ПЗ №1

Лабораторна робота №1

Тема заняття: Класичне визначення ймовірності. Обчислення ймовірності за допомогою формул комбінаторики. Теореми додавання та множення ймовірностей.

Мета заняття: Вивчити формули комбінаторики. Ознайомитися з основними поняттями середовища Excel (формула, функція, абсолютне та відносне посилання). Навчитися розв’язувати задачі, використовуючи класичне визначення ймовірності, теореми додавання та множення ймовірностей, а також програмувати розв’язання на робочому аркуші Excel.

Теоретичні відомості: електронна таблиця – це програма, яку використовують для виконання будь-яких обчислень (математичних, статистичних, фінансових та ін.), а також для накопичення інформації та її оброблення.

Вікно Excel вміщує багато стандартних елементів Windows’95, такі, як рядок меню, рядок стану та панелі інструментів. Є також елементи, що використовуються тільки у електронних таблицях:

– рядок формул – коли ви вводите інформацію у комірку, вона одночасно з’являється у рядку формул, де висвічуються і координати (адреса) комірки;

– вікно робочої книги – кожен файл Excel являє собою робочу книгу з аркушами. Одночасно можна відкрити кілька книг – кожну в своєму вікні;

– заголовки стовпців – стовпці позначаються літерами тільки латинського алфавіту, розміщеними у верхній їх частині;

– заголовки рядків – рядки відрізняються номерами, розміщеними у їх лівій частині;

– комірка – комірка створюється на перетині стовпця з рядком. Ім’я комірки складається з літери стовпця (обов’язково латинської) та номера рядка.

Існує кілька типів даних для роботи з електронними таблицями: текстові; дати; формули; числові; часу; функції. Текстові дані є послідовністю літер, цифр та пропусків між ними. За замовчуванням текст, що вводиться у комірку, вирівнюється по лівому краю.

Розглянемо основні формати чисел. Серед них слід виділити:

“Общий” (10,6) – значення заноситься до комірки у тому ж вигляді, у якому його вводять;

“Числовой” (240,00) – за замовчування числа у цьому форматі мають два десяткових розряди, від’ємні числа позначаються зі знаком “–” червоного кольору та в круглих дужках;

“Денежный” (3,67.50 грн.) – за замовчуванням мають два десяткових знаки і назву грошової одиниці, від’ємні значення позначаються червоним кольором і дужками;

“Финансовый” (454.4 грн.) – цей формат використовується для вирівнювання чисел за знаком грошової одиниці та десятковою крапкою;

“Дата” (11/2) – за замовчуванням значення в цьому форматі записується у вигляді числа і дня місяця, що розділяються знаком “/”;

“Час” (10:12) – за замовчуванням це кількість годин і хвилин, що розділяються двома крапками.

Для того, щоб встановити потрібний формат, необхідна така послідовність дій:

1 Виділити комірку, формат якої потрібно змінити.

2 Відкрити меню Формат і вибирати у ньому пункт Ячейки.

3 Клацнути по вкладинці Число.

4 У списку Числовые форматы вибирати потрібний. У вікні Образец з’явиться приклад даного числа.

5 При потребі змінити тип формату.

6 Клацнути по ОК чи натиснути Enter.

Для того, щоб виконувати розрахунки за даними, які знаходяться у комірках, використовуються формули. За допомогою формул додають, віднімають, множать та ділять числа. Формула складається із одного чи кількох адрес комірок, чисел і математичних знаків: “+”, “–”, “*”, “/”, “^”. Кожна формула повинна починатися зі знаку “=”.

Полегшити введення функції у комірку можна, користуючись Майстром функцій. Для його застосування необхідно:

1 Виділіть комірку, у яку потрібно помістити результат функції.

2 Введіть знак рівності, а потім клацніть по кнопці Изменить формулу “=”, що розміщена у рядку формул. З’явиться панель формул.

