.2 lim		18x3		21x2 8x 1
1.1 lim			...
								3		2
						1
n	4 7	7 10		3n 1 3n 4	x		9x		3x		5x 1

					3

1.3	lim	2x 3 x 1


	x		5x 7
		3
1.5	lim	3	x 19	x 1
1.5	lim
	x 8		5 4x 2

1.7* а) lim x100 2x 1

x 1 x50 2x 1


1.4 lim 1 5x	tg2 x
		4

x 0

1.6

lim sin

x 1

sin

sinx

arccosx

б) lim

x 3

в)

lim

x 3

sin3

x 1 0

x 1

2. Исследовать функции на непрерывность и построить их графики:

1 x, x 0,

x 5

f x 5x

2.1

f x

0, 0 x 2,

2.2

f x

2.3*

x2 2x 15

x 2, x 2

3.1. Продифференцировать функцию y arcsinex arcsin

1 e2x

. Упростить полученное

выражение.

3.2. Продифференцировать функции:

а)

x 4 7 5x 1 3

б)

y xarcctg 5x

5x2 3 tg 0,1x 4 8

f x 3

3.3*. Найти производную функции

5x 2

пользуясь непосредственно определе-

нием производной.

3.4. Найти пределы функций, используя правило Лопиталя:

а) lim	3		5

	1 x	3	1 x	5
x 1

3.5*. Записать формулу для производной

	2
			x
б) lim		arccosx

x 0
n го порядка функции			y	1	.

				x 5

4. Провести полное исследование функций и построить их графики:

а)	y	x2 3	б*) y xcosx	в*) y 3	x2 1 2
		x 2

5.	а) Известно, что сумма двух положительных чисел x			и y равна 20. При каких значениях

x и y величина x3y будет наибольшей?

б*) Определить наибольшее отклонение от нуля функции y x sin2x на отрезке [0; ].

в*) Криволинейная трапеция ограничена кривой и отрезками прямых

x 5; y 0. В какой точке кривой следует провести касательную, чтобы она отсекала от криволинейной трапеции обычную трапецию наибольшей площади?

Методические указания

Типовой расчет содержит пять заданий. Отмеченные “звездочкой” задачи сложнее остальных и выполняются по желанию.

																			3			3										3
Задача 1.1. Найти предел последовательности																	lim										...												.
Задача 1.1. Найти предел последовательности																	lim										...												.
																			4 7				7 10					3n 1 3n
																	n		4 7				7 10					3n 1 3n								4
Решение. Представим дробь											3						в виде разности двух дробей																		1			1			.
Решение. Представим дробь									3n 1 3n 4								в виде разности двух дробей																3n 1								.
									3n 1 3n 4																								3n 1					3n 4
Тогда		n-ый член последовательности можно переписать в виде
3		3						3					1			1		1	1								1				1				1		1
				...																	...																			.
		7 10		...		3n 1 3n 4							4								...																			.
	4 7	7 10				3n 1 3n 4							4			7		7 10								3n 1			3n 4						4		3n 4
Дробь		1			является бесконечно малой при													n , поэтому
Дробь					является бесконечно малой при													n , поэтому
			3n 4
							3	3							3										1		1					1
				lim						...										lim														.
				lim						...										lim														.
							4 7	7 10																								4
				n			4 7	7 10				3n 1 3n 4										n			4 3n 4							4
Задача 1.2. Найти предел функции												lim			18x3		21x2 8x 1							.
Задача 1.2. Найти предел функции												lim			9x3		3x2 5x 1							.
											x			1
											x
													3															1
Решение. Числитель и знаменатель дроби стремятся к 0																						при				x		1		, то есть получается
Решение. Числитель и знаменатель дроби стремятся к 0																						при				x				, то есть получается
																												3

неопределённость вида . Разложим на множители числитель и знаменатель дроби, вос-

пользовавшись информацией о том, что один корень уравнений x

уже известен, тогда

1 2

18x

21x

8x 1

2x 1

lim

9x3 3x2 5x 1

1 2

x 1

3 9

2x 3 x 1

Задача 1.3. Найти предел функции

lim

Решение.

x 5x 7

Делением

числителя

дроби

на

знаменатель

выделим

целую

часть

2x 3 2

2x 3 x 1

x 1

. Таким образом, lim

lim

Дробь

5x 7 5

5 5x 7

x 5x

5 5 5x 7

является

бесконечно

малой

при

x , тогда

при

x получим

5 5x 7

2 x 1

lim

0, при x

lim

Задача 1.4. Найти предел функции lim 1 5x tg2 x

x 0

Решение.

