mat_analiz

Задание2.Линейные дифференциальные уравнения и уравнения Бернулли. Найти общие решения уравнений:

y

1

1.

y′

−

= x ;

2.

y′

+

y = 2 ln x +1 ;

3.

y′− yctgx = sin x ;

x

x

2x

2

4.

xy

′

= x + 2 y ;

5.

′

;

6.

y

′

−2 y = −x ;

y

− ytgx = cos x

7.

y′cos x − y sin x = sin 2x ;

8.

y′

3

y =

2

;

9.

y′

x

y =1;

+

+

x

x 3

1− x 2

10. y′cos x + y sin x =1 ;

11. y′−

xy

= x ;

12. y′−

2x

y =1+ x

2

;

x 2 +1

1+ x 2

2

2

;

14. y′+

y

2 x

;

15. y′+ y = x

y ;

13.

. y′ = −

y + x

= e

x

x −3

16. y′+ x

= −xy

2

;

17. 2xyy′− y

2

+ x = 0 ;

18. yy′+ y

2

+ 4x(x +1)= 0 ;

y

19. xy′−4 y = x 2

y ;

20. y′− ytgx + y 2 cos x = 0 .

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие заданным

начальным условиям:

21.

y

′

− ytgx

1

y(0)= 0

= cos x

′

x

1

22.

y

= 2 y +e − x

y(0)= 4

′

1

23.

y

+ y = cos x

y(0)= 2

24.

t 2

ds

= 2ts −3

s(−1)=1

dt

25.

(2x +1)y′+ y = x

y(0)=1

26.

ds

− s ctgt = sin t

π

s

= 0

dt

2

27.

y′+ y cos x = sin x cos x

y(0)=1

28.

ds

−

2s

= t 2 ln t

s(1)= 2

dt

t

29.

2y′− 6y + x 2 = 0

y(0)= 0

30.

y

2

y

′

+ y

3

=1− x

y(0)

2

=

3

329

Задание3. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие заданным

начальным условиям:

1.y′′ = −6x

2.y′′ = x +1

3.y′′ = − x32

4.y′′ = sin x

5.y′′ = x63

6.y′′ = 3x 2

x

7.y′′ = e 2

8.y′′ = 6x +cos x

9.y′′ = 3x −sin x

10.y′′ = ex + x

11.y′′ = 6sin 3x

12.y′′ = e3x +1

13.y′′ = cos12 x

14.y′′ = x sin x

15.y′′ = x1

16.y′′ = sin12 x

17.(1+ x 2 )y′′−2x y′ = 0

18.x y′′ = y′

19.y′′y 3 = y′

20.yy′′+(y′)2 =1

y(0)=0 ,

′

y

(0)= 0

y(1)=

′

1

1, y

(1)= 2

y(1)=

′

2, y

(1)=1

y(0)=

′

1, y

(0)= 2

y(1)=

′

0, y

(1)=1

y (0)= 2, y ′(0)= 1

′

y(0)= −1, y (0)=1

y(0)=

2, y

′′

(0)=1

y(0)=

′

1, y

(0)= 3

y(0)=

2, y

′

(0)= 0

y(0)=

′

1, y

(0)= 2

y(0)=

1

′

4

9 , y (0)= 3

π

ln 2

π

y

=

, y′

=1

2

4

4

y(0)=

′

1, y

(0)= 2

y(1)=

′

1, y

(1)= 2

π

ln 2

π

y

=

, y′

=1

2

4

4

y(0)=

0, y

′

(0)= 3

y(0) = 0,

y

′

(0)= 0

y(0,5)

′

=1, y (0,5)=1

y(0)=

′

1, y

(0)=1

330

21. y′′ =	y	′		+ln	y	′
			1
	x				x

22.y′′(1+ln x )+ x1 y′ = 2 +ln x

23.y′′− (y′)2 + y′(y −1)= 0

24.y 2 + (y′)2 − 2yy′′ = 0

Найти общие решения уравнений:

y(1)=	1	′
	2 , y		(1)=1
y(1)=	1	′
	2 , y		(1)=1
		′
y(0)= 2, y (0)= 2
		′
y(0)=1, y			(0)=1

25. y′′

1

26. t

d 2 s

ds

=

+

+ t = 0

1 + x2

dt 2

dt

27. x2 y′′+ xy′ =1

28. (x +1)y′′− (x + 2)y′+ x + 2 = 0

29. yy

′′

′

2

′′ 2

=1

= (y )

30. y y

Задание 4. Неоднородные ЛДУ второго порядка со специальной

правой частью.