3 Клацніть по кнопці, яка розкриває список функцій. Виберіть потрібну функцію. Якщо її немає, то виберіть пункт Другие функции.

4 Введіть аргумент функції. Якщо потрібно в аргумент ввести адресу комірки, клацніть по кнопці згортання панелі формул.

5 Введіть адреси комірок, а потім клацніть по кнопці згортання панелі формул ОК.

Завдання №1: Запрограмувати формули комбінаторики , та за допомогою функції =ФАКТР(n), яка обчислює факторіал числа. (рекомендація: числа n и m розмістити у різних клітинках)

Завдання №2: За допомогою функцій =ПЕРЕСТ(n,т) та =ЧИСЛКОМБ(n,т), обчислити значення виразу:

Завдання №3: Розв’язати задачу, використовуючи класичне визначення ймовірності: Набираючи номер телефону, абонент забув останні три цифри, і, пам’ятиючи, що ці цифри різні, набрав їх навмання. Знайти ймовірність того, що набрані цифри вірні.

Завдання №4: Розв’язати задачу використовуючи теореми додавання та множення ймовірностей: Три студенти складають іспит. Імовірність того, що перший студент здасть іспит, дорівнює 0,8; другий - 0,9; третій -0,7. Знайти ймовірність того, що іспит складуть: а) всі три студенти; б) тільки один студент; в) тільки перший студент.

Розв’язання завдання №1:

Для початку лабораторної роботи треба запустити редактор електронних таблиць Excel. Для цього з меню кнопки Пуск треба вибрати пункт Программи  MS Office  Microsoft Excel. Після виконання цієї команди на екрані монітора з’явиться нова робоча книга з трьома чистими аркушами (таблицями).

У клітинку А1 робочого аркуша вводимо текст: «Лабораторна робота №1». У клітинку А2 вводимо текст: «Формули комбінаторики».

Далі нам потрібно запрограмувати такі формули:

Перестановки	Сполучення	Розміщення
Pn = n!

Для визначення кількості варіантів перестановок з, наприклад, 4-х елементів у клітинку А4 введемо текст: «Перестановки», а у клітинку А5 текст: «Р4 = 4! =». Далі приступимо до програмування нашої формули. У клитинку, що знаходиться на перетині стовбчика В та рядка 5 (тобто клітинка В5) необхідно ввести формулу, що буде обчислювати факторіал числа 4, тобто 4! = 1234.

У середовіщі Excel є різні типи даних, які можна вводити до клітинок робочого аркушу. Наприклад, коли вводидили до клітинок назви роботи та формул – це текстовий тип данних; якщо у клітинку ввести будь-яке число – говорять про числовий тип даних. Для того, щоб Excel зрозумів, введені у клітинку, дані як формулу, та виконав відповідні розрахунки, перед вводом виразу формули треба ввести знак рівності «=».

Отже, для обчислення 4! у клітинку В5 вводимо таку формулу: =1*2*3*4 та натискаємо клавішу [Enter]. У клітинці В5 повинен з’явитися результат обчислень, тобто число 24. Наші перші результати мають наступний вигляд:

От ми і запрограмували нашу першу формулу! Але вона не дуже зручна для використання. Припустимо, що тепер нам потрібно обчислити кількість перестановок з 10-ти елементів. Що робити? Треба наново вводити в клітинку В5 формулу, але тепер вона буде у 2 рази довше: =1*2*3*4*5*6*7*8*9*10. Це дуже не зручно.

Для того щоб зробити обчислення кількості перестановок з будь-якого числа елементів зручним використаємо вбудовану функцію =ФАКТР(n). Функція =ФАКТР(n) обчислює факториал числа, яке стоїть в аргументі функції.

