Типовик / Типовик, 3 модуль

		1				1
	x			cost				cos2t,
		2				4
б) Длину дуги кривой		1				1
	y			sint				sin2t,
		2				4
					2 t	2 3.

3.а) Площадь, ограниченную осью Ox и одной аркой циклоиды

=2( −sin ),

=2(1 − cos ).

	б) Длину кардиоиды	= 6(1 −			).	= 8(1−	).
4.	a) Площадь, ограниченную кардиоидой
	б) Длину дуги кривой	==−	,	,	0 ≤	≤ √3.

5.a) Площадь, ограниченную кардиоидой

=2(cos − cos2 ),

=2(sin − sin2 ).

б) Длину замкнутой кривой = 4(sin2 +cos2 ).

6.a) Площадь, ограниченную кривыми

r sin , r 2sin .

	б) Длину эволюты эллипса			=		cos	,
				=		sin .
7.	а) Площадь эллипса		= 3cos ,
	б) Длину кардиоиды		= 2sin .
	8 1 cos ,	2	3 0.
8.	а) Длину дуги кривой			+2		cos	,
	= (	− 2)sin						0 ≤ ≤ .
	= (2 −		)cos	+2 sin			,

б) Площадь, ограниченную кривойr cos sin .

9.	а) Площадь, ограниченную кривой			= 3 ,
				= 3	− .
	б) Длину дуги кривой =	(	)	, 0 ≤	≤		.

10.а) Площадь, ограниченную кривыми

r 6sin3 ,	r 3	r 3 .
б) Длину астроиды		= 3cos ,
		= 3sin .

11.а) Площадь, ограниченную кривой

	=	3	(3 − ),
б) Длину замкнутой кривой	= 9(sin	8	+cos	).
	=		(3−	).

12.а) Площадь, ограниченную кривыми

r cos ,	r 2 cos .		(cos	+sin	),
б) Длину кривой		=				0 ≤ ≤ 1.
		=	(cos	− sin	),

13.а) Площадь, ограниченную осью абсцисс и верзиерой

=,

8 = 4+ .

б) Длину отрезка прямой линии

= 4sec − 3 , 0 ≤ ≤ 4.

x 3cost,

14.а) Площадь, ограниченную y 8sint,

y 4

y 4 .

б) Длину дуги кривой

=

(

)

, −

≤

≤

.

,

15.

а) Площадь, ограниченную кривой3 4

Лиссажу

= 2sin

б) Длину дуги кривой 3e

,

0 3.= 2sin2 .

16.

а) Площадь, ограниченную

= 7sin4 .

б) Длину эпициклоиды

= 4(2cos

− cos2 ),

= 4(2sin

− sin2 ).

17.

а) Площадь, ограниченную кривой Лиссажу

,

= 2sin4

= 8sin .

б) Длину замкнутой кривой

=

2sin2 .

= 7 ,

18.

а) Площадь, ограниченную спиралью.

Архимеда

=

,

=

= 3(sin

−

cos

),

0 ≤ ≤

2 .

б) Длину эвольвенты окружности

=

3(cos

+

sin

),

19.

а) Площадь внутри астроиды

= 2 cos

,

б) Длину кардиоиды

= 12(1−

).

= 2 sin .

20.

а) Длину дуги циссоиды

= 6sin

,

,

0 ≤

≤ .

= 6sin

б) Площадь, ограниченную кривыми

r2cos , r 23sin ,

0 2 .

21.а) Площадь , ограниченную осью Ox и одной аркой циклоиды

1

= 2( − sin2),

1

= 2 1 − cos2 .

б) Длину отрезка прямой линии

= 3sec − 3 , 0 ≤ ≤ 2.

22.а) Площадь, ограниченную осью абсцисс и верзиерой

=2 ,

=	8	.
	1+

б) Длину дуги кривой = 6sin .

23.а) Площадь, ограниченную кривой

=

(5 −

),

= 5(1+cos

(5 −

).

б) Длину кардиоиды

).

=

4

24.

=

,

а) Площадь, внутри петли кривой

=

,−

≤

≤ .

б) Длину дуги параболы

=

(

) .

25.а) Площадь, ограниченную кривой

				=	− 3,		2;
точки			.	спирали	= 1	от точки			до
б) Длину гиперболической				= 3	− .
		;2

26.

Площадь одного лепестка розы

= 8sin3

.

ба)) Длину эвольвенты окружности

= 4(cos

+

sin

),

0 ≤

≤ 2 .

= 4(sin

−

cos

),

27.

а) Площадь внутри астроиды

=

cos (4 )

,

2

=

sin (4 )

.

