9.7.5.Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице

Пусть A – квадратная матрица. Можно считать, что это матрица некоторого линейного оператора, заданного в каком-то базисе. Известно, что в другом базисе матрица линейного оператора примет другой вид, в частности, как в одном из предыдущих примеров 9.3, диагональный. Это значит, что исходная матрица подобна диагональной матрице. Возникает вопрос: всегда ли данная матрица подобна диагональной? Как это установить? Как найти соответствующий базис?

Теорема 9.14. Матрица A подобна диагональной матрице тогда и только тогда, когда линейный оператор , заданный этой матрицей, имеет n линейно независимых собственных векторов.

Доказательство. Пусть матрица A подобна диагональной матрице, то есть у линейного оператора  с матрицей A = M() в некотором базисе с₁, с₂, …, с_n матрица примет следующий вид M '() = . Используя матрицу, найдем образы базисных векторов: (с₁) = ₁с₁, (с₂) = ₂с₂, …, (с_n) = _nс_n. Получены n линейно независимых собственных векторов.

У линейного оператора  есть n линейно независимых собственных векторов с₁, с₂, …, с_n с собственными значениями ₁, ₂, …, _n. Выберем векторы с₁, с₂, …, с_n в качестве базисных векторов и найдем матрицу оператора  в этом базисе. Используя равенства (с₁) = ₁с₁, (с₂) = ₂с₂, …, (с_n) = _nс_n составим матрицу M '(): M '() = .

Теорема 9.15. Если матрица A имеет n попарно различных собственных значений, то она подобна диагональной матрице.

Это утверждение основано на свойстве собственных векторов: попарно различным собственным значениям соответствуют линейно независимые собственные векторы.

Пример 9.8. Привести матрицу A к диагональному виду, если это возможно, указать базис и матрицу перехода.

1) A = . Для этого случая собственные векторы уже найдены (пример 9.7), линейно независимых векторов оказалось только 2, а в базисе должно быть 3. Вывод: матрица A к диагональному виду не приводится. Другими словами: матрица A не подобна диагональной.

2) A = . Находим собственные значения матрицы A. Вычислим определитель

|A – E| =  =  =

 =(1 – ) = (1 – )=

= (1 – )1(–1)^2 + 2= (1 – )((7 – )(–7 – ) – 6(–8)) =

= (1 – )(² – 1) = –( + 1)( – 1)² = 0. Тогда ₁ = ₂ = 1, ₃ = –1 – собственные значения матрицы A.

Находим собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям. Рассмотрим случай ₁ = ₂ = 1. Решаем однородную систему линейных уравнений  (1 –2 1), тогда х₁ = 2х₂ – х₃ –общее решение системы, векторы с₁ = (2, 1, 0) с₂ = (1, 0, –1) линейно независимые собственные векторы с собственным значением ₁ = ₂ = 1.

Рассмотрим случай ₃ = –1. Получаем систему . Решая ее, получим только один линейно независимый собственный вектор с₃ = (3, 5, 6).

Найдены три линейно независимых собственных вектора с₁, с₂, с₃. Выберем их в качестве нового базиса и найдем матрицу линейного оператора в этом базисе.

Поскольку (с₁) = 1с₁, (с₂) = 1с₂, (с₃) = (–1)с₃, то матрица линейного оператора M '() =  и T =  –матрица перехода от старого базиса к новому.