Найти общие решения уравнений:

1.

y′′+ y′− 2 y = 6x3

2. y′′− 4 y = 8x3

3.

y′′+ 2 y′+ y = 8e x

4. y′′+ 2 y′+ 5 y = 4e−x

5.

y′′+ 6 y′+8y =10sin x

6.

y′′−9 y = cos 3x

7.

y′′+ 3y′+ 2 y = e x

8.

y′′−5 y′+ 6 y =13sin 3x

9.

y′′+ 2 y′ = 2x +1

10. y′′+ y = 2x3 − x + 2

11.

y′′+ 4 y′+ 4 y = 2e x

12. y′′−5 y′+ 6 y = 2 cos x

13.

y′′+ 2 y′−5y = 4e−x

14. y′′+ 2 y′−8 y = 3sin x

15.

y′′− 6 y′+8 y = cos 2x

16. y′′− 4 y′+5 y = 2e3x

17.

y′′− 4 y′+ 3y = 3e2 x

18. y′′− 4 y′+ 4 y = −x2 + 3x

19.

y′′+ 2 y′+10 y = 2x2 −1

20. y′′+ y′− 6 y = x2 −1

21.

y′′+ 6 y′+13y = 3e−x

22. y′′− 4 y′+ 5 y = 2x2 e x

23.

y′′+ 4 y′ = e−2 x

24. y′′+ y′ = 2 cos x

25.

y′′+ 5 y′+ 6 y =12 cos 2x −8sin 2x

26. y′′− 4 y′+ 4 y = e2 x

27.

y′′− 4 y = 2x3 −3x +1

28. y′′+ 2 y′+ 5 y = 2e−3 x

29.

y′′− y′ = 3e3x

30. y′′− 4 y′−5 y = 5x − 4

331

Приложение 1

Полярные координаты

Для определения положения точки на плоскости, кроме прямоугольной декартовой системы координат, часто применяется полярная система координат.

Пусть на плоскости даны некоторая точка O (полюс) и проходящая через нее ось OP (полярная ось) , а также указана единица масштаба (см. рис. 1)

ρ	М
ϕ
0 1	р
	Рис. 1

Положение произвольной точки M на плоскости определяется расстоя-

нием ρ от точки M до точки O и углом ϕ , который вектор OM образует с по-

лярной осью (см. рис. 1). Величина ρ называется полярным радиусом , а

угол ϕ - полярным углом . Полярный радиус и полярный угол называются полярными координатами точки M , при этом записывают M (ρ;ϕ).

Задание ρ и ϕ однозначно определяет положение точки M , причем величина ρ неотрицательна, а ϕ может быть любым числом из интервала

(− ∞;+∞).

Если совместить прямоугольную декартову и полярную системы координат так , чтобы полюс совпал с началом координат, а полярная ось с положительной полуосью Ox , то легко устанавливается связь между декартовыми и полярными координатами одной и той же точки.

Если обозначить через x и y декартовы координаты произвольной точ-

ки M 0 , через ρ и ϕ - ее полярные координаты, то можно показать справед-

ливость формул:

x = ρ cosϕ,y = ρsin ϕ.

332

Наряду с уравнениями линий в декартовых координатах, можно говорить и об уравнениях линий в полярных координатах. Всякое уравнение, содержащее ρ и ϕ (или только одну из этих величин), является, вообще говоря,

уравнением некоторой линии. Эту линию можно приближенно построить по некоторым точкам.

333

Приложение 2

Применение дифференциального и интегрального исчисления при решении некоторых задач естественнонаучного цикла

Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной (также как и функции нескольких действительных переменных) помогает находить наибольшее или наименьшее значения различных величин (см. тему: «Наибольшее и наименьшее значение функции»).

Задача 1. В условиях практической необратимости (в определенном диапазоне температур) скорость1 химической реакции 2NО+О2=2NО2 выражается формулой v=кх2у, где х - концентрация оксида азота (II) в любой момент времени, у – концентрация кислорода, к – константа скорости реакции, не зависящая от концентрации реагирующих компонентов и зависящая только от температуры, к>0. При каком процентном содержании кислорода в газовой смеси оксид азота (II) окисляется с максимальной скоростью?

