Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Линейная Алгебра от 2 октября 2013.doc
Скачиваний:
755
Добавлен:
10.02.2015
Размер:
3.44 Mб
Скачать

8. Векторные (линейные) пространства

8.1. Определение векторного пространства над произвольным полем.

Пусть P – произвольное поле. Известные нам примеры полей – поле рациональных, действительных, комплексных чисел.

Определение 8.1. Множество V называется векторным (или линейным) пространством над полем P, если для каждых двух элементов a, b  V определена сумма a + b  V,и для каждого k  P и для каждого a  V определено произведение ka  V, причем справедливы следующие равенства: для любых a, b, c  V и любых k, l  P

  1. a + b = b + a;

  2. a + (b c) = (a + b) + c;

  3.  о  V : a + о = a;

  4.  а,  (–а) : a + (–a) = о;

  5. 1a = a, 1  P;

  6. k(la) = l(ka) = (lk)a;

  7. (k + l)a = ka + la;

  8. k(a + b) = ka + kb.

Элементы векторного пространства принято называть векторами, о - нулевой вектор; (–а) – вектор, противоположный вектору а; 1  P – единица поля P.

Примеры 8.1. Приведем примеры векторных пространств.

1) Rn – арифметическое n-мерное векторное пространство.

2) Множество матриц одного итого же размера с действительными коэффициентами Rmn, сложение матриц и умножение их на действительное число определены.

3) R[x] – множество многочленов с действительными коэффициентами, сложение многочленов и умножение их на действительное число известны.

4) R[x](n) – множество многочленов с действительными коэффициентами степени, не превосходящей n.

5) Множество направленных отрезков плоскости или пространства с общим началом в начале координат. Сложение таких отрезков осуществляется по правилу параллелограмма, умножение по известному правилу.

6) R(a, b) – множество функций определенных, дифференцируемых на отрезке [a, b].

Если числа в определении 8.1 k, l … брать из поля действительных (вещественных) чисел R, т. е. Р = R, то пространство называется вещественным векторным (линейным) пространством; если же из поля комплексных чисел, то приходим к понятию комплексного линейного пространства.

Простейшие свойства векторных пространств

1) о – нулевой вектор (элемент), определен единственным образом в произвольном векторном пространстве над полем.

2) Для любого вектора a  V существует единственный противоположный элемент (–a)  V.

3) a, b  V уравнение а + х = b разрешимо единственным образом x = b + (–a) и обозначается как x = b – a, и называется разностью.

4) операция сложения сократима: если а + b = a + c, то b = c для любых a, b, c  V.

5) если а + b = a, то b = o.

6) если а + b = о, то а = –b и b = –a.

7) –(–а) = а.

8) 0а = о, где 0 элемент поля P, а о – нулевой вектор пространства V.

9) kо = о, здесь k  P, о  V.

10) если kа = о, то k = 0 или а =о.

11) (–1)а = –а.

12) (k – l)a = ka – la, где k, l  P, а  V.

13) k(a – b) = ka – kb, где k  P, а, b  V.

14) (–k)а = –kа.

Линейная зависимость и независимость системы векторов

Для произвольного векторного пространства понятия линейной комбинации, линейной оболочки системы векторов, линейной зависимости и независимости системы векторов определяется точно так, как и для n-мерного арифметического векторного пространства. Выполняются все свойства линейной зависимости (кроме свойства, связанного со ступенчатой системой векторов).