Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Линейная Алгебра от 2 октября 2013.doc
Скачиваний:
755
Добавлен:
10.02.2015
Размер:
3.44 Mб
Скачать

Базис пространства Rn

Векторы e1, e2, …, en образуют базис пространства Rn, так как e1, e2, …, en – линейно независимы, и каждый вектор из Rn линейно выражается через эти векторы. По предыдущей теореме 7.3 в другом базисе Rn должно быть столько же векторов, сколько и в этом, то есть n. Сформулируем этот вывод в виде теоремы.

Теорема 7.4. Базисы пространства Rn – это в точности все линейно независимые системы, состоящие из n векторов.

Другими словами, система, состоящая из n линейно независимых векторов – это базис, и наоборот, базис Rn – это система, состоящая из n линейно независимых векторов.

Ранг системы векторов

Дадим два равносильных определения ранга системы векторов.

Определение 7.16. Рангом системы векторов называется количество векторов в любом базисе этой системы.

Определение 7.17. Рангом системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов в этой системе.

Если дана система векторов а1, а2, …, аm пространства Rn, то ранг r этой системы не больше количества векторов в ней и не больше размерности пространства Rn, то есть r  m и r  n, или r  min(m, n).

Ранг линейно независимой системы векторов равен количеству векторов в ней.

Ранг ступенчатой системы векторов равен количеству векторов в ней.

Лемма 7.1 (о ранге системы векторов). Ранг системы векторов не изменится, если к ней добавить (или удалить) вектор, являющийся линейной комбинацией остальных.

На основании этой леммы можно доказать теорему.

Теорема 7.5. Ранг системы векторов не меняется при следующих преобразованиях, называемых элементарными:

  1. умножение вектора на число, не равное нулю;

  2. прибавление к одному вектору другого, умноженного на произвольное число;

  3. удаление нулевого вектора.

С помощью этих преобразований векторы системы можно поменять местами.

Практическое нахождение ранга и базиса системы векторов

Из данной системы векторов составляем матрицу, расположив векторы как строки этой матрицы. Приводим матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований над строками этой матрицы. При этом не меняется ни ранг матрицы, ни ранг системы векторов-строк. Ранг полученной ступенчатой матрицы, а также полученной ступенчатой системы векторов равен количеству оставшихся ненулевых строк. Базисом системы векторов являются те векторы, на месте которых остались ненулевые строки.

Пример 7.4. Найти ранг и базис системы векторов а1 = (1, 3, 0, 5), а2 = (1, 2, 0, 4), а3 = (1, 1, 1, 3) а4 = (1, 0, –1, 0), а5 = (1, –3, 3, –1).

Решение. Действуем по описанной схеме.

      .

Ранг системы векторов равен трем (по количеству оставшихся ненулевых строк), один из базисов образуют векторы а1, а2, а3.

Нахождение ранга системы векторов позволяет решать вопрос о линейной зависимости системы векторов. Если ранг системы векторов равен количеству векторов в системе, то эта система линейно независима, если же ранг системы векторов меньше количества векторов в системе, то эта система векторов линейно зависима.

Так как ранг рассмотренной системы (пример 7.4) векторов а1, а2, а3, а4, а5 равен трем и меньше числа векторов, то есть пяти, то система векторов а1, а2, а3, а4, а5 линейно зависима.