Для наочності у клітинку А6 введемо текст: «n =»; у клітинку В6 введемо кількість елементів комбінації, наприклад 8; у клітинку С6 введемо текст: «Рn =». Далі поставимо курсор миші у клітинку D6 та виберемо з головного меню Вставка пункт Вставка функции. Після виконання цієї команди на екрані монітора з’явиться діалогове вікно, де потрібно знайти й обрати функцію ФАКТР і натиснути клавішу ОК. Далі, у наступному діалоговому вікні у поле Число потрібно ввести адресу клітинки, де знаходиться кількість елементів комбінації. У нашому випадку – це клітинка В6. Після натисненнія клавіші Enter у клітинці В6 повинен з’явитися результат обчислень, тобто число 40320. Отже тепер, якщо нам буде потрібно обчислити кількість перестановок з 6-ти елементів нам не треба наново переписувати формулу, а треба тільки змінити число у клітину В6. Спробуйте!

Далі нам потрібно запрограмувати формулу для обчислення кількості сполучень з n елементів комбінації по m елементів. У клітинку А8 введемо назву формули: «Сполучення». Передбачимо окреме введення індексів n та m у клітинках В9 та В10 відповідно. Для обчислення кількості сполучень з n елементів по m у клітинку D10 потрібно ввести таку формулу:

=ФАКТР(B10)/(ФАКТР(B9)*ФАКТР(B10-B9))

Аналогічно для формули Сполучень запрограмуємо формулу для обчислення кількості розміщень з n елементів комбінації по m елементів. Після введення назви формули та індексів n і m у клітинку D14 потрібно ввести формулу:

=ФАКТР(B14)/ФАКТР(B14-B13)

Після виконання деякого форматування робочого аркуша наша лабораторна робота має такий вигляд:

Розв’язання завдання №2:

Крім функції ФАКТР(n) у середовищі Excel є функції =ПЕРЕСТ(n,m) і =ЧИСЛКОМБ(n,m), за допомогою яких можна обчислити кількість перестановок, сполучень і розміщень. Для обчислення даного виразу розіб’ємо його на два доданки D1 і D2, які обчислимо в клітинках В17 і В18 відповідно. Отже для обчислення доданка D1 вводимо формулу:

=(ПЕРЕСТ(15,5)+ЧИСЛКОМБ(21,4))/ПЕРЕСТ (6,6).

Для доданка D2 формула має вигляд:

=36.9*ЧИСЛКОМБ(13,4)/(ПЕРЕСТ(20,3)-ПЕРЕСТ(6,6))

Таким чином даний вираз дорівнює =B17- B18.

Результати обчислень на аркуші Excel мають вигляд:

Розв’язання завдання №3:

Для початку опишемо подію, ймовірність якої потрібно знайти. В клітинку А30 вводимо текст: «подія А – набрано три потрібні цифри». Тепер потрібно визначити m – кількість наслідків, що сприяють появі події А та n – загальну кількість всіх наслідків випробування. Визначимо n і m в окремих клітинках В31 і В32. Отже усього можна набрати стільки різних цифр, скільки може бути складено розміщень з десяти цифр по три. Тобто для визначення загальної кількості елементарних подій n = у клітинку В32 вводимо формулу =ПЕРЕСТ(10,3). Сприяє події А тільки один результат – три вірні цифри, отже m = 1. Для визначення ймовірності події А у клітинку А33 вводимо текст «Р(А)=», а в клітинку В33 вводимо формулу: =B31/B32, натискаємо клавішу Enter. У клітинці В33 повинен з’явитися результат обчислень 0,0014.

Оформлення лабораторної роботи повинен мати такий вигляд:

Розв’язання завдання №4:

У діапазоні клітинок А40:А48 описуємо події А, В і С. У діапазоні клітинок А50:D53 записуємо ймовірності подій А, В і С та обчислюємо ймовірності протилежних подій за формулою: Р(А) = 1 –Р().

Використовуючи теореми додавання та множення ймовірностей у діапазоні клітинок А55:D62 визначаємо ймовірності подій D, E і F.

