­­­­ТЕМА: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ

Теоретический материал для изучения

§1. Основные понятия.

Приведем примеры функций нескольких переменных:

а) объем параллелепипеда: V = abc, гдеa,b,c– его длина, ширина и высота;

б) сила гравитационного притяжения между телами: , гдеm₁ и m₂ – массы тел,R– расстояние между телами,- гравитационная постоянная.

Это примеры функций трех переменных. Введем понятие функции nпеременных на примере пространства товаров.

Будем считать, что имеется n различных товаров. Количествоi– го товара обозначим x_i(i = 1,2, . . . n).Тогданабор товаровобозначимX = (x₁, x₂, . . . , x_n)– его можно рассматривать какn– мерный вектор. Множество всех наборов товаров{X}называетсяпространством товаров.ВекторыХназываются элементами этого пространства. Любые два набораX₁ = (x₁¹, x₂¹, . . . , x_n¹)иX₂ = (x₁², x₂², . . . , x_n²)можно сложитьХ₁ + Х₂ по правилу сложения векторов и умножить любой набор товаров на любое неотрицательное число, последнее означает безграничную делимость товаров, т.е. товары «устроены» наподобие сахарного песка, а не автомобилей. Если в пространстве для всех его элементов определены операции сложения и умножения на число со всеми своими свойствами, то такое пространство называетсялинейным(Rⁿ).Таким образом, пространство товаров является линейным.

Пусть каждый товар имеет цену p_i (i = 1,2, . . . n, p_i > 0).Тогда векторP = (p₁,p₂,_{, . . . ,}p_n) – называется вектором цен. Набор товаровХи вектор ценРимеют одинаковую размерность. Тогда их скалярное произведениеPX = p₁x₁ + p₂x₂ + . . . +p_nx_n есть число, которое называетсяценой набораили егостоимостьюи обозначаетсяС(Х). Если в линейном пространстве определена операция скалярного произведения, то такое пространство называетсяевклидовым(Eⁿ).Пусть вектор цен известен, т.е. ценыp₁,p₂,_{, . . . ,}p_n – данные (фиксированные) величины, тогда стоимость набора товаров есть функцияnнеизвестных:С(Х) = p₁x₁ + p₂x₂ + . . . +p_nx_n.

Приведем примеры многомерных функций, используемых в экономике (их одномерные аналоги мы уже рассматривали).

Функция полезностиu(X) = u(x₁, x₂, . . . , x_n)– субъективная числовая оценка данным индивидом полезности набора товаровХ = (x₁, x₂, . . . , x_n).

Функция издержекC(Y) = C(y₁, y₂, . . . y_n)– зависимость издержекСот объемов выпускаемой продукцииY = (y₁, y₂, . . . y_n).

Производственная функция y = F(X) = F(x₁, x₂, . . . , x_n) - зависимость объема выпускаемой продукцииyот объемов перерабатываемых ресурсовХ = (x₁, x₂, . . . , x_n).Наиболее известная производственная функция –функция Кобба-Дугласа:

y = AK^L^1-, гдеA, -неотрицательные константы,K– объем вкладываемого в производство капитала,L –объем вкладываемых трудовых ресурсов.

Df. Если каждому вектору Х = (x₁, x₂, . . . , x_n) из множества D по некоторому правилу (закону) f поставлено в соответствие одно и только одно число y E  R, то говорят, что на множестве D задана (определена) функция n переменных: y = f(x₁, x₂, . . . , x_n) или y = f(X).

При этом x₁, x₂, . . . , x_n – независимые переменные (аргументы),y –зависимая переменная (функция).

Множество D – называетсяобластью определения функции; множество значений, принимаемых функциейE,называетсяобластью изменения функции.