Базис конечномерного векторного пространства

V – конечномерное векторное пространство над полем P, S – система векторов (конечная или бесконечная).

Определение 8.10. Базисом системы S называется ее подсистема S´ такая, что

• подсистема S´ линейно независима;

• любой вектор системы S линейно выражается через векторы системы S´.

Как и для арифметических n-мерных векторных пространств верна следующая теорема:

Теорема 8.5. Любые два базиса одной и той же системы векторов состоят из одинакового количества векторов.

Теорема 8.6. В конечномерном векторном пространстве любая система, содержащая хотя бы один ненулевой вектор, имеет базис.

Определение 8.11. Базисом конечномерного векторного пространства V называется система векторов этого пространства, такая что

• эта система линейно независима;

• каждый вектор из V линейно выражается через векторы базиса.

Теорема 8.7. В n-мерном векторном пространстве есть базис. При этом базисы – это в точности все системы, состоящие из n линейно независимых векторов, то есть

- базис – это система, состоящая n из линейно независимых векторов, и

- любая система, состоящая из n линейно независимых векторов, является базисом.

Определение 8.12. Размерностью пространства называется количество векторов в любом его базисе.

Пример 8.5. Приведем примеры базисов конечномерных векторных пространств.

1) Пространство V = Rⁿ. Система единичных векторов e₁, e₂, …, e_n образует базис этого пространства, что следует из свойств этой системы векторов. Размерность Rⁿ равна n.

2) Пространство V = R³. Система векторов e₁, e₂, e₃ – базис R³. Любой другой базис этого пространства состоит из трех линейно независимых векторов, это, например, векторы а₁, а₂, а₃ : а₁ = (2, 3, –1), а₂ = (0, 4, 7), а₃ = (0, 0, –4). Эти векторы образуют лестничную систему, поэтому они линейно независимы. Размерность R³ равна 3.

3) Пространство V = R^22. В качестве базиса этого пространства можно выбрать векторы Е₁ = , Е₂ = , Е₃ = , Е₄ = . Можно показать, что они линейно независимы. Как выражаются элементы пространства через векторы базиса, видно из следующего примера: если вектор A = , то А = 2Е₁ + (–4)Е₂ + 3Е₃ + 5Е₄ . Размерность R^22 равна 4.

4) Пространство V = R[x]_(3). Векторы f₁ = 1, f₂ = x, f₃ = x², f₄ = x³ образуют базис пространства R[x]_(3). Линейная независимость этих векторов легко доказывается, произвольный вектор f = a + bx + cx² + d x³ выражается через векторы следующим способом f = af₁ + bf₂ + cf₃ + df₄. Размерность этого пространства равна 4.

5) Пространство направленных отрезков. На плоскости базис состоит из любых двух неколлинеарных векторов, в пространстве – из любых трех некомпланарных векторов.

8.3.2. Базисы и размерности подпространств

1. Пусть подпространство L = L(а₁, а₂, …, а_m) , то есть L – линейная оболочка системы а₁, а₂, …, а_m; векторы а₁, а₂, …, а_m – система образующих этого подпространства. Тогда базисом L является базис системы векторов а₁, а₂, …, а_m, то есть базис системы образующих. Размерность L равна рангу системы образующих.

2. Пусть подпространство L является суммой подпространств L₁ и L₂. Систему образующих суммы подпространств можно получить объединением систем образующих подпространств, после чего находится базис суммы. Размерность суммы находится по следующей формуле:

dim(L₁ + L₂) = dimL₁ + dimL₂ – dim(L₁  L₂).

3. Пусть сумма подпространств L₁ и L₂ прямая, то есть L = L₁  L₂. При этом L₁  L₂ = {о} и dim(L₁  L₂) = 0. Базис прямой суммы равен объединению базисов слагаемых. Размерность прямой суммы равна сумме размерностей слагаемых.

4. Приведем важный пример подпространства и линейного многообразия.

Рассмотрим однородную систему m линейных уравнений с n неизвестными. Множество решений М₀ этой системы является подмножеством множества Rⁿ и замкнуто относительно сложения векторов и умножения их на действительное число. Это означает, что это множество М₀ – подпространство пространства Rⁿ. Базисом подпространства является фундаментальный набор решений однородной системы, размерность подпространства равна количеству векторов в фундаментальном наборе решений системы.

Множество М решений общей системы m линейных уравнений с n неизвестными так же является подмножеством множества Rⁿ и равно сумме множества М₀ и вектора а, где а – некоторое частное решение исходной системы, а множество М₀ – множество решений однородной системы линейных уравнений, сопутствующей данной системе (она отличается от исходной только свободными членами),

М = а + М₀ = {а = m, m  М₀}.

Это означает, что множество М является линейным многообразием пространства Rⁿ с вектором сдвига а и направлением М₀.

Пример 8.6. Найти базис и размерность подпространства, заданного однородной системой линейных уравнений:

Решение. Найдем общее решение этой системы и ее фундаментальный набор решений: с₁ = (–21, 12, 1, 0, 0), с₂ = (12, –8, 0, 1, 0), с₃ = (11, –8, 0, 0, 1).

Базис подпространства образуют векторы с₁, с₂, с₃, его размерность равна трем.