По

формулам

приведения

tg2 x

ctg2x,

поэтому

lim 1 5x

tg2

4 lim 1 5x

ctg2x

lim

1 5x

5x ctg2x

Используя

x 0

второй замечательный предел, получим

lim 1 5x

e. Так как

y ex

непрерывная на

x 0

всей числовой оси функция, поменяем местами знаки вычисления предела и показательной

функции и найдем, что lim e		lim 5x ctg2x	lim	5x

		ex 0	ex 0 tg2x
	5x ctg2x

x 0

Здесь было использовано правило замены на эквивалентные бесконечно

tg2x~2x при x 0.

3
	x 19	x 1
Задача 1.5. Найти предел функции lim			.

x 8	5 4x 2

lim 5x

ex 0 2x e2,5 .

малые функции:

Решение. Для раскрытия неопределённости вида сделаем замену переменной t x 8,

тогда t 0. Функцию преобразуем следующим образом

									t					t
				3			3	3 1		1 3			1		1
					t 27 3	t 9 3
									27
3 t 8 19			t 8 1
3 t 8 19			t 8 1											9
																.

		t 8 2			5 4t 32 2
5	4										t
5
									2	5 1		1
									2	5 1	8	1
											8

Далее можно использовать эквивалентные бесконечно малые функции 1 y m 1~ ym. Предел разности функций запишем в виде разности пределов и получим:

			t											t															t														t
	3	3 1		1 3 1												1								3 1									1									1		1
	3	3 1	27	1 3 1									9			1			3					3 1									1		3							1	9	1
			27										9						3								27								3								9
lim																					lim																			lim
lim																					lim																			lim
t 0							t													2t 0									t								2t 0						t
			2	5 1				1																5 1							1											51		1
			2	5 1			8	1																5 1				8			1											51	8	1
							8																					8															8
				3					1			t				3			1			t		3			40						20						70
								3			27								2			9
								3			27								2			9
						lim												lim																							.
						lim						t						lim	1			t					81														.
					2t 0 1							t					2t 0		1			t		2			81						9						27
										5		8							5			8
										5		8							5			8
															lim sin										sin									.
Задача 1.6. Найти предел функции															lim sin								x 1		sin							x		.
														x
Решение. Заметим, что при x функции																							sin							и sin								не имеют предела, а при-
Решение. Заметим, что при x функции																							sin			x 1				и sin						x		не имеют предела, а при-

нимают все возможные значения от -1 до 1. Воспользуемся формулой для разности синусов

x 1 x

x 1

lim sin

x 1 sin

и получим:

lim 2sin

cos

. Функция

cos

ограничена. Аргумент функции

sin

преобразуем, домножив

x 1

			1
числитель и знаменатель на x 1	x . Полученная функция sin				является
		2
			x 1	x

бесконечно малой при x . Произведение ограниченной функции на бесконечно малую

x 1

будет бесконечно малым, а, значит, lim 2sin

cos

x 1

Задача 1.7*. а) Найти предел функции lim

x100 2x 1

x 1

x50 2x 1

Решение. Для раскрытия неопределенности вида

сделаем замену переменной

100

1 t

100

1 t

x 2x 1

t x 1; t 0. Тогда

lim

. Разложим по формуле

x 1 x50 2x 1

t 0 1 t 50 2 1 t 1

бинома Ньютона

100 99

50 49

1 t 100 1 100t

t2 ... t100 , 1 t 50

1 50t

... t50.

