7.4.2. Моделирование вероятности

Говоря о квантовой механике, мы признаем, что здесь имеем дело лишь возможностью предсказывать вероятности.

Один из способов получить компьютер, моделирующий вероятностные теории - описание чего-то, что происходит с определенной вероятностью, - это рассчитать эту вероятность и интерпретировать полученное число для представления реальности. Например, предположим, что частица имеет вероятность P(x, t) находиться в точке х во время t. Типичный случай - когда вероятность удовлетворяет дифференциальному уравнению, например уравнению:

.

Теперь можно дискретизировать время и координату, а, возможно, и саму вероятность и решать это дифференциальное уравнение так, как обычные уравнения теории поля, создавая для этого алгоритм, работающий в дискретной модели. Во-первых, здесь появляется проблема с дискретизацией вероятности. Если ограничиться к цифрами (разрядами), это означает, что когда вероятность какого-нибудь события становится меньше чем 2^-к , то мы говорим, что этого никогда не произойдет. На практике, так оно и есть. Если вероятность события меньше, чем 10^-20, мы говорим, что оно никогда не произойдет или не будет происходить слишком часто. Но на самом деле здесь имеется определенная трудность. Если мы рассматриваем много частиц, скажем, R в системе, то мы должны описывать вероятность при условии, что частицы находятся в точках в моментt. Так описывается вероятность для системы. Поэтому нам нужно к-разрядное число для каждой конфигурации системы, для каждой из R “конфигураций” величины х. Поэтому, если у нас есть N пространственных точек (в смысле клеточного автомата), нам необходимо описать N^R конфигураций. На самом деле мы считаем, что в каждой точке пространства имеется информация типа электрического поля и т.п., поэтому R окажется такого же порядка что и N, если количество информации, выраженное в битах, совпадает с числом точек в пространстве. Следовательно, мы получаем порядка N^N конфигураций, которое необходимо описать, для того чтобы получить вероятность. Значит, эта величина окажется гораздо большей, чем размер нашего компьютера, который порядка N.

Подчеркнем, что если описание изолированной части природной системы, состоящей из N переменных, требует введения обобщенной функции N переменных и если компьютер моделирует такую систему либо производя вычисления, либо просто записывая эту функцию, то при удвоении размера системы () потребуется экспоненциальный рост размера моделирующего компьютера. Поэтому, согласно правилам, введенным выше, невозможно, моделировать вычисление вероятностей.

Существует ли другая возможность? Мы не можем ожидать вычисления вероятности некой конфигурации для вероятностной теории. Но другой способ моделирования вероятностных процессов в природе состоит в построении компьютера самого по себе описывающегося вероятностным образом! В таком компьютере выход не является однозначной функцией входа. Тогда можно попробовать моделировать природу так: компьютер начинает работу с определенного начального состояния и приходит к конечному состоянию с той же вероятностью, что и реальный процесс, который начинается с соответствующего начального состояния и приходит к конечному состоянию. Как узнать, чему равна вероятность? Тогда как мы собираемся предсказать результат с помощью компьютера? Мы не можем, это непредсказуемо, если процесс вероятностный. Но что мы действительно можем сделать в вероятностной системе - это повторить эксперимент в природе много раз. Повторяя один и тот же эксперимент в компьютере много раз (что не займет больше времени, чем это занимает в таком же природном процессе) мы получим частоту повторения конечного состояния пропорциональную количеству испытаний с приблизительно таким же исходом (плюс - минус корень из числа испытаний n), как это случается в природе. Другими словами, можно представить машину, которая моделирует природную систему и в которой происходит в точности то же самое, что и в природе. Но если бы мы повторяли определенный эксперимент достаточное число раз, чтобы определить природную вероятность, то мы также можем проделать соответствующий эксперимент и на компьютере и получим соответствующую вероятность с соответствующей точностью, точность определяется статистикой.

Теперь давайте подумаем о характеристиках локального вероятностного компьютера, который может моделировать природу (под природой будем понимать квантовые системы). Одна из характеристик - это то, как какая-то величина ведет себя в локальной области в пренебрежении тем, что происходит в других областях. Например, предположим, что имеются переменные в системе, которые описывают весь мир , причем, переменныеx_A - это те, которыми интересуемся мы - вокруг нас, а x_B - остальные переменные вселенной. Если нас интересует вероятность того, что что-то произойдет “вокруг нас”, т.е. в т. х_А , мы должны проинтегрировать общую вероятность по “лишним” переменным. Если мы уже вычислили эту вероятность, то нам осталось выполнить интегрирование:

,

что само по себе довольно трудно. Однако если мы сымитировали вероятность, это становится очень просто: нам ничего не нужно делать для вычисления интеграла - мы просто отбросим все значения вероятности от переменной х_В, просто глядя на нужную нам область х_А. Следовательно такая величина будет иметь природные характеристики: если она локальна, то можно обнаружить, что происходит в данной области, не посредством интегрирования или какой-нибудь другой процедуры, а просто отбрасывая все, что происходит в других местах, что вообще не является операцией.

Итак, мы подошли к вопросу о том, как моделировать с помощью компьютера квантово-механические эффекты. Квантовая механика описывает эффекты посредством дифференциальных уравнений относительно волновой функции . Если у нас имеется одна частица,является функциейx и t и такое дифференциальное уравнение можно смоделировать. Так можно моделировать уравнение Шредингера для одной частицы. Но полное описание квантовой механики дается волновой функцией , которая является амплитудой вероятности найти частицы в точкахи поэтому не может быть смоделирована на обычном компьютере, как имеющая слишком много переменных. В этом обычном компьютере число элементов пропорциональноR или N. Такая же проблема возникает и с вероятностным описанием в классической физике. Как же можно моделировать квантовую механику? Есть два способа это сделать. Можно отказаться от правила, по которому работает компьютер. Мы говорим: давайте сделаем компьютер из квантово-механических элементов, которые удовлетворяют законам квантовой механики. Другой путь такой - пусть компьютер будет логическим универсальным автоматом.

Прежде всего, заметим, что законы квантовой механики обратимы во времени, поэтому мы должны рассматривать квантовые вычислительные устройства, подчиняющиеся законам обратимости. Напомним, что одним из выводов науки о вычислениях является факт, что универсальное вычислительное устройство может быть сделано на основе соответствующей сложной сети элементарных логических элементов. В классическом компьютере проводники, соединяющие ЛЭ, должны быть идеальными, и переносить токи, вызывающие падения напряжения на сопротивлениях, которые соответствуют двум уровням “1” и “0”.