ГОС математика / Алгебра / GOSy_Algebra_1

8. Базис и размерность конечн.векторн.прост-ва. Опр. Вектор линейно выражаются ч/з векторы если сущ-ют действ. числа такие, что . явл-ся линейной комбинацией данных векторов. Опр. Система векторов наз-ся ЛЗ, если сущ-ют числа , среди которых, есть отличные от 0, такие, что. При этом равенство наз-ся ЛЗ-ю данных векторов. Опр. Система векторов наз-ся ЛНЗ, если она не явл-са ЛЗ. Др. словами, если из того, что некоторая линейная комбинация векторов этой системы = , следует, что все коэф-ты этой линейной комбинации = 0. ЛНЗ Пусть дана система векторов , причем ее подсистема ЛНЗ и ч/з нее линейно выраж-ся, скажем . Тогда подсистема наз-ся базисом системы векторов . Опр. Базисом непустого множества векторов называется конечная подсистема векторов из , которая сама ЛНЗ и всякий вектор из через нее линейно выражается. Пр-р 1: док-м, что базисом всего арифм-кого n-мерного векторного простр-ва является система так называемых единич. векторов , ,…, . Док-м, что система единичных векторов ЛНЗ. Составим лин.комб-ю этих вект-в и прировняем ее к нулев. вектору: ЛНЗ док-на. Очевидно, для любого вектора имеем , так что всякий вектор линейно выражается ч/з систему единичных векторов. Теорема (о базиса системы век-в): Любая система , содержащая хотя бы один ненул вектор имеет базис. Д-во: #По условию в имеется не . Это означает, что обладает ЛНЗ подсистемами. Рассм. «максимальную» ЛНЗ подсистему S (т.е. содержащую максимально возможн число векторов) Эту подсистему обозначим ч/з В. Покажем, что В-базис S. 1) В-ЛНЗ. по своему опр-ю. 2)Пусть В: и пусть произвольн вектор из S. Образуем подсистему В': . Заметим, что В' ЛЗ (иначе В не максимальна). Тогда такие числа не все равные нулю, что . Заметим, что иначе В- была бы ЛЗ. Имеем . T.o. линейно выражается через В.# Теорема. Любые два базиса одной сист.векторов состоят из один-го числа векторов Док-во:# Будем раасм-ть только базисы,состоящ.из конечн.числа векторов. Возьмем два базиса ,М-система n-мерн.векторов..Методом от противного: ! (r<s). Т.е.(а)-базис,то линейн.выраж-ся ч\з (а): Т.к (в) тоже базис, то (1) Т.к. (а)-ЛНЗ-базис, следует рав-во нулю коэф-в при a, т.е. ОСЛУ, в кот-й число ур-ний (r) <числа неизвестных (s), т.к. r<s, такая сист.имеет и не нулев.решение. Т.е., что выполн-ся (1),это против-т тому, то -образует базис, т.е. явл ЛНЗ сист,значит предпол-ние, что r<s неверно.=> r>s-неверно (рассуждения аналогичные,меняем только местами (а) и (в). Получаем что предположения о том, что r<s и r>s – неверны, значит r=s. Пр-р 2: (1,2,5)=а1,(3,6,15)=а2, Базис (1,2,5), т.к 3а1=а2-Л.З. Опр. Рангом конечной системы векторов, содержащей ненулевой вектор, наз-ся кол-во (число) векторов ее базиса. См.Пример 2: rang=1,т.к. в базисе только 1 вектор. -Если конечная система, состоит только из нулевых векторов, то она не имеет базиса, поэтому считаем ее ранг равным нулю. Ранг-есть размерность векторн.