Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Линейная Алгебра от 2 октября 2013.doc
Скачиваний:
755
Добавлен:
10.02.2015
Размер:
3.44 Mб
Скачать

Процесс ортогонализации

Теорема 8.12. Во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Доказательство. Пусть а1, а2, …, аn – произвольный базис евклидова пространства Е. Доказательство заключатся в описании алгоритма построения ортогонального базиса по данному базису. Этот алгоритм называется процессом ортогонализации. Пусть b1 = a1, b1 ≠ 0 (т. к. а1 ≠ 0). Положим b2 = a2 + 1b1. Подберем коэффициент 1 так, чтобы b2 ≠ 0 стал ортогонален b1;

(b1b2) = 0  (b1a2 + 1b1) = 0  (a2 + 1b1b1) = 0  (a2b1) + 1(b1b1) = 0, т. к. b1 ≠ 0, то (b1b1) ≠ 0  1 = .Вектор b2 не равен нулю, поскольку он является ненулевой линейной комбинацией линейно независимых векторов a1 и a2.

Положим, далее b3 = a3 + 1b1 + 2b2. Подберем 1 и 2 так, чтобы b3 ≠ 0 оказался ортогонален b1 и b2, для чего должны выполняться условия (b1b3) = 0, (b2b3) = 0. Выполняя преобразования, получим, что 1 = , 2 = . Вектор b3 не равен нулю, поскольку он является ненулевой линейной комбинацией векторов а1, а2, а3.

Продолжая этот процесс, получим систему векторов b1, b2, …, bn, и так как эти векторы ненулевые и попарно ортогональны, то по теореме 8.11 они линейно независимы, а значит образуют ортогональный базис.

Нормируя ортогональный базис b1, b2, …, bn, получим ортонормированный базис n-мерного евклидова пространства:

e1 = b1, e2 = b2, …, en = bn.

Пример 8.12. Применить процесс ортогонализации к векторам а1 = (2, –2, –2, 2), а2 = (3, –1, –1, 3), а3 = (2, –2, 0, 4).

Решение. Это задание можно сформулировать так: по данному базису подпространства построить ортогональный базис.

b1 = а1, b1 = (2, –2, –2, 2);

b2 = a2 + 1b1, 1 = === –1.Тогда b2 = a2 – b1 = (1, 1, 1, 1).

b3 = a3 + 1b1 + 2b2, 1 = == –1,2 = == –1.Тогда b3 = a3 – b1 – b2 = (–1, –1, 1, 1).

Скалярное произведение в ортонормированном базисе

Дан ортонормированный базис e1, e2, …, en евклидова пространства V. Поскольку (eiej) = 0 при i ≠ j и (eiei) = 1, то

(x, y) = (eiej) = x1y1 + x2y2 + … + xnyn.

Вывод: скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе равно сумме произведений соответствующих координат.

Ортогональное дополнение подпространства

V – евклидово векторное пространство, L – его подпространство.

Определение 8.23. Говорят, что вектор а ортогонален подпространству L , если вектор а ортогонален любому вектору из подпространства L, т. е.

а  Lа  х,  х  L.

Определение 8.24. Ортогональным дополнением подпространства L называется множество L* всех векторов, ортогональных подпространству L, то есть L* = {x | x  L}.

Теорема 8.13. Ортогональное дополнение подпространства является подпространством.

Теорема 8.14. Прямая сумма подпространства L и его ортогонального дополнения L* равна пространству V, т. е. L  L* = V.

Пример 8.13. Найти ортогональное дополнение подпространства L, натянутого на векторы а1 = (1, 1, 1, 1), а2 = (–1, 1, –1, 1), а3 = (2, 0, 2, 0).

Решение. Для того чтобы вектор x был ортогонален подпространству, необходимо и достаточно, чтобы он был ортогонален векторам системы образующих этого подпространства. Пусть х = (х1х2х3х4), запишем условие ортогональности этого вектора векторам а1, а2, а3: (х, а1) = 0, (ха2) = 0, (х, а3) = 0. В координатной форме эти условия представляют собою однородную систему линейных уравнений: Множество решений этой системы представляет собою подпространство L*, ортогональное подпространству L.

Решая систему, получим фундаментальный набор решений: с1 = (–1, 0, 1, 0), с2 = (0, –1, 0, 1). Эти векторы образуют базис множества решений системы, то есть базис L*, т. о. L* = L(с1,с2), dim L* = 2.