- •2 Преобразования кинематических характеристик частицы при
- •3 Динамические характеристики частицы. Законы Ньютона
- •4 Принцип относительности Галилея. Механическая концепция
- •5 Уравнение движения частицы относительно исо. Принцип
- •6 Уравнение движения частицы относительно нисо. Силы
- •7 Принципы д¢Аламбера, виртуальных перемещений и
- •8 Обобщенные координаты и обобщенные силы
- •9 Уравнения Лагранжа (второго рода)
- •10 Принцип экстремального действия. Преимущество
- •11 Обобщенная энергия, обобщенный импульс и законы их
- •12 Центр инерции и законы сохранения импульса и момента
- •13 Связь законов сохранения со свойствами симметрии
- •14 Задача двух тел. Движение в центральном поле
- •15 . Задача Кеплера
- •16 Рассеяние частиц. Формула Резерфорда
- •17 Свободные и вынужденные одномерные колебания
- •18 Затухающие колебания
- •19 Вынужденные колебания при наличии трения
- •20 Кинематическое описание твердого тела. Углы Эйлера
- •21 Кинетическая энергия и момент импульса твердого тела
- •22 Уравнения движения твердого тела. Динамические уравнения Эйлера
- •23 Функция Гамильтона и канонические уравнения Гамильтона
- •24 Уравнение Гамильтона-Якоби. Теорема Якоби
- •25 Тензоры деформации и скоростей деформации
- •26 Закон сохранения массы и уравнение непрерывности
- •27 Поле скоростей и его характеристики
- •28 Силы, действующие в сплошных средах. Тензор напряжения
- •29 Необходимые уравнения движения сплошных сред
- •30 Уравнения движения идеальной жидкости
- •31 Интегралы уравнений движения идеальной жидкости
- •32 Звуковые волны
Кинематические характеристики частицы
Движение материальной точки (частицы) – изменение ее положения в пространстве относительно других тел с течением времени (перемещение в некоторой системе отсчета).
Система отсчета – совокупность тела (тел) отсчета, системы координат и инструментов для определения расстояний, углов, моментов и промежутков времени.
В теоретических рассуждениях часто используют не реальную систему отсчета, а лишь систему координат, которая в этом случае служит математической моделью системы отсчета.
В любой ортогональной системе координат (декартовой, сферической, цилиндрической и т. п.) определение всех возможных положений точек в пространстве приводит к множеству троек вещественных чисел, обозначающих множество геометрических точек. Это множество составляет геометрическое пространство, которое трехмерно, непрерывно и односвязно. В так называемых инерциальных системах отсчета пространство однородно, изотропно и евклидово. Перечисленные свойства геометрического пространства в классической механике постулируются.
Элементарное механическое событие – попадание частицы в точку с данными координатами в данный момент времени. Оно наблюдается во всех системах отсчета (в этом смысле инвариантно по отношению к системам отсчета), но его координаты в разных системах отсчета могут быть различными.
Механическое движение – непрерывная совокупность последовательных механических событий. Эта совокупность имеет смысл при синхронизации часов в данной системе отсчета. Синхронизация сводится к установке всех часов системы на нуль по сигналу, испускаемому из начала отсчета в нулевой момент времени (по часам, находящимся в начале отсчета). В классической механике полагается, что скорость распространения синхронизирующего сигнала бесконечно велика (много больше скорости движения любых тел).
С помощью синхронизации устанавливается единое время в системе отсчета. Множество моментов времени считается одномерным, непрерывным и однородным. Опыт показывает, что время однонаправлено, т. е. при любом выборе начала отсчета часы дают монотонно увеличивающиеся показания. Перечисленные свойство времени и возможность синхронизации часов мгновенно распространяющимися сигналами в классической механике постулируются.
Если положение частицы в данной системе отсчета определено в каждый момент времени, то ее движение задано (описано). Это задание имеет вид кинематических уравнений движения:
; (1.2.1)
, ,; (1.2.2)
. (1.2.3)
Эти уравнения соответствуют векторному, координатному и естественному способам кинематического описания движения частицы. Здесь –радиус-вектор частицы; x, y, z – ее декартовы координаты; s – путь (своего рода «естественная координата», отсчет которой производится вдоль траектории – годографа радиус-вектора).
Известно, что;(1.2.4)
; ;; (1.2.5)
, ,– углы, образованные радиус-вектором с координатными осями.
Для произвольных (криволинейных) координат q1, q2, q3, связанных с декартовыми координатами преобразованиями
, ,, (1.2.6)
кинематические уравнения движения частицы имеют вид:
, ,. (1.2.7)
Естественный способ задания движения частицы физически (в смысле фиксации ее положения в пространстве) эквивалентен координатному. Уравнение траектории в параметрической форме (параметр – время t) дается выражениями (1.2.2) или (1.2.7). Закон движения частицы по траектории может быть задан аналитически (1.2.3), графически или в виде таблицы.
Скорость – физическая величина, характеризующая быстроту изменения радиус-вектора частицы с течением времени:
. (1.2.8)
Из определения следует, что скорость направлена по касательной к траектории в сторону движения частицы.
; ; (1.2.9)
; ;. (1.2.10)
Физически разложение вектора скорости по трем некомпланарным ортам означает замену одного элементарного перемещения совокупностью трех элементарных перемещений,,, совершаемых независимо друг от друга в любой последовательности (проявлениепринципа независимости движений).
