5.4.1. Защита посредством неортогональных состояний

Идея использовать неортогональные квантовые состояния для кодирования секретной информации принадлежит Стефану Визнеру и основана на невозможности клонировать неортогональные квантовые состояния или любое неизвестное состояние. Пассивный подслушиватель не может достоверно различить неортогональные состояния (назовем их ), если он не знает базиса, в котором те были приготовлены.Рассмотрим два нормированных состояния |0> и |1>, таких, что <0|1>0. Предположим, что существует клонирующая машина, которая действует следующим образом

|0>|бланк>|машина>|0>|0>|машина₀>

|1>|бланк>|машина>|1>1>|машина₁>,

где «бланк» обозначает исходное состояние частицы, которое после действия машины стано-вится клоном, и где все состояния соответствующим образом нормированы. Операция клонирования должна быть унитарной и сохранять внутреннее произведение, так что

<0|1>=<0|1><0|1><машина₀|машина₁>,

что возможно только при <0|1>=0 (два состояния взаимно ортогональны) и <0|1>=1 (два состояния неразличимы и, следовательно, не могут быть использованы для кодирования двух различных состояний бита), что противоречит исходному предположению. Таким образом, если кто-то секретно приготавливает случайную последовательность битов |1>|0>|1>1>…., где |0> и |1> выбраны случайно, то эту последовательность невозможно достоверно воспроизвести.

Предположим, что Ева настраивает свой измеряющий прибор в неком исходном состоянии . Ее цель – отличить состояния, не возмущая их. Ее действия будут описываться следующими унитарными преобразованиями над входными состояниями :

Унитарность сохраняет скалярное произведение, поэтому

откуда следует, что

Это означает, что конечное состояние измерительного прибора Евы одно и то же в обоих случаях. Два состояния не возмущены, но Ева не получила никакой информации о закодированных значениях бита.

Более общее измерение, когда Ева возмущает исходные состояния, так что

.

Тогда в результате действий подслушивателя:

,

.

Условие унитарности даёт

Наилучшая ситуация, когда у Евы возникает самый лучший шанс различить два состояния своего прибора, получается, когда скалярное произведение принимает минимальное значение. Это происходит при <|>=1, т.е. когда два состояния |0> и |1> после взаимодействия становятся неразличимы.

5.4.2. Защита посредством перепутывания

Концепция квантовой криптографии, основанная на перепутывании, включает в себя ЭПР - парадокс. Программа ЭПР включала в себя полноту («в полной теории должен присутствовать элемент, соответствующий каждому элементу реальности»), локальность («реальная фактическая ситуация в системе А не зависит от того, что происходит с системой В, пространственно отделённой от первой»), и определяла элемент физической реальности так: «если, никак не возмущая систему, мы можем с определённостью предсказать значение физической величины, то существует элемент физической реальности, соответствующий этой физической величине».

Программа ЭПР требовала другого описания квантовой реальности, однако до установления теоремы Белла в 1964 г. не было ясно, возможно ли такое описание, и, если да, то приведёт ли оно к другим предсказаниям результатов экспериментов. Белл показал, что предположения ЭПР о локальности, реальности и полноте несовместимы с некоторыми предсказаниями квантовой механики, касающимися перепутанных частиц.

В 1991 году А. Экерт предложил протокол, основанный на перепутанных состояниях. Он предложил применять сцепленность квантовых состояний для передачи криптографических ключей, не поддающихся перехвату. Впоследствии оказалось, что этот протокол является разновидностью протокола Беннета – Брассара (ВВ84), однако в обзорах по квантовым способам распределения ключа, как правило, он фигурирует отдельно.

В 1992 г. Ч. Беннет и С. Виснер показали, что сцепленность можно использовать при пересылке классической информации - сверхплотное кодирование, при котором два бита переносятся частицей, которая должна бы передавать лишь один бит.

Примечательно также, что казалось бы, абсолютно умозрительные рассуждения, приведшие Эйнштейна, Подольского и Розена к их известному парадоксу, а также идеи, высказанные Дж. Беллом, все-таки нашли свое практическое воплощение. Сам А. Экерт, формулируя суть протокола, отмечал, что здесь «распределение ключа зависит от полноты квантовой механики». Под полнотой понимается тот факт, что квантовое описание обеспечивает максимально возможную информацию о рассматриваемой системе. Экспериментальная реализация рассматриваемого протокола, во всяком случае, в принципиальном смысле, мало отличается от установок по наблюдению нарушения неравенств Белла. Можно сказать, что при распределении ключа вводится квантовый канал, где сам ключ существует без какого-либо «элемента реальности», связанного с этим ключом. В этом смысле он защищен полнотой квантовой механики.

Канал состоит из источника перепутанных фотонов, находящихся в синглетном состоянии. Частицы разлетаются вдоль оси z в направлениях к легитимным пользователям – Алисе и Бобу. Каждый из них получает по одной частице или половинке перепутанной пары. Затем Алиса и Боб выполняют измерение над свой частицей, ориентируя поляризационные призмы вдоль трех направлений: для Алисы – а_i, для Боба – b_j (i, j = 1, 2, 3). Конкретно, измеряя углы от вертикальной оси:

Алиса и Боб выбирают ориентацию призм случайно и независимо друг от друга для каждой пары перепутанных частиц. Каждое измерение дает результат либо +1, либо –1, т.е. срабатывает один из двух детекторов, установленных в выходных модах поляризационной призмы Алисы и Боба. Параметризованный таким образом сигнал представляет один (для одной частицы) бит информации.

Далее измеряется корреляция между парами детекторов Алисы и Боба, чтобы сформировать величину:

где аргументы в корреляционных функциях Р означают выбранное направление. Например, означает вероятность того, что при данных установках поляризационных призмa_i, b_j Алиса получила результат «-1», а Боб «+1». Можно показать, что величина Е принимает значения

.

Для двух пар одинаковых ориентаций анализаторов (поляризационных призм)

квантово-механические предсказания дают полную антикорреляцию результатов, полученных Алисой и Бобом:

Следуя Клаузеру, Хорну, Шимони и Хольту можно ввести наблюдаемую величину – наблюдаемую Белла, составленную из корреляционных коэффициентов

которая равна

После того, как перепутанные частицы поступили к Алисе и Бобу, те могут объявить по открытому каналу связи ориентации анализаторов, которые были выбраны случайным образом при каждом измерении. Затем, результаты измерений разделяются на две группы. К первой группе относятся результаты, полученные при разных ориентациях анализаторов. Ко второй – при одинаковых ориентациях. Не учитываются те результаты, когда частица Алисы или Боба по каким-то причинам не была зарегистрирована вообще. Затем Алиса и Боб сообщают результат, который они получили только для первой группы измерений. Это позволяет им установить значение S для невозмущенных состояний частиц. Это дает основание легитимным пользователям считать, что результаты, относящиеся ко второй группе измерений, антикоррелированы и могут быть преобразованы в секретный набор битов – сырой ключ.

Подслушиватель не может воспользоваться информацией, перехватывая перепутанные частицы, поскольку самой информации там нет. Считается, что она появляется в результате измерений, выполняемых Алисой. По Экерту измерение Алисы приготавливает состояние частицы Боба, хотя более последовательно было бы утверждать, что эта информация закодирована в корреляционных функциях Р и величине Е.