прос-ва. Опр: Базисом пространства наз-ся любая система векторов В, которая удовл-ет условиям: 1) В-ЛНЗ 2) Любой вектор из линейно выражается через В. Теорема. В произвольном векторном пространстве для любой системы векторов всякую ЛЗ подсистему , где можно дополнить до базиса данной системы. Док-во. Идя по данной системе векторов слева направо, будем удалять всякий вектор, который явл-ся линейной комбинацией предыдущих векторов. При этом подсистема векторов окажется нетронутой. Пусть в результате у нас останется подсистема , . Док-м, что эта подсистема явл-ся базисом. Сначала док-м, что она ЛНЗ. Пусть . Если предположить, что то появляется возможность вектор , выразить ч/з предыдущие векторы, а такие векторы мы удаляли из системы. След-но, и мы получаем . Повторяя рассуждения, док-м, что и t.д. В итоге получим, что все коэффициенты = нулю, а это доказывает ЛНЗ подсистемы . Далее, всякий вектор исходной системы векторов, не вошедший в эту подсистему, был удален потому что он линейно выражался ч/з предыдущие векторы, а значит, и ч/з векторы подсистемы . След-но, эта подсистема явл-ся базисом данной системы векторов. След 1. Всякая конечная система векторов, содержащая ненулевой вектор, имеет базис, и любые два базиса этой системы содержат одинаковое кол-во векторов. След 2. Всякую ЛНЗ систему векторов конечно порожденного векторного пространства можно дополнить до базиса этого пространства. След 3. Пусть V — конечно порожденное векторное пространство. Для любого ненулевого подпространства А, отличного от V, сущ-ет подпространство В {называемое дополнением к А) такое, что . Опр: Векторное пространство V над полем Р наз-ся n-мерным, если оно имеет базис из n векторов. При этом, n наз-ся размерностью векторного прос-ва V. Обозн: dimV=n. Размерность нулевого пространства считаем равной 0.

1. Кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком. НОД и НОК двух целых чисел. Опр. Кольцом наз.мн-во элементов К, на кот-ом определены операции сложении и умножения, причем выполнены след условия: 1) «+» коммут (а+b)+с=а+(b+c) и ассоц а+в=в+а для любых а,b,с К. 2)Суш-ет эл-т 0 К такой, что 0+а=а+0=а. 3)для любого а К сущ-ет эл-т -а К такой, что а+(-а)=0. 4) «*» ассоц:(а*b)*с=а*(b*с) для любых а,b,c К. 5) «*» дистриб относительно сложен а*(b+с)= а*b+а*с для любых а,b,c К. Если «*»в кольце коммун, то кольцо- коммун-ое. Кольцо К-кольцо с единицей,если сущ элемент е К такой, что для любого а К Пример:Z,Q,R-ассоц кольца(К-числовое множ-во явл-cя кольцом a,bK ) Свойства: 1)Для любого эл-та а К: а*0=0*а Док-во: а*0=а(0+0)=а*0+а*0 => а*0=а*0+а*0 прибавим к обеим частям -(а*0), получим 0=а*0 Так же док-ся, что 0*а=0 2)Для любых эл-ов а и b К (-а)b=а(-b)=-(аb), (-а)(-b)=(аb) Вычитанием в кольце К наз бинарная операция- : а-b+а+(-b) для любых а,b К 3)Умнож в кольце дистриб относ-но вычитания :(а-b)с=ас-bс. Док-во: используя опр «-», дистриб «*»относ «+» и св-ом 2:(а-b)с=(а+(-b))с=ас+(-b)с=ас+(-(b))=ас-bс. Опр:! К=К, +,*-Кольцо Н=Н, +,*.Алгебра Н- подкольцо кольца К, если 1)НК, а-bH, a, bH(подгруппа аддитивной группы кольца К)2) a,b из Н:a*b из Н Опр. Системой целых чисел называется кольцо <Z,+,*> c основным элем Z, элементы которого называются целыми числами, причем выполняются след условия: 1)<N,+,*><Z,+,*>;2)Z=N{0}-N, где –N={-n|nN}. Опр:a>bb-aN, a,b  Z-отношение «меньше». Отношение «меньше» обладает следущими св-ми:1)Св-во транзитивности:a<b,b<ca<c;2)св-во трихотомии: aZ, bZ одно и только одно из трех либоa<b либо a=b либо b<a a-bZ=-N{0}N Кроме того «+» и «*» монотонны:1)монот «+»a<ba+c<b+c;2)a<b,c<0 ac<bc Опр: Разделить цел число а на число b0 с остатком это значит найти такие целые числа q,r из Z, что a=bq+r и |b|>r 0, при этом q-неполное частног, r- остаток. Теорема (о делении с остатком) Деление с остатком всегда возможно и однозначно.