Решение. По условию х+у=100%, тогда у=100-х и v=кх2(100-х)=к(100х2-х3).Найдем значение х, при котором функция v принимает максимальное значение и сделаем вывод по условию задачи.

Найдем первую производную этой функции:

v′=к(200х-3х2). Решая уравнение v′=0, т.е. к(200х-3х2)=0, где к≠0, имеем

200х-3х2=0, х(200-3х)=0, х1=0, х2= 2003 .

Используем второе достаточное условие экстремума. Найдем вторую производную функции v:

v″=к(200-6х).

Найдем значения v″ при х=0 и х= 2003 :

1 Математическую формулу, связывающую скорость реакции с концентрациями, называют уравнением скорости реакции или кинетическим уравнением. В общем случае по стехиометрическому уравнению реакции вид кинетического уравнения задать нельзя. Но по основному закону химической кинетики, который можно сформулировать так: скорость реакции в каждый момент времени пропорциональна произведению концентраций реагирующих компонентов, возведенных в некоторую степень, можно найти определенную зависимость скорости от концентраций.

334

v″(0)=200к>0, v″( 2003 )=к(200-400)=-200к<0, т.к. к>0.

Итак, при х=0 скорость окисления минимальна (это соответствует и физическому смыслу задачи) и при х= 2003 =66 23 % скорость окисления мак-

симальна. Так как х - концентрация оксида азота (II), то концентрация кисло-

рода, при которой скорость окисления максимальна, у=100-66 23 =33 13 %. (Из-

за того, что в процессе реакции содержания, в которых вещества количественно соединяются, сохраняются (стехиометрическое соотношение), то при содержании в исходной смеси 33,3 % кислорода скорость реакции будет относительно максимальной в течение всего процесса. Этот вывод справедлив для реакции окисления при любой температуре, при которой реакция является практически необратимой, так как полученный результат не зависит от величины к).

Ответ: 33 13 %.

Аналогично решается задача в случае, когда в газовой смеси, помимо оксида азота и кислорода, содержатся посторонние компоненты, не принимающие участия в химической реакции.

Задача 2. При автокаталитической реакции2 скорость образования некоторого вещества пропорциональна произведению концентраций исходного вещества А и продукта реакции В. При каком количестве исходного вещества А скорость образования продукта реакции начинает убывать?

Решение. Пусть а и b концентрации веществ А и В, х – прирост вещества В и, очевидно, он равен убыли вещества А, т.е. а=а0-х и b=b0+х, где а0 и b0 – начальные концентрации веществ А и В. По условию скорость образования вещества В можно записать по формуле: v=каb или v=к(а0-х)( b0+х), где к>0 – константа скорости реакции.

2 Реакция, на которую оказывает каталитическое действие какой-либо из ее продуктов, называется автокаталитической. Для нее характерно, что процесс идет при переменной возрастающей концентрации катализатора. Скорость автокаталитической реакции в начале процесса возрастает, а затем в результате падения концентрации исходного вещества начинает убывать.

335

Найдем максимум функции v(х)=к(а0-х)( b0+х):

v′ = - к(b0+х)+к(а0-х)= - 2кх+ка0-кb0.

Решая уравнение v′=0, имеем - 2кх+ка0-кb0=0, то есть х= а0 2−b0 - един-

ственная критическая точка. Для определения вида экстремума найдем v″: v″ = - 2к<0 для любого значения х. Значит, х0= а0 2−b0 -точка максимума

функции v и при всех значениях х>х0 скорость образования продукта реакции начинает убывать.3

	Ответ: при х>	а0 −b0	скорость образования продукта реакции начина-
		2
	ет убывать.

О задачах, приводящих к дифференциальным уравнениям

Задачи, решение которых приводит к дифференциальным уравнениям, содержащим производные или дифференциалы неизвестных функций, достаточно разнообразны. В таких задачах ищется функция или зависимость между переменными факторами какого-либо процесса.