При естественном способе описания движения алгебраическая величина скорости
. (1.2.11)
В произвольной системе координат с ортами ,,скорость выражается следующим образом (см. подробнее [4, с. 37–38]):
, (1.2.12)
, (1.2.13)
где координаты q1, q2, q3 связаны с декартовыми координатами соотношениями (1.2.6), а ,,–коэффициенты Ламэ:
, ,
. (1.2.14)
В частности, в полярной системе координат .
Ускорение – физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости частицы с течением времени:
, (1.2.15)
. (1.2.16)
В полярной системе координат (см. подробнее [4, с. 40–41])
. (1.2.17)
При естественном способе описания движения ускорение
, (1.2.18)
где – тангенциальное ускорение,– нормальное ускорение;
2 Преобразования кинематических характеристик частицы при
относительном движении систем отсчета
Рассмотрим следующую задачу, имеющую важные приложения в механике: зная кинематические характеристики частицы в некоторой системе отсчета, найти соответствующие характеристики в другой системе отсчета, относительно которой первая система движется известным образом. Решим данную задачу для общего случая движения системы отсчета и частицы в ней.
Назовем условно систему отсчета 01XYZ, относительно которой надо определить характеристики движения т. М (рисунок 1.4.1), неподвижной, а движение т. М относительно нее абсолютным; систему отсчета 0xyz подвижной, а движение т. М относительно нее относительным (характеристики этого движения считаем в данной задаче известными); движение покоящейся в системе 0xyz точки относительно системы 01XYZ назовем переносным. Переносное движение включает перемещение начала 0 относительно начала 01 и поворот осей СК 0xyz в пространстве относительно осей СК 01XYZ; характеристики переносного движения также считаем известными.
Рисунок 1.4.1
Из рисунка 1.4.1 видно, что для радиус-векторов выполняется соотношение:
. (1.4.1)
Физически это равенство далеко не тривиально, т. к. величины измеряются вразных системах отсчета. Равенство основано на допущении о том, что длина и направление отрезка не зависят от скорости и характера его движения в данной системе отсчета. Это вытекает из постулата о бесконечно быстрых сигналах и возможной синхронизации с их помощью часов в движущихся системах. Все дальнейшие рассуждения основаны на допущении, что момент времени, в который происходит какое-либо событие, одинаков во всех системах отсчета, а значит и одинаковы промежутки времени между двумя событиями в разных системах отсчета:
. (1.4.2)
Тогда длина данного отрезка (расстояние между одновременно определенными положениями его концов) во всех системах отсчета одинакова. В рассматриваемой нами задаче – модуль (длина) векторакак в подвижной, так и в неподвижной системах отсчета; равенство (1.4.1) можно рассматривать в проекциях на оси обеих систем координат. В силу этого равенство (1.4.1) служит основанием для всех кинематических соотношений сложного движения частицы в нерелятивистской классической механике.
Разложим в (1.4.1) радиус-вектор по ортам подвижной СК и продифференцируем (1.4.1) по времени:
(1.4.3)
где – угловая скорость вращения СК 0xyz. Здесь учтено, что ,,. Таким образом,
, (1.4.4)
т. е. скорость абсолютного движения складывается из скоростей переносного и относительного движений. Первое слагаемое переносной скорости представляет собой скорость поступательного движения частицы вместе с СК 0xyz относительно СК 01XYZ (скорость начала 0 относительно начала 01), второе слагаемое – скорость частицы, обусловленная вращением СК 0xyz относительно СК 01XYZ.
Для нахождения ускорений продифференцируем (1.4.3) по времени:
. (1.4.5)
Здесь ускорение абсолютного движения частицы (относительно СК 01XYZ). Относительное ускорение получаем, полагая постоянными величинами:
. (1.4.6)
Для выделения переносного ускорения полагаем относительные координаты x, y, z постоянными. Это дает (см. подробнее в [4, с. 59]):
(1.4.7)
Здесь –переносное поступательное ускорение (ускорение начала 0 относительно начала 01); –переносное вращательное (тангенциальное) ускорение (обусловлено неравномерностью вращения СК 0xyz относительно СК 01XYZ); –переносное центростремительное ускорение (см. подробнее в [4, с. 59]). Таким образом,
. (1.4.8)
В правой части (1.4.5) остались слагаемые, не отнесенные к относительному или переносному ускорениям. Это ускорение Кориолиса
. (1.4.9)
Легко видеть, что ускорение Кориолиса имеет место только при движении частицы под углом к оси вращения во вращающейся системе координат.
Теорема Кориолиса: абсолютное ускорение определяется геометрической суммой переносного, относительного и кориолисова ускорений, т. е.
. (1.4.10)
Если подвижная СК движется относительно неподвижной равномерно, прямолинейно и поступательно ср скоростью , то
, . (1.4.11)
В силу изотропности пространства без ограничения общности можно выбрать направления осей 01Х и 0х совпадающими со скоростью движения точки 0 в системе 01XYZ, а за начальный момент времени принять момент совпадения точек 0 и 01. Тогда в координатном представлении имеем:
(1.4.12)
Это формулы преобразований Галилея для координат и скоростей. Ускорение инвариантно относительно преобразований Галилея:
. (1.4.13)