( а, bZ,b0 , q и гZ :a=bq+r, где , q -неполное частное, r - остаток ) # Рассмотрим два случая. b>0 Рассмотрим числовую прямую, разобьем ее на отрезки длины b Ясно, что число a попадет в один из этих отрезков. Будем считать, что a может совпадать только с левым концом отрезка, в противном случае возьмем следующий отрезок. Т.е. . Отнимем от каждой части bq, тогда (т.к. b>0, то ). Обозначим r = a-bqa = bq+r и # 2) b<0, но тогда –b>0. Тогда по 1) a=(-b)q+r, где . Представим a=b(-q)+r # Док-ем единственность. Пусть a = bq+r и a = bq1+r1, тога bq+r = bq1+r1 (вынесем b) b(q- q1)= r1-r. Если q=q1r = r1 Предположим, что , тогда , тогда по свойству 7) пришли к противоречию, т.к. r1 и r меньше b, их разность не может быть больше b. # НОД Опр. Число d наз. ОД чисел а и b, если a d,bd Опр. Число d наз HOД чисел а и b. если d- общий делитель и делится на любой общий делитель d-НОД- 1.d>0; 2.ad, bd; 3.ad1,bd1=>dd1. Обозн:d=(a,b) Св-во: 1.Если ab, b > 0, то (a,b)=|b| #1)b>0-по усл. 2)ab-по усл, bb-рефл-ть 3) пусть ad, bd , тогда bd ■ Лемма: Если числа a.b,q,r связаны рав-вом a=bq+r, то (a,b)=(b,r) # Пусть (a.b)=d1, (b,r)=b2 1) ad1, b d1=> r=(a-bq)d1т.е. rd1=> d1 –ОД(b,r)=> d1 d2 (как наиб.) 2) (b.r)= d2:=>b d2 и r d2 По св-ву делимости( ad, bd =>(a + b)d ) a=(bq+r) d2 => a i b d2, но d1-наибольш. делитель а и b => d1d2.Из I) и 2)=>d1=d2# Алгоритм Евклида(сп-б нах-я НОД): Состоит из 2-х шагов: 1)делим а на b, если деление нацело, то (a.b)=b; 2)если a b с остатком, то делим каждый раз делитель на остаток до теx пор. пока это возможно. a=bq0+r0 ,0 r0|b| b= r0q1+r1 , 0 r1| r0| r0= r1q2+r2, 0 r2| r1| … rn-2= rn-1qn+rn, 0 rn| rn-1| rkn= rnqn+1(rn+1=0) 0 rn |rn-1| |rn-2| … |r2| |r1| |r0| |b| Эта цепочка остатков конечна, т.к. это убыв. посл-ть N-чисел, огран-ая снизу нулём. След-но, алг Евклида конечен. Теорема: Наиб. общим делителем чисел a и b, будет последний отличный от нуля остаток в алгоритме Евклида. Два способа нахождения НОД: Как в школе: метод перебора, делением, вычитанием Описание алгоритма нахождения НОД делением: Большее число делим на меньшее. Если делится без остатка, то меньшее число и есть НОД (следует выйти из цикла). Если есть остаток, то большее число заменяем на остаток от деления. Переходим к пункту 1. Пример: Найти НОД для 30 и 18. 30/18 = 1 (остаток 12) 18/12 = 1 (остаток 6) 12/6 = 2 (остаток 0). Конец: НОД – это делитель. НОД (30, 18) = 6 Описание алгоритма нахождения НОД вычитанием: Из большего числа вычитаем меньшее. Если получается 0, то значит, что числа равны друг другу и являются НОД (следует выйти из цикла). Если результат вычитания не равен 0, то большее число заменяем на результат вычитания. Переходим к пункту 1. Пример: Найти НОД для 30 и 18. 30 - 18 = 12 18 - 12 = 6 12 - 6 = 6 6 – 6 = 0 Конец: НОД – это уменьшаемое или вычитаемое. НОД (30, 18) = 6 2) Алгоритм Евклида Пример: 628 и 284 (628, 284)=4 НОК Опр m-общее кратное а и b, если m a,mb Опр НОК чисел а и b наз-ют такое положительное целое число, которое делится на а и b и делит любое общее кратное Обознач:m=[a,b] если m- НОК, го: 1) m>0 2) ma, mb 3)Ma, Mb, => Mm

