9.3. Подобные матрицы

Рассмотрим множество Р^nn квадратных матриц порядка n с элементами из произвольного поля P.

Введем на этом множестве отношение между матрицами – отношение подобия.

Определение 9.4. Матрица A называется подобной матрице B, если существует обратимая матрица T такая, что А = T ^–1BT. Обозначение А  B.

Свойства отношения подобия матриц

1. Рефлексивность. Любая матрица подобна сама себе, т. е. А  А.

2. Симметричность. Если матрица A подобна B, то и B подобна A, т. е. А  B  B  А.

3. Транзитивность. Если матрица A подобна B и матрица B подобна C, то матрица A подобна матрице C, т. е. А  B и B  С  то А  С.

Множество Р^nn рассмотренным отношением разбивается на подмножества (классы), в каждое из которых входят матрицы, подобные между собою. Общих элементов у полученных подмножеств нет.

Вспомним связь между матрицами линейного оператора в различных базисах: M '() = T^–1M()Т . Очевидно, что M '()  M(). Сформулируем правило: матрицы одного и того же линейного оператора в различных базисах подобны между собою.

9.4. Действия над линейными операторами

В векторном пространстве V над произвольным полем P заданы линейные операторы  и .

1. Сложение линейных операторов.

Определение 9.5. Суммой линейных операторов  и  называется отображение, обозначаемое  + ψ и действующее по правилу: ( + ψ)(x) = (x) + ψ(x), для  х  V.

Теорема 9.3. Сумма линейных операторов является линейным оператором.

Доказательство. Проверим два свойства.

1. ( + ψ)(x + y) = (x + y) + ψ(x + y) =(x) + (y) + ψ(x) + ψ(y) = (x) + + ψ(x) + (y) + ψ(y) = ( +ψ)(x) + ( + ψ)(y).

2. ( + ψ)(λx) = (λx) + ψ(λx) = λ(x) + λψ(x) = λ( + ψ)(x).

В ходе доказательства использовались определение линейного оператора и определение суммы линейных операторов. Теорема доказана.

Свойства сложения линейных операторов

1.  + ψ = ψ + .

2. ( + ψ) + η =  + (ψ + η).

3.   :  ,  +  =, где  – нулевой оператор.

4.  ,  (–) :  + (–) = , где (–) – противоположный оператор.

2. Умножение линейного оператора на элемент поля.

Определение 9.6. Произведением линейного оператора  на элемент λ поля P называется отображение, обозначаемое λ, действующее по правилу (λ)(x) = λ(x), для  х  V.

Теорема 9.4. Произведение линейного оператора  на элемент λ поля P является линейным оператором.

Свойства умножения линейного оператора на элемент λ поля P

1. 1 = .

2. (μ) = (μ) = μ().

3. ( + μ) =  + μ.

4. ( + ψ) = λ + ψ.

3. Умножение линейных операторов.

Определение 9.7. Произведением линейных операторов  и ψ называется отображение, обозначаемое ψ и действующее по правилу: (ψ)(x) = (ψ(x)), для  х  V.

Теорема 9.5. Произведение линейных операторов является линейным оператором.

Свойства умножения линейных операторов

1. ψ ≠ ψ.

2. (ψ)η = (ψη).

3. ( + ψ)η = η + ψη.

4. η( + ψ) = η + ηψ.

5. (λ)η = (λη).

Связь между действиями над линейными операторами и действиями над их матрицами

В векторном пространстве V над произвольным полем P выбран произвольный базис e₁, e₂, …, e_n. В пространстве V заданы линейные операторы  и ψ, для которых в данном базисе найдены матрицы: M(), M(ψ).

Теорема 9.6. а) Матрица суммы линейных операторов равна сумме их матриц, то есть M( + ψ) = M() + M(ψ).

б) Матрица произведения линейного оператора на элемент λ равна произведению его матрицы на этот элемент λ, то есть M(λ) = λM().

в) Матрица произведения линейных операторов равна произведению их матриц, то есть M(ψ) = M()M(ψ).