6.2. Методы решения систем линейных уравнений

6.2.1. Метод Крамера

Рассмотрим систему линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных, то есть m = n и система имеет вид:

В этом случае основная матрица системы – квадратная матрица порядка n.

Теорема 6.1 (Крамера¹¹). Пусть в системе линейных уравнений число уравнений равно числу неизвестных и определитель основной матрицы не равен нулю. Тогда решение этой системы находят по формулам:

x₁ = , x₂ = , …, x_n = , (3)

где матрица A_i получена из матрицы A заменой i-ого столбца столбцом свободных членов.

Формулы (3) называются формулами Крамера.

Пример 6.1. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера. Дана система

Решение. Данной системе соответствует основная матрица А = , столбец свободных членов В =  и столбец неизвестных Х = . Проверим, можно ли решать данную систему по формулам Крамера. В этой системе число уравнений равно числу неизвестных. Найдем определитель основной матрицы этой системы: |А| = = 1. Этот определитель не равен нулю, поэтому систему можно решать по формулам Крамера. Вычислим определители матриц A₁, A₂, A₃:

|A₁| = = 1, |A₂| = = 1, |A₃| = = 1.

По формулам (3) находим неизвестные:

x₁ =  =  = 1, x₂ = =  = 1, x₃ =  =  = 1.

Ответ: (1; 1, 1).

6.2.2. Метод обратной матрицы

Метод обратной матрицы применим для систем линейных уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных и определитель основной матрицы не равен нулю.

Матричная форма записи системы линейных уравнений представляется в виде следующего матричного равенства: АХ = В.

В силу условия матрица А – квадратная матрица порядка n с определителем не равным нулю. Это означает, что для матрицы А существует обратная матрица А^–1. Умножим обе части матричного равенства на матрицу А^–1 слева. Получим А^–1(АХ) = А^–1В. Преобразуем данной выражение:

(А^–1А)Х = А^–1В;

EХ = А^–1В;

Х = А^–1В.

Вывод: если для системы n линейных уравнений с n неизвестными определитель основной матрицы не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится по формуле Х = А^–1В, где А – основная матрица данной системы, В – столбец свободных членов.

Пример 6.2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.

Решение. Здесь А = , Х = , B = . Найдем матрицу А^–1 любым способом. Имеем А^–1 = . Теперь можно вычислить столбец неизвестных X.

X =  =  =  = . Значит x₁ = 1, x₂ = 1.

Ответ: (1; 1).

Очевидно, что применение этих методов связано с выполнением определенных условий и решить с их помощью произвольную систему невозможно.

6.2.3. Метод Гаусса

Для описания этого метода, который годится для решения произвольных систем линейных уравнений, необходимы некоторые новые понятия.

Определение 6.7. Уравнение вида 0x₁ + 0x₂ + ... + 0x_n = 0 называется нулевым.

Решением такого уравнения является любой вектор.

Определение 6.8. Уравнение вида 0x₁ + 0x₂ + ... + 0x_n = b , где b ≠ 0, называется несовместным (или противоречивым).

У несовместного уравнения решений нет.

Определение 6.9. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие ее преобразования:

1. умножение любого уравнения на число, не равное нулю;

2. прибавление к одному уравнению системы любого другого, умноженного на произвольное число;

3. вычеркивание нулевого уравнения.

Замечание 6.1. С помощью преобразований 1 и 2 уравнения системы можно поменять местами.

Теорема 6.2. Цепочка элементарных преобразований переводит исходную систему линейных уравнений в равносильную ей систему.