21

Исследование операций- поиск наилучших принимаемых решений в управлении производством и хозяйствовании

ЗАДАЧИ производственного планирования . Методы и модели менеджмента

Материально – производственные системы

Информационно – управляющие системы

Конечное число ингредиентов(элементов) , составных частей, подмножеств

Звено хранения – список технических средств и исполнителей

Список продуктов

Предельные совокупные объёмы

Материальные затраты на хранение

Функционирование производственной системы может быть описано процессами изменения состояния в зависимости от принимаемых решений

Две постановки (двойственность ) задачи:

При заданных ресурсах максимизируется результат работы

При заданном результате минимизируется потребление ресурсов.

Поиск минимума или максимума целевой функции – задача оптимизации.

Исходные данные заданные определёнными величинами называют детерминированными, предполагаемые – вероятностными . Данные могут быть не определёнными условиями для задачи.

Методы решения задач

Экономико – математические методы :

линейного и нелинейного программирования.

Линейное программирование при условии :

Целевая функция линейная функция своих искомых переменных,

Условия и ограничения - линейная функция искомых переменных

Нелинейное программирование :

Задачи выпуклого программирования (минимум выпуклой функции на заданном выпуклом замкнутом множестве)

Задачи квадратичного программирования (минимум квадратичной функции на выпуклом множестве)

Целочисленного ( неизвестные принимают только целочисленные значения)

Параметрического (целевая функция или ограничения зависят от некоторых параметров)

Дробно – линейное программирование (целевая функция - отношение двух линейных функций)

Список задач управления производством

Комбинаторная задача распределения капитала . Динамическое программирование(2)

Проблема запасов(1)

Проблема последовательных решений(3)

Распределение оборудования. Теория очередей(4)

Транспортные сети(5)

Задача о назначениях бригад (6)

Транспортная задача с опорными элементами(7)

Замена оборудования при амортизации(8)

Теория пополнения запасов(9)

Теория стратегических игр(10)

Задача о управлении персоналом(12)

Линейное программирование(13)

Условия неопределённости, Выбор критерия (14)

Методы решения задач

Линейное программирование. Графический метод решения задач ЛП.

Симплекс метод

Допустимые, базисные , оптимальные решения

Двойственные задачи и решения

Графический метод решения задач ЛП

Основные теоремы двойственности

Параметрическая оптимизация

Специальные задачи линейного программирования

Значительная часть задач принятия решений – это задачи распределения ресурсов между объектами (продуктами)

1.Управление запасами Когда заказать? Сколько заказать? Сколько иметь в резерве?

Системы снабжения: Децентрализованные: однокаскадные, централизованные

Многокаскадные,

Спрос: стационарный, случайный, детерминированный

Затраты: на хранение (от среднего уровня , от времени аренды склада, от остатка в конце периода) , на поставки ( от объёма, числа номенклатур, скорости поставок), на заказ каждой новой партии), на штрафы

Спрос с постоянной интенсивностью СПИ ( μ )

Поставки cпостоянной интенсивностью ППИ (λ)

Предельный запас на складе Пр ЗС : ( Yпз )

Максимальный дефицит Yд

Расходы на хранение

Затраты за цикл Т ЗТ

Полный цикл - Т

│Y- - - - - - - - -

│ Yпз

λ–μ

0--------------------------*--------------*--------------------------------* --t

Y

Yпз

*

λ–μ

t1t2t3t4

----------------------------*--------------------------------------- -----------------------

TT

Функция затрат за цикл ( L(T) ) = фиксированные расходы на запуск партии (g) +

• удельные расходы на хранение единицы продукта в единицу времени ( s) *

t 1+ t 2 T

L(T) = ( g) + ( s ) * ∫ y( t) dt – p * ∫ y (t) dt

0 t1+t2

p- удельный штраф (затраты ) за дефицит единицы запаса в течение единицы времени

t + t Т

L(T) = g + s * ∫ y( t) dt – p* ∫ y (t) dt (1)

0 t+t

y ( t ) = ( λ – μ ) * t , 0 ≤ t ≤ t 1,

= Yпз – μ ( t – t 1 ) , t1 ≤ t ≤ t 1+ t 2+ t 3 (2)

= ( – Yд ) + ( λ – μ) * ( t – t1 – t2 – t3 ) , при t1 + t2 + t3 ≤ t ≤ T .