В начале решения по условию задачи составляется дифференциальное уравнение. В зависимости от условия задачи дифференциальное уравнение получается либо как соотношение между дифференциалами переменных величин, либо как соотношение, содержащее производные неизвестной функции. При составлении дифференциального уравнения задачи в виде соотношения между дифференциалами переменных можно делать различные допущения, упрощающие задачу и, вместе с тем, не отражающиеся на результатах. Например, небольшой участок кривой можно считать прямолинейным; небольшой участок поверхности – плоским; в течение малого промежутка времени переменное движение можно рассматривать как равномерное; физический, химический или другой процесс как протекающий с неизменной скоростью. При составлении дифференциального уравнения задачи в виде соот-

3 b0(начальная затравка) как правило мала по сравнению с а0, поэтому скорость образования продукта достигает максимума в тот момент времени, когда примерно половина исходного вещества А превращена в продукт реакции.

336

ношения между производными используется геометрический, физический или механический смысл производной. Кроме того, при составлении дифференциального уравнения задачи, в зависимости от ее условия, используются известные законы физики, химии, кинетики и других наук и различные математические формулы.

Задача 3. В сосуде находится 60 л раствора, содержащего 5 моль4 растворенной соли. В каждую минуту в него вливается 3 л воды и вытекает 2 л раствора, причем концентрация соли поддерживается постоянной. Какое количество соли остается в сосуде через 40 минут?

Решение. Пусть х моль – количество соли в некоторый момент времени t (мин). В малый промежуток времени dt количество соли в сосуде уменьшится на dх. К моменту t в сосуд поступило 3t л воды и вышло 2t л раствора. Таким образом, увеличение раствора составляет t л. Значит, общее количество жидкости достигло 60+t (л) и в ней растворилось х моль соли. За время dt уходит dх моль соли и 2dt л раствора. Считая концентрацию соли

постоянной, имеем количество соли в 1л 60х+ t моль. Значит, за короткий промежуток времени dt количество соли уменьшится на 60х+ t 2dt. Уравнение

движения жидкости имеет вид: -dх=

х

2dt, т.к. dх <0.

60 + t

Разделим

переменные:

dx

= −

2dt

,

интегрируем ln

x

= −2(ln(60 +t )+ ln c)

x

60 + t

1

. Имеем начальные условия при t=0 х=5:

или х=

(60 +t)2 c2

1

2

1

5=

, откуда с =

. Значит,

искомая зависимость количества соли в

602 с2

18000

растворе от времени имеет вид: х=

18000

.

(60 +t)2

Через 40 мин имеем: х=

18000

=1,8(моль).

(60 + 40)2

4 Моль вещества – это число граммов вещества, равное его молекулярному весу. Например, 1 моль кислорода равен 16г, 1 моль воды 18г.

337

Ответ: 1,8 моль.

Задача 4. Сосуд емкостью 1 л снабжен 2 трубками и заполнен воздухом, содержащим 21% кислорода по объему. Через одну трубку в сосуд медленно поступает чистый кислород, через другую вытекает смесь воздуха с кислородом. Сколько процентов кислорода будет содержать сосуд после пропуска 10 л газа?

	Решение. В начальный момент времени в сосуде		21	л кислорода.
		100

Так как смесь кислорода с воздухом вытекает, то в некоторый момент време-

ни, когда через сосуд прошло х л газа, в сосуде содержится 100а л кислорода.

Когда через сосуд проходит dх л газа, это означает, что в сосуд входит dх л

кислорода и выходит 100а dх л кислорода. Тогда в сосуде будет

	а	+(dх-		а	dх)=	а + (100 − а)dx	л кислорода. Значит, процент кислорода уве-
	100		100			100

личился на величину (100-а)dх, т.е. dа=(100-а)dх. Это дифференциальное уравнение процесса. Разделим переменные:

da

= dx . Интегрируем:

− ln

100 − a

= x − ln c ,

100 − a

ln

100 − a

− ln c = −x ,

ln

100 − a

= −x ,

c

100 − а

= e−x ,

с

100 − a = ce−x или a =100 − ce−x .

Имеем начальные условия при х=0 а=21:

21= 100-се0, отсюда с = 79. Значит, зависимость процентного содержания кислорода от времени задается формулой а=100-79е-х.

При х=10 имеем а= 100-79е-10 ≈ 99,996, т.е.99,996% кислорода будет содержаться в сосуде при прохождении 10 л газа.

Ответ: 99,996%.

338