8.2. Подпространства. Линейные многообразия

Пусть V – векторное пространство, L  V (L подмножество V).

Определение 8.2. Подмножество L векторного пространства V называется подпространством пространства V, если

1.  а, b  L : а + b  L;

2.  а  L, k  P: kа  L.

Обозначение L  V. Принято говорить, что подмножество L замкнуто относительно сложения векторов и относительно умножения их на элемент из поля P.

Пример 8.2.

1) В каждом векторном пространстве есть два подпространства, называемых несобственными: L = {0} – нулевое подпространство, L = V – подпространство, совпадающее со всем пространством .

Приведем примеры собственных подпространств.

2) Пусть V = R⁴, L = {((₁, ₂, ₃, 0), _i  R} – подпространство, так как для произвольных векторов а = (₁, ₂, ₃, 0)  L и b = (₁, ₂, ₃, 0)  L и k  P:

• а + b = (₁ + ₁, ₂ + ₂, ₃ + ₃, 0 + 0)  L;

• ka = (k₁, k₂, k₃, 0)  L.

3) В пространстве квадратных матриц подпространство образует подмножество диагональных матриц.

4) В пространстве направленных отрезков подпространством является множество отрезков, лежащих на прямой, проходящей через начало координат.

Теорема 8.1. Линейная оболочка L(а₁, а₂, …, а_m) системы векторов а₁, а₂, …, а_m образует подпространство пространства V.

В этом случае принято говорить, что L(а₁, а₂, …, а_m) подпространство, натянутое на векторы а₁, а₂, …, а_m, или что L(а₁, а₂, …, а_m) – подпространство, порожденное векторами а₁, а₂, …, а_m. Система векторов а₁, а₂, …, а_m называется системой образующих подпространства L(а₁, а₂, …, а_m).

Пересечение и сумма подпространств

Пусть V – векторное пространство над полем P, L₁ и L₂ – его подпространства.

Определение 8.3. Пересечением подпространств называется множество L₁  L₂ = {x | x  L₁ и x  L₂}.

Теорема 8.2. Пересечение подпространств является подпространством.

Определение 8.4. Суммой подпространств L₁ и L₂ называется множество L₁ + L₂ = {x = x₁ + x₂ | x₁  L₁ и x₂  L₂}.

Теорема 8.3. Сумма подпространств является подпространством.

Определение 8.5. Сумма подпространств L₁ и L₂ называется прямой, если каждый вектор из суммы L₁ + L₂ может быть единственным образом представлен в виде суммы векторов из L₁ и L₂.

Прямая сумма подпространств обозначается символом L₁  L₂.

Теорема 8.4. Сумма подпространств L₁ и L₂ является прямой тогда и только тогда, когда их пересечение состоит только из нулевого вектора, т. е. L₁  L₂ = {о}.

Линейные многообразия

Пусть V – векторное пространство, L – подпространство, a – произвольный вектор из пространства V.

Определение 8.6. Линейным многообразием пространства V с направлением L, порожденным вектором a, называется множество a + L = {a + l, l  L}. Вектор a называется вектором сдвига.

Пример 8.3. В пространстве R^22 выберем подпространство L = {, а, b  R} и вектор сдвига A = , тогда соответствующее линейное многообразие – это множество A + L = {, c, d  R}.

8.3. Базис и размерность векторного пространства

8.3.1. Конечномерные векторные пространства

Определение 8.7. Векторное пространство V называется n-мерным, если в нем существует линейно независимая система векторов, состоящая из n векторов, и при этом любая система, состоящая более чем из n векторов, линейно зависима.

В этом случае говорят, что размерность V равна n (dimV = n).

Определение 8.8. Векторное пространство, имеющее размерность, называется конечномерным.

Определение 8.9. Если в векторном пространстве V можно указать линейно независимую систему векторов с каким угодно количеством векторов, то пространство V называется бесконечномерным.

Пример 8.4. 1) Пространство R⁴ четырехмерно, так как в нем есть 4 линейно независимых вектора e₁, e₂, e₃, e₄ и любая другая система векторов, в которой более 4 векторов, линейно зависима.

2) Пространство R[x] бесконечномерно, поскольку система векторов 1, x, x², …, xⁿ линейно независима при любом n.