Максимальный дефицит выражается Yд выражается черезYпз как

T– (t1 +t2)

Yд = ---------------- *Yпз (3)

t1 +t2

YпзYпз

Подставив t1= ---------, иt2 = -------, получим

λ–μμ

μ

Yд = ----- * [ (λ–μ) *T–Yпз ] (4)

λ

Выполнив интегрирование функция затрат (1) с учётом линейности изменения уровня запаса :

s*λ*Yпз ²p*λμ

LT=g+ ------------------ + ------------------ * [ -----(λ–μ) *T–Yпз ] ² (5)

2* μ*(λ–μ) 2*μ*(λ–μ)λ

Откуда затраты в единицу времени Lср

L ср = L T / Т =

1 ( p + s ) * λ *Yпз ² p * μ

= ----- [ g + ----------------------- ] + -------- (λ – μ ) T – p Yпз (6)

Т 2* μ* (λ – μ ) 2* λ

∂ L ср ( p + s ) * λ * Yпз

--------- = [ ------------------------ – p ] = 0 (7)

∂ YпзT*μ*(λ–μ)

μ- интенсивность спроса

λ–интенсивность поставок

p– удельный штраф за дефицит

g– расходы на запуск заказа

s– удельные расходы на хранение единицы продукта в единицу времени

∂ L ср p * μ 1 ( p + s ) * λ *Yпз ²

--------- = ---------- (λ–μ) – ------[g+ -------------------------] = 0 (8)

∂ T2*λT² 2*μ* (λ–μ)

Решение системы (7) и (8) даёт оптимальные Yпз (опт) и Т (опт)

μ

2 μg(1 – ---- )

λ

Yпз (опт) = √ --------------------- (9)

s

s ( 1 + ----)

p

s

2 * g (1 + -- )

λ

Т (опт) = √ --------------------- (10)

μ

μ*s* ( 1 – --- )

λ

При этом достигается минимум затрат в единицу времени

μ

2 μ* g* s (1 – ---- )

λ

L(опт ) = √ ------------------------------ (11)

s

1 + -----

p

Следующие основные формулы теории запасов:

А) Дефицит – исключается, тогда положив p→∞ и подставивs/p= 0 в (9) – (11) , получаем

μ1

Yпз (опт) = = √ 2μg(1 – ---- ) ------ (12)

λs

-----------------------

2 * g

Т (опт) = √ ---------------------

μ

μ*s* ( 1 – --- )

λ

μ

L(опт ) = √ 2μ*g*s(1 – ---- )

λ

Б)Если интенсивность восполнения запаса высокая, поставка мгновенная , то положив

λ→∞ ,μ/λ= 0 в (9) – (11) получим:

------------------

2 μ g

Yпз (опт) = √ ----------------

s

s ( 1 + ----)

p

s

2 * g (1 + -- )

λ

Т (опт) = √ ---------------------

μ * s*

-----------------------

2 μ*g*s

L(опт ) = √ -----------------------

s

1 + -----

p

В) Если дефицит не допускается , заказы выполняются мгновенно, то подставив

λ→∞,p→∞получим формулы Уилсона

2 μg2g

Yпз (опт) = √ ----------- ; Т (опт) = √ ------ ;L(опт ) = √ 2μ*g*s

sμ*s

Yпз (опт) = экономический размер партии

Спрос с постоянной интенсивностью СПИ ( μ )

Поставки с постоянной интенсивностью ППИ (λ)

Предельный запас на складе Пр ЗС : ( Yпз )

Максимальный дефицит Yд

Расходы на хранение

Затраты за цикл Т ЗТ

Полный цикл - Т

удельные расходы на хранение единицы продукта в единицу времени ( s)

фиксированные расходы на запуск партии ( g)

Оптимальный размер закупочной партии - Q*

Функция затрат за цикл ( L(T)) = фиксированные расходы на запуск партии (g) +

• удельные расходы на хранение единицы продукта в единицу времени ( s)

t1 + t 2 T

L(T) = ( g) + ( s ) * ∫ y( t) dt – p * ∫ y (t) dt

0 t1+t2

p- удельный штраф (затраты ) за дефицит единицы запаса в течение единицы времени

Варианты задач управления запасами:

Детерминированный стационарный спрос

Переменная цена товара

Многономенклатурные запасы

Вероятностный спрос и мгновенные поставки

Методы начальных приближений