9.2. Матрица линейного оператора Связь между координатами вектора и координатами его образа
В
пространстве
V
задан линейный оператор ,
а также в некотором базисе e1,
e2,
…, en
найдена его матрица
M().
Пусть в этом базисе найдены координаты
векторов x
и
(x):
[x] = 
,
[(x)] = 
.
Установим связь
между
столбцами [x]
и [(x)].
(х) = y1e1 + y2e2 + … + ynen;
(х) = (x1e1 + x2e2 + … + xnen) = x1(e1) + x2(e2) + … + xn(en) = = x1(11e1 + 21e2 + … + n1en) + x2(12e1 + 22e2 + … + n2en) + … … + xn(1ne1 + 2ne2 + … + nnen) = (x111 + x212 + … + xn1n)e1 + (x121 + x222 + … + xn2n)e2 + … + (x1n1 + x2n2 + … + xnnn)en.
Вектор (x) разложен по векторам базиса e1, e2, …, en двумя способами, но в силу единственности такого разложения коэффициенты при одинаковых базисных векторах можно приравнять:
y1 = x111 + x212 + … + xn1n,
y2 = x121 + x222 + … + xn2n,
…………………………………..
yn = x1n1 + x2n2 + … + xnnn.
Полученные равенства можно записать в матричной форме:
= 
или [(x)] = M()[x].
Теорема 9.2 (о матрице линейного оператора). Если для любого вектора x из пространства V выполняется матричное равенство [(x)] = В[x], то матрица B является матрицей линейного оператора .
Матрицы линейного оператора в различных базисах
Зададим в пространстве V два базиса e1, e2, …, en и e'1, e'2, …, e'n (старый и новый). Связь между двумя базисами выражается матрицей перехода T . В пространстве V действует линейный оператор . В каждом из этих базисов для линейного оператора найдены матрицы. Обозначим их, соответственно, M()и M'() и установим, как одна из них выражается через другую.
Пусть [x] и [x]' столбцы координат произвольного вектора x в старом и новом базисах соответственно, связь между которыми дает формула: [x] = Т[x]'. Вектор (x) – образ вектора х, пусть [(x)] и [(x)]' – столбцы координат вектора (x) в старом и новом базисах соответственно. Имеет место формула [(x)] = Т[(x)]'.
Вставим в соотношение [(x)] = M()[x] выражение старых координат векторов x и (x) через новые: Т[(x)]' = M()Т[x]'. Умножим полученное равенство слева на матрицу T –1 и получим [(x)]' = (T –1M()Т )[x]'.
Из теоремы 9.2 о матрице линейного оператора следует, что
M '() = T –1M()Т .
Пример 9.3. 1) Линейный оператор в базисе e1, e2 задан формулой (x) = (3х1 – х2, х1 + х2). Найти матрицу этого линейного оператора в базисе e'1, e'2 если e'1 = 3е1 + 2е2, e'2 = 4е1 + 3е2.
Решение. Сначала составим матрицу линейного оператора в старом базисе, для чего нужны координаты образов базисных векторов:
(e1) = (1, 0) = (31 – 0, 1 + 0) = (3, 1),
(e2) = (0, 1) = (30 – 1, 0 + 1) = (–1, 1),
M() = 
.
Затем находим матрицу перехода T и обратную к ней матрицу T –1:
e'1 = 3е1 + 2е2 e'1 = (3, 2),
e'2 = 4е1 + 3е2 e'2 = (4, 3),
T = 
тогда T
–1 = 
.
Используем формулу и находим M '() = T –1M()Т :
M '() = 
= 
= 
.
Ответ:
M '() = 
.
2) Линейный оператор в базисе e1, e2 задан формулой (x) = (2х1 + 4х2, –х1 – 3х2). Найти матрицу этого линейного оператора в базисе e'1, e'2 если e'1 = –4е1 + е2, e'2 = –е1 + е2.
Решение. По рассмотренному алгоритму найдем M() и M '().
Ответ:
M() = 
,
M '() = 
.
Отметим, что в новом базисе матрица линейного оператора приняла диагональный вид.