2.Поле комплексных чисел. Числовое поле. Геометрическое представление комплексных чисел и операций над ними. N € Z € Q € R € C из истор. Возник-я м-в. Рассотрим мн-во всевозможных пар действительных чисел: С={(а,в),а,в € R } изображается виде точек на плоскости. Определим отношение равенства и операций «+» и «*» 1. (а,в)=(с,д) ↔а=с,в=д. 2. (а,в)+(с,д)=(а+с,в+д) 3. (а,в)*(с,д)=(ас-вд,ад+вс) Опр: Мн-вом компл чисел наз мн-во всевозм пар действ чисел на к-ом опред опер-ции сложения и ум-ия по правилам 2,3.Элементы этого мн-ва называются комп чмслами. Обозначается: С=<{(а,в),а,в € R },+,*> Роль нулевого Эл – пара (0,0): -(а,в)=(-а,-в). Теорема: Мн-во ком чисел С=<{(а,в),а,в € R },+,*> образуют поле. Д-во (Тимофеенко): Д-во сводиться к проверке выполнимости св-в, определяющих поле 1) <C,+>- абелева (коммутат) гр→ из того что сложение пар сводиться к сложению их компонент, т.е. к слож дейст чисел, а дейст числа отн сложения обр-ют абелеву гр. 2) С*= <C\{0,0},*>- комм. гр. Для д-ва этого покажем : 2.1) что С* отн «*» замкнуто, т.е.: для (а,в) ≠0, (с,д)≠0 из С*→(а,в)(с,д) ≠0. (а,в) ≠0↔а≠0,в≠0 (с,д) ≠0↔ с≠0,д≠0. (а,в)(с,д)=(ас-вд, ад+вс) Могут ли однов-но ас-вд=0 и ад+вс=0? Проверим: ас-вд=0│*д - ад+вс=0│*с -вд ^2– вс^2 =0│*(-1) в(д ^2 + с^2 )=о -уже в R, значит в поле, тогда имеем: в=0 или (д ^2 + с^2 )=0 1) если в=0, то ас=0, с ≠0, а=0. 2) если (д ^2 + с^2 )=0, то д=о и с=0 – противоречие с усл, зн-т <C*,*> замкнуто. 2.2) что вып-ся условие может быть коммут. группой. Пусть q=(а,в), s=(c,д),k=(m,n). 1.qs=sq коммут 2. q(sk)=(qs)k ассоц 3. сущ е=(1,0) из С* для люб. q из С*: еq=q 4. люб. q из С* сущ s из С*: qs=е Теор.д-на. Теорема: В <С,+,*> разрешимо ур-ие (х,у)^2 +(1,0)=(0,0). (х,у) ^2+(1,0)=(х,у)(х,у)+(1,0)= =(х ^2- у^2+1, 2ху)=(0,0). Сис-ма: х ^2- у^2+1, 2ху=0, 2ху=0, Реш этой с-мы (0,1)=i- мнимая ед. Теорема: Мн-во дейст чисел изоморфно вкладывается в поле компл чисел, т.е. в поле С сущ подполе Д, к-е изоморфно полю <R,+,*>. Представление комплексных чисел Алгебраическая форма Опр. Запись комплексного числа  в виде , , называется алгебраич.формой комплексного числа. Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что ): Сопряж.комп.числа: - сопряж.число для . Свойства: 1.Если а из R, то . 2. . #,, # 3. Умнож-е аналогично сумме. 4. ,n-натурал. 5. 6. то #, b не 0. # 7. f(x)-мн-н с действ.коэф-тами и мнимое число -корень урав-я, то - корень f(x). Тригонометрическая и показательная формы Если вещественную  и мнимую  части комплексного числа выразить через модуль и аргумент  (, , угол наклона вектора,соот-щего этому комп.числу к полож.направлению оси абсц.), то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера: где  — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени. Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства: Пример: φ = П/4 Формула Муавра . Для вычисления степени комп.числа задан.тригоном.формой применяется формула Муавра: