инд.задание 7

Права частина є функція вигляду , де , тому , бо . Невідомі і знайдемо за методом невизначених коефіцієнтів. Для цього диференціюючи знайдемо та .

2
-3
1

Підставимо , , у вихідне диференціальне рівняння:

+

У лівій частині отриманої тотожності зведемо подібні:

.

Прирівнюючи коефіцієнти при та враховуючи теорему при рівність двох багаточленів, отримаємо систему для визначення невідомих коефіцієнтів:

.

Звідки .

Таким чином, – деякий частинний розв’язок неоднорідного рівняння. І остаточно маємо загальний розв’язок:

.

Індивідуальні завдання з теми “Ряди”

1. Дослідити збіжність числових рядів.

2. Знайти область збіжності степеневого ряду.

3. Розкласти функцію в ряд Тейлора в околі заданої точки.

Варіант 1

1. ; .

2. ; .

3.

Варіант 2

1. ; .

2. ; .

3.

Варіант 3

1. ; .

2. ; .

3.

Варіант 4

1. ; .

2. ; .

3.

Варіант 5

1. ; .

2. ; .

3.

Варіант 6

1. ; .

2. ; .

3.

Варіант 7

1. ; .

2. ; .

3.

Варіант 8

1. ; .

2. ; .

3.

Варіант 9

1. ; .

2. ; .

3.

Варіант 10

1. ; .

2. ; .

3.

Варіант 11

1. ; .

2. ; .

3.

Варіант 12

1. ; .

2. ; .

3.

Варіант 13

1. ; .

2. ; .

3.

Варіант 14

1. ; .

2. ; .

3.

Варіант 15

1. ; .

2. ; .

3.

Варіант 16

1. ; .

2. ; .

3.

Варіант 17

1. ; .

2. ; .

3.

Варіант 18

1. ; .

2. ; .

3.

Варіант 19

1. ; .

2. ; .

3.

Варіант 20

1. ; .

2. ; .

3.

Варіант 21

1. ; .

2. ; .

3.

Варіант 22

1. ; .

2. ; .

3.

Варіант 23

1. ; .

2. ; .

3.

Варіант 24

1. ; .

2. ; .

3.

Варіант 25

1. ; .

2. ; .

3.

Варіант 26

1. ; .

2. ; .

3.

Варіант 27

1. ; .

2. ; .

3.

Варіант 28

1. ; .

2. ; .

3.

Варіант 29

1. ; .

2. ; .

3.

Варіант 30

1. ; .

2. ; .

3.

Зразок виконання індивідуального завдання з теми

“Ряди”

Дослідження ряду з додатними членами на збіжність проводиться за однією схемою. По-перше, перевіряється виконання необхідної умови збіжності ряду. Якщо необхідна умова збіжності ряду виконана, тобто ряд може бути збіжним, перевіряється виконання однієї із достатніх умов збіжності ряду. Вибір достатньої умови залежить від виду конкретного ряду.

Для знакопереміжних рядів питання дослідження збіжності ряду декілька поширюється. Тобто крім збіжності ряду необхідно вказати тип збіжності (абсолютна чи умовна).

Наведемо декілька прикладів дослідження збіжності ряду.

Завдання 1. Дослідити збіжність числових рядів:

, , , .

а) .

Перевіримо виконання необхідної умови збіжності ряду: .

.

Для перевірки достатньої умови збіжності ряду використаємо ознаку порівняння. Як еталонний оберемо узагальнений гармонійний ряд, загальний член якого , цей ряд є збіжним. Згідно з формулюванням ознаки порівняння, якщо , обидва ряди одночасно збігаються або розбігаються.

.

Відповідь: Ряд є збіжним.

б) .

Використаємо достатню ознаку збіжності Даламбера: , якщо – ряд є збіжним, – ряд є розбіжним.

; .

Відповідь: ряд є збіжним.

в) .

Згідно з необхідною умовою збіжності ряду маємо:

.

Ряд може бути збіжним.

Використаємо радикальну ознаку Коші як достатню умову збіжності ряду: , якщо – ряд є збіжним, – ряд є розбіжним.

Відповідь: ряд є збіжним.

г) .

Даний ряд є знакопереміжним, загальний вигляд якого .

Складемо ряд з модулів членів вихідного ряду: .

Якщо ряд, складений з модулів є збіжним, то знакопереміжний ряд є абсолютно збіжним. Дослідимо останній ряд на збіжність за достатньою умовою порівняння, як еталонний оберемо гармонійний ряд (). Який є розбіжним.

.

Тобто ряд, складений з модулів є розбіжним, тому для подальшого дослідження на умовну збіжність застосуємо ознаку Лейбніца. Перевіримо виконання двох умов:

1) ;

2) починаючи з деякого номера , члени ряду утворюють монотонно спадаючу послідовність:

Перша умова ознаки Лейбніца вже перевірена (необхідна ознака збіжності ряду). Другу умову можна перевірити декількома способами.

Найбільш наглядною ілюстрацією монотонного спадання числової послідовності є диференціювання функції у припущенні, що члени послідовності є значеннями функції при натуральних значеннях незалежної змінної Якщо функція монотонно спадає, то її похідна від’ємна на інтервалі монотонності функції. Обчислимо похідну.

.

Як бачимо з останньої формули, при .

Тобто при члени ряду утворюють монотонно спадаючу послідовність.

Друга умова ознаки Лейбніца доказана, тому ряд збігається умовно.

Відповідь: ряд є умовно збіжним.

Завдання 2. Визначити області збіжності наступних степеневих рядів:

; ; .

а) .

Дослідження області збіжності степеневого ряду почнемо з визначення радіусу збіжності:

,

де – коефіцієнт членів ряду, .

.

Цей ряд є абсолютно збіжним на всій чисельній осі.

б) .

Визначимо радіус збіжності, .

.

Ряд є абсолютно збіжним на інтервалі .