Лекция 15

Лекция 15. Степенные ряды

15.1. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда

Степенным рядом называется ряд:

, (15.1)

членами которого являются степенные функции с возрастающими целыми показателями, числа коэффициенты данного ряда. Виражение – общий член степенного ряда.

Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида:

(15.2)

Этот ряд легко привести к предыдущему, если считать .

Областью сходимости степенного ряда называется множество значений , при которых степенной ряд сходится.

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится для некоторого значения , не равного нулю, то он сходится абсолютно для всех значений , для которых выполняется условие:

. (15.3)

Если степенной ряд расходится для некоторого значения , то он расходитсяся для всех значений , для которых выполняется условие:

. (15.4)

Из теоремы Абеля вытекает, что для произвольного степенного ряда существует положительное число (конечное или бесконечное), такое, что для всех ряд сходится, причем абсолютно, а при ряд расходится.

Интервал , во всех точках которого степенной ряд сходится, а в точках, которые не принадлежат данному интервалу, степенной ряд расходится называется интервалом сходимости данного ряда.

Половина интервала сходимости называется радиусом сходимости степенного ряда. Если , то интервал сходимости составляет всю числовую ось . Если , то степенной ряд сходится лишь при , то есть интервал сходимости вырождается в точку.

Для решения вопроса о сходимости степенного ряда применяют признак Даламбера к ряду, который составлен из абсолютных величин его членов, то есть вычисляют предел:

и сравниваю ее с единицей.

Множество значений для которых , образует область абсолютной сходимости степенного ряда (15.1). Множество значений , для которых , образует область расходимости.

Следовательно,

, а ,

где – радиус сходимости степенного ряда.

То есть, . (15.5)

Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение.

Обозначим , тогда . Дальше получаем:

.

.

Последнее неравенство выполняется для любого , то есть ряд сходится на всей числовой оси: .

Можно сразу найти , поскольку степенной ряд содержит все степени :

.

Таким образом, ряд сходится на всей числовой оси.

Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда . Решение.

В этом степенном ряду коэффициенты при четных степенях равны нулю, то есть . Непосредственное применение признака Даламбера дает:

,

откуда получаем, что , следовательно .

Исследуем поведение степенного ряда на концах интервала сходимости.

Пусть . Подставим это значение в степенной ряд и получим числовой ряд:

,

поведение которого определяется поведением гармоничного ряда. Следовательно этот ряд расходящийся по признаку сравнения в предельной форме.

Пусть . При этом значении степенной ряд превращается в числовой ряд: . Этот ряд, как уже было показано, является расходящимся.

Таким образом, область сходимости ряда является интервалом .

Пример 3. Найти область сходимости ряда .

Решение.

Обозначим . Следовательно – степенной ряд.

Тогда .

Для нахождения радиуса сходимости теперь можно применить формулу:

.

Исследуем поведение ряда на концах полученного интервала.

При получим числовой ряд: . Этот ряд сходится согласно признаку Лейбница.

При числовой ряд имеет вид: . Он сходится, как ряд Дирихле при .

Следовательно, областью сходимости ряда будет промежуток . Возвращаясь к переменной , получим , или .

Таким образом, областью сходимости данного ряда является промежуток .

Вопросы для самодиагностики

1. Что такое степенной ряд?

2. Сформулировать теорему Абеля.

3. Как найти радиус сходимости степенного ряда?

4. Как использовать признак Даламбера при нахождении радиуса сходимости степенного ряда?

5. Своства степенного ряда.

4