Для вычисления предела будем пренебрегать бесконечно малыми функциями более высокого порядка, чем t . Тогда найдем, что

1 t

100

2 1 t

1 100t 2

1 t

98t

lim

t 0 1 t 50 2 1 t 1

t 0 1 50t 2 1 t 1

t 0 48t

sinx

x 3

Задача 1.7*. б) Найти предел функции lim

x 3 sin3

Решение. Для раскрытия неопределенности вида 1

сделаем замену переменной

t x 3;

t 0, тогда


		1				1
	sin x			sin t 3
							t
			x 3
lim				lim
					sin3
x 3	sin3			t 0


			1
	sint cos3 cost sin3
lim	sint cos3 cost sin3			t

		sin3
t 0		sin3

sint ctg3 cost

lim

t lim

sint ctg3 cost 1

t .

t 0

Здесь функция cost 1

является бесконечно малой более высокого порядка, чем sint ctg3,

поэтому ею можно пренебречь. Используя первый замечательный предел

lim

sint

1, най-

sint ctg3

t 0 t

sint ctg3

lim

дем: lim 1 sint ctg3

et 0

ectg3.

sint ctg3

t 0

Задача 1.7*. в) Найти предел функции

lim

arccosx

x 1 0

x 1

Решение. Раскроем неопределенность вида , введя новую переменную t x 1;

t 0. Далее домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю,

и получим

arccosx

arccos

t 1

arccos t

lim

x 1

arccos t 1

x 1 0

t 0

Бесконечно малую функцию arccos t

1 при t

0 заменим на эквивалентную

sin

arccos

t 1

sinarccos

t 1

. Тогда

2 t

arccos t 1

lim

2 t

arccos t 1

t 0

, x 0,

1 x

Задача 2.1.

Исследовать функцию

на непрерывность и построить её

f x 0, 0 x 2,

x 2, x 2

график.

Решение. Функция

f x

определена на всей числовой оси,

но не является на ней непре-

рывной, так как эта функция неэлементарная. Она задана тремя различными формулами для разных интервалов изменения аргумента x и может иметь разрывы в точках x 0 и x 2, где меняется её аналитическое выражение. Исследуем поведение функции при приближении

к точке x 0слева и справа: f ( 0) lim		1 x 1, а	f ( 0) lim 0 0. Значит, это точ-
	x 0		x 0	f (2 0)
ка	разрыва 1 рода (или конечного разрыва). Далее		f (2 0) lim 0 0,	f (2 0)
			x 2 0
	lim x 2 0, то есть в точке x 2 функция непрерывна. График функции представлен

x 2 0

на рисунке 1.

2 x

Рис.1

x 5

Задача 2.2. Исследовать функцию f x x2 2x 15 на непрерывность и построить её график.

Решение. Разложим знаменатель этой элементарной функции на множители и получим

x 5

f x x 5 x 3 . Эта функция определена и непрерывна во всех точках области опре-

деления: x 5; 5 x 3;3 x . В точках x 5 и x 3 она не определена,

поэтому имеет в них разрывы. Вычислим лево и правосторонние пределы функции в этих точках:

1/8

-1/8

Рис.2

lim

f x

lim

x 5

lim

x 5 0

x 5 0 x 5 x 3

x 5 0 x 3 8

lim

f x

lim

x 5

lim

x 5 x 3

x 5 0

x 5 0 x 3

Следовательно, в точке x 5 функция имеет конечный разрыв, её скачок

lim

f x

lim f x

x 5 0

f x lim

x 5

f x

x 5

Далее lim

; lim

lim

. Сле-

x 3 0

x 3 0 x 5 x 3

x 3 0

x 3 0 x 5 x 3

довательно, в точке x 3 функция имеет бесконечный разрыв (или разрыв 2 рода). График функции представлен на рисунке 2.

3 X

-5


9
Задача 2.3*. Исследовать функцию f x 5		x2 9	на непрерывность и построить её график.
9
Решение. Элементарная функция f x 5	x2 9		определена и непрерывна на всей числовой
оси, кроме точек x 3. Так как выполнено условие f x f x , то функция является

четной, а, значит, можно исследовать на разрыв только одну точку, например, x 3. Вычис-

лим

односторонние

пределы функции

этой

точке. Так

как

lim

, то

x2 9

x 3 0

5 0. Далее lim

5 .

lim

x2 9

, поэтому

lim

x2 9

x 3 0

x 3 0 x

x 3 0

Следовательно,

точка

x 3, как и точка

x 3,

является точкой разрыва 2 рода. График

функции представлен на рисунке 3:

-3

Рис.3

Задача 3.1. Продифференцировать функцию y arcsinex arcsin1 e2x . Упростить полученное выражение.