2

б) Длину прямой линии

= cos

−

, 0 ≤

≤

.

28.а) Площадь, ограниченную лемнискатой Бернулли

=8cos2 .

б) Длину эпициклоиды

= 3(cos2

− cos4 ),

= 3(sin2

− sin4 ).

29.

а) Площадь, ограниченную осью абсцисс и верзиерой

= /2,

16

б) Длину дуги кривой

= 3cos

.=

4+

.

30.

а) Площадь, ограниченную спиралью.

Архимеда = 6 ,

=

,

=

б) Длину дуги кривой

=

,

между точками пересечения с

= 2 −

осями координат.

Задание 13.Найдите значение несобственного интеграла или установите его расходимость.

1.а)

2.а)

3.а)

4.а)

5.а)

6.а)

7.а)

8.а)

9.а)

10.а)

	lnx				dx,
	3
			4
1			x
					3x dx
						,
		32x 4 3x 3
2

e 2x (4x 3)dx,

0

0

x2e3x dx;

ex arctgex
						dx;
		1 e2x
0
		lnxdx
					;
1		x x

0

(5x 2)e3x dx;

x dx

1 1 x ;

1 2x dx;

1 x2 (1 x)

dx

(x2 4)(x2 9) ;

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

2			xdx .
0
			4 x2
2			arcsin x			2
								dx.
			4 x2
0
2			x2 dx		.
0
			8 x3

4

ctgxdx.

0

6			dx
							.
x2 7x 10
3
3			dx
					.
		(x 1)2
0
1		x3 dx
0				.
		4 1 x4
1		e2x dx
0						.
			e4x 1

3 arcsin x

3 dx.4 2

0 9 x

2		xdx .
0
		16 x4

11.а)

12.а)

13.а)

14.а)

15.а)

16.а)

17.а)

18.а)

19.а)

20.а)

21.а)

	dx
			;
	(1 9x) x
1

0

(3x 4)e4x dx;

dx

;

4 x(

x 1)

2

2

ln(x 4)

dx;

x2

1

ln(x 1)dx;

x 1

0

e2x

dx;

(ex 1)3

0

dx

;

(1 3

x) x

1

0

(1 6x)e2x dx;

		ln x
			dx;
		5
1		x 3
			dx
					;
		(5 x)
				1 x
3

ln(x 1)dx; 0 (x 1)2

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

	1		e2x dx
	0									.
				e2x 1
	1			x dx .
	0
				1 x4
	2			xdx
	3
	0										.
				4 9x2
	1		ex dx
	0							.
				ex 1
	1		x2 dx
	0						.
			1 x6
	1		x2 dx
	0						.
			3 1 x3
	1			ex dx
	0									.
				e2x 1
	4			dx
									.
			(x 3)3
	1
	4			dx								.
	x2 5x 6
	2,5
	2
	tgxdx.
	4
	1		e2x dx
					.
		ex 1
	0

22.а)

23.а)

24.а)

25.а)

26.а)

27.а)

28.а)

29.а)

30.а)

(4 3x)e 3x dx;

0

					dx
									;
			x 2(7 x)
2
				e2x
							dx;
		(ex 4)2
0
					dx			;
		(3			4)x
				x
1

e 4x (2 9x)dx;

0

			dx	;
		x
			2x 3
2
			exdx
						;
e2x 4ex
				12
0

x2 e x2 dx;

0

		x
	arctg		dx;
	x3
1

	1
б)	2									x3 dx											.
	0
									1 16x4
	0									x2 dx
б)																				.
							3
										3
	1								1 8x
	2
	3								xdx
б)														.
			4
									2
	2								x 4
	1									x dx
б)	2
																			.
	0
									1 4x2
	1								xdx
б)															.
									1 x		2
	0
	1								x2 dx
б)																		.
				3
									3
	0								8 8x
	2								x3dx
б)														.
									4 x		2
	0
	6									dx
б)
		3
											2
	2								4 x
	2								xdx
б)											.
									2
	2					x 1

Типовые расчеты по высшей математике.

1 курс (модуль 3).

Интегрирование функции одной переменной

Методические указания и задачи для студентов.

Составители: Брылевская Л.И., Бодрова Н.А., Далевская О.П., Сейферт И.В., Сытенко Н.В.

В авторской редакции Редакционно-издательский отдел НИУ ИТМО

Зав. РИО Н.Ф. Гусарова Лицензия ИД № 00408 от 05.11.99 Подписано к печати Заказ № Тираж

Отпечатано на ризографе

Редакционно-издательский отдел

Санкт-Петербургского национального исследовательского университета информационных технологий, механики и оптики

197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., 49