Варіант оформлення звіту про виконання завдання наведено нижче.

Варіанти завдань для самостійной роботи:

Варіант №1. Завдання 1: Завдання 2: Завдання 3: У партії із 15 деталей 7 стандартних. Знайти ймовірність того, що серед 5 деталей, що були узяті навмання, тільки 3 є стандартними. Завдання 4: Проводиться хімічний аналіз проб води із трьох джерел. Імовірність того, що хімічний склад води з першого джерела перебуває в межах норми, дорівнює 0,6; із другого - 0,8; із третього - 0,5. Знайти ймовірність того, що у межах норми склад води буде: а) хоча б з одного джерела; б) із всіх трьох джерел; в) тільки із двох джерел; г) тільки з другого і третього джерел.	Варіант №2. Завдання 1: Завдання 2: Завдання 3: Набираючи номер телефону, абонент забув останні дві цифри і, пам’ятаючи лише, що ці цифри різні, набрав їх навмання. Знайти ймовірність того, що набрано потрібні цифри. Завдання 4: На зупинці очікують три автобуси. Імовірність того, що автобус №17 приїде на зупинку за розкладом, дорівнює 0,8, №443 – 0,6 і № 26 – 0,2. Знайти імовірність того, що: а) за розкладом приїде хоча б один автобус; б) за розкладом приїдуть автобуси №26 і № 17; в) усі автобуси спізняться; г) спізниться один автобус.
Варіант №3. Завдання 1: Завдання 2: Завдання 3: У групі 15 юнаків i 10 дівчат. Для чергування призначають 5 студентів. Яка ймовірність того, що серед них 2 дівчини? Завдання 4: Три менеджери влаштовуються на роботу. Перший з них на 90% відповідає вимогам роботодавця, другий – на 70%, третій – на 80%. Знайти ймовірність того, що: а) на роботу візьмуть хоча б одного менеджера; б) відмовлять першому і третьому менеджерам; в) на роботу візьмуть двох менеджерів; г) відмовлять одному менеджеру.	Варіант №4. Завдання 1: Завдання 2: Завдання 3: У пакунку 6 білих i 4 чорних мотків пряжі. Із пакунка навмання беруть 2 мотки. Яка ймовірність того, що вони одного кольору? Завдання 4: До складу доставили 2 партії товару. У першій партії 76% якісних виробів, у другій – 83%. Навмання вибирають по одному виробу з кожної партії. Яка ймовірність виявити серед них: а) хоча б одне браковане; б) два якісних; в) одне якісне й одне браковане; г) якісне з другої партії.
Варіант №5. Завдання 1: Завдання 2: Завдання 3: У підручнику 207 сторінок. Яка ймовірність того, що порядковий номер навмання відкритої сторінки буде закінчуватися цифрою 3? Завдання 4: Три стрільця роблять по одному пострілу по мішені. Ймовірності влучення в мішень для першого стрільця дорівнює 0,5, для другого – 0,8 і для третього – 0,75, Визначити ймовірність того, що: а) у мішені буде тільки дві пробоїни; б) у мішень влучить хоча б один стрілець; в) у мішень влучить саме другий стрілець, г) у мішені буде одна пробоїна.	Варіант №6. Завдання 1: Завдання 2: Завдання 3: В механізм входять дві однакові деталі. Механізм не буде працювати, якщо обидві деталі зменшеного розміру. У складальника 10 деталей, серед яких 3 зменшеного розміру. Знайти ймовірність того, що механізм буде працювати нормально, якщо складальник бере навмання дві деталі. Завдання 4: Із трьох гармат зробили залп по цілі. Імовірність влучення в ціль при одному пострілі з першої гармати дорівнює 0,9; для другої – 0,8, для третьої – 0,9. Знайти ймовірність того, що: а) тільки один снаряд влучить у ціль; б) другий і третій снаряди не влучать у ціль; в) хоча б один снаряд влучить у ціль; г) усі три снаряди не влучать у ціль
Варіант №7. Завдання 1: Завдання 2: Завдання 3: У партії 40 стандартних i 4 нестандартних деталей. Для контролю узяли навмання 8, які виявилися стандартними. Знайти ймовірність того, що наступна деталь буде також стандартна. Завдання 4: Робітник обслуговує три верстати. Ймовірність того, що протягом години перший верстат не зупиниться, дорівнює 0,81; другий – 0,65; третій – 0,43. Визначити ймовірність того, що протягом години: а) не зупиниться жоден верстат; б) зупиняться будь-які два верстати; в) зупиниться хоча б один верстат; г) не зупиняться перший і третій верстати.	Варіант №8. Завдання 1: Завдання 2: Завдання 3: Студент знає 50 з 60 питань. Знайти ймовірність того, що студент відповість на два питання. Завдання 4: Пристрій складається із трьох незалежно працюючих елементів. Ймовірність безвідмовної роботи першого елемента дорівнює 0,5; другого – 0,4; третього – 0,7. Знайти ймовірність того, що за одну годину будуть працювати безвідмовно: а) всі три елементи; б) тільки два елементи; в) хоча б один елемент; г) тільки другий елемент.
Варіант №9. Завдання 1: Завдання 2: Завдання 3: На столі лежать 30 екзаменаційних білетів. Яка ймовірність того, що номер навмання узятого білета буде кратним 3 або 7? Завдання 4: Для повідомлення про пожежу встановили три незалежно працюючих автомати. Ймовірність того, що при пожежі спрацює перший автомат, дорівнює 0,81; другий – 0,83, третій – 0,85. Знайти ймовірність того, що при аварії надійде сигнал: а) тільки від одного автомата; б) хоча б від одного автомата; в) тільки від третього автомата; г) від будь-яких двох автоматів.	Варіант №10. Завдання 1: Завдання 2: Завдання 3: На 20 однакових жетонах написано 20 двозначних чисел від 11 до 30. Яка ймовірність того, що номер навмання узятого жетона буде кратним 4 або 7? Завдання 4: Від аеровокзалу відправляються три автобуси до трапа лiтакiв. Ймовірність своєчасного прибуття кожного автобуса дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що: а) усі автобуси прибудуть своєчасно; б) два автобуса спізняться; в) тільки один автобус прибуде своєчасно; г) хоча б один автобус прибуде своєчасно