Решение. Продифференцируем функцию как сумму двух функций и упростим результат:

y		ex					1						1			2e2x										ex						e2x				0.


	1 e2x							1 1 e2x		2 1 e2x															1 e2x					ex 1 e2x
Задача 3.2. а) Продифференцировать функцию																	y						x 4 7 5x 1 3											.
Задача 3.2. а) Продифференцировать функцию																	y			5x2 3 tg 0,1x 4 8														.
Решение. Вначале преобразуем функцию согласно свойствам логарифмов
ln y 7ln x 4 3ln 5x 1 ln 5x2													3 8ln tg 0,1x 4 , а затем применим лога-
рифмическое дифференцирование и найдем:
					y		7		15					10x							8							0,1
																																,
					y			x 4	5x 1			5x2 3					tg 0,1x 4										cos2 0,1x					,
откуда y			x 4 7 5x 1 3										7				15						10x						8								0,1
																																							.
	5x		2	3					8															2				tg 0,1x									2		.
			2						8							5x 1							5x	2	3								4		cos		2	0,1x
							tg 0,1x 4				x 4					5x 1							5x		3								4		cos			0,1x
Задача 3.2. б) Продифференцировать функцию																y xarcctg 5x 2 .
Решение. Запишем функцию в виде показательной y earcctg 5x 2 lnx, а затем продиффе-
ренцируем, используя теорему о производной произведения:
													5																		1
			y earcctg 5x 2 ln x										5					lnx arcctg 5x 2													1		.
			y earcctg 5x 2 ln x														2	lnx arcctg 5x 2															.
										1 5x 2							2														x
										1 5x 2																					x
Теперь вернемся к первоначальной форме записи функции и получим ответ
						y xarcctg 5x 2								5lnx								arcctg 5x						2
														5lnx								arcctg 5x						2	.
																			2										.
													1 5x		2				2							x
													1 5x		2											x
													11

Задача 3.3*. Найти производную функции y 35x 2 , пользуясь непосредственно опреде-

лением производной.

Решение.

Дадим x приращение x, тогда y получит приращение y:

. Исходя из определения

y y 3

5 x x 2

откуда y 3

5 x x 2

5x 2

производной, найдем:

5x 2 5 x 3

5x 2 3

5x 2

5 x x 2 3 5x 2 3

lim

x 0 x

x 0

5 x

5x 2 3

5x 2

5 x

lim

. Заменим бесконечно малую функцию

x 0

5 x

5x 2

на эквивалентную

5 x

и получим y

lim

3 5x 2

x 0

33 5x 2

	Задача 3.4. а) Найти предел lim		3

			1 x3
	x 1

, используя правило Лопиталя.

1 x5

Решение. Предел представляет собой неопределённость вида , поэтому преобразуем

функцию к виду дроби, числитель и знаменатель которой стремятся к 0, а затем применим правило Лопиталя дважды:

lim

3 1 x5 5 1 x3

lim

3 1 x5 5 1 x3

lim

15x4

15x2

1 x

1 x3 1 x5

1 x

x 1

lim

15x2 x2 1

lim

15 x2 1

3 1 x

1 x

x 1

3 1 x5 1 x3 5x2

lim

30x

lim

30x

x 115x4 3x2 5x2 1 x3 10x

x 1 40x4 10x

Задача 3.4. б) Найти предел lim x 0

arccosx , используя правило Лопиталя.

Решение. Здесь имеет место неопределённость вида 1 . Обозначим искомый предел через

гарифма:

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Типовик

#
30.06.2023759.08 Кб21076.pdf
#
30.06.2023843.71 Кб3Типовик, 1 модуль.pdf
#
30.06.20231.51 Mб2Типовик, 2 модуль.pdf
#
30.06.20231.01 Mб3Типовик, 3 модуль.pdf