Контрольні запитання до захисту лабораторної роботи №1:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

Задача 1: На совещание явилось 10 человек, и все они обменялись рукопожатиями. Сколько было рукопожатий?

Задача 2: В четырех номинациях кинофестиваля участвуют 7 фильмов. Вычислить число вариантов распределения призов, если по каждой номинации установлены:

а) различные призы (первый лучше второго и т.д.); б) одинаковые призы.

Задача 3: Сколько различных слов можно составить переставляя буквы в слове «школа» (если каждую комбинацию считать словом)?

Задача 4: В Стране Чудес есть три города: А, Б и В. Из города А в город Б ведет 6 дорог, а из города Б в город В - 4 дороги. Сколькими способами можно проехать от А до В?

Задача 5: В бригаде 52 рабочих. Необходимо выбрать бригадира, его заместителя и профорга. Сколько существует способов это сделать?

Задача 6: Двенадцать актеров разбиты на три квартета. Сколько может быть различных квартетов?

Задача 7: У Нины 7 разных шоколадных конфет, у Коли 9 разных карамелек. Сколькими способами они могут обменяться друг с другом пятью конфетами?

Задача 8: У людоеда в подвале томятся 14 пленников. а) Сколькими способами он может выбрать 7-х из них себе для 7-ми приемов пищи? б) А сколько есть способов выбрать пятерых, чтобы отпустить на свободу?

Задача 9: Сколько восьмизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы цифры в числе не повторялись?

14