Алгебра(матрицы)

Если мы уже знаем, как вычислять определитель 2 2, воспользуемся формулой из определения для вычисления определителя 3 3.

Свойства определителя:

1.Определитель с нулевой строкой (столбцом) нулевой.

Доказательство методом математической индукции.

База индукции. Предположим, что наш определитель размера 1 1.

Тогда если в нем есть нулевая строка, то его единственный элемент обязан быть равен нулю, а значит определитель равен нулю.

Индукционное предположение. Предположим теперь, что мы уже доказали нашу теорему для любого определителя размерами k k.

Индукционный переход. А теперь рассмотрим определитель размерами (k + 1) (k + 1), в котором одна строка нулевая. Надо

рассмотреть 2 случая. Первый случай: нулевая строка первая. Тогда при вычислении определителя по формуле из определения все a1j будут равны нулю, а значит и вся сумма будет равна нулю.

Теперь рассмотрим случай, когда нулевая строка не первая. Снова будем вычислять определитель по формуле из определения. jAj =

a11M11 a12M12 + ::: + ( 1)k+2a1(k+1)M1(k+1); здесь M1j получен из

матрицы A вычеркиванием первой строки и j-ого столбца. Значит, мы не вычеркнули из A нулевую строку, таким образом все полученные

M1j содержат нулевую строку. Но определители M1j все размером k k, а мы знаем (из предположения индукции), что если нулевая строка встречается в определителе k k, он нулевой. Таким образом,

в формуле все определители M1j нулевые. А значит вся сумма равна нулю.

Таким образом мы доказали теорему для любого размера определителя.

Теперь докажем про определитель с нулевым столбцом.

База индукции и предположение индукции строятся аналогично.

Индукционный переход. Пусть теперь нам дан определитель размерами (k + 1) на (k + 1), в котором столбец номер t нулевой.

11

По формуле jAj = a11M11 a12M12 + :::( 1)1+ta1tM1t + : : : +

( 1)k+2a1(k+1)M1(k+1).

Заметим, что a1t = 0. Определители M1j где j 6= t получены из A вычеркиванием первой строки и j-ого столбца, т.е. нулевой столбец

мы не вычеркнули, он остался в определителе M1j. Но определитель M1j размером k k, поэтому он равен нулю (по индукционному предположению).

Таким образом, мы доказали эту теорему для определителя любого размера.

2.Если строку (столбец) определителя умножить на число, то весь определитель умножится на это число.

Доказательство аналогично.

3.Теорема о сложении определителей.

Теорема 2. Если i-ая строка определителя представлена в виде суммы двух строк, то этот определитель равен сумме двух, в которых все элементы как в исходном, а на месте i-ой строки в первом определителе стоит первое слагаемое, а во втором второе.

Верна аналогичная теорема для столбцов. Доказательство аналогично.

4.Теорема о разложении по 1,2 строке.

Теорема 3.

jAj =

1 i<j n( 1)1+2+i+j

a2i

a2j

M12;ij

X

a1i

a1j

Здесь M12;ij

определитель, полученный из исходной матрицы A

вычеркиванием 1 и 2 строк; i-ого и j-ого столбцов.

Доказательство. jAj =

n

=1( 1)j+1a1jM1j

Выпишем подробнее

jP

M1j

=

a:

21: :

a:

22: :

:: :: ::

a2(:j: :

1)

a2(:j:+1):

:: :: ::

a:1:m:

a

a

n2

: : : a

a

: : : a

n1

n(j 1)

n(j+1)

nm

Разложим по первой

строке.

2(j

2n

12;jn

j 1

t+1

n

M1j

=

a21M12;1j a22M12;2j + ::: +

t

( 1)ja

2(j 1)

M

12;(j

1)j

+ ( 1)j+1a

+1)j(j+1)+:::+( 1)

n

a M

==

tP

t=Pj+1

=1( 1)

a2tM12;tj +

( 1) a2tM12;jt

12

Подставим.	jAj	=	n	=
			=1( 1)1+ja1jM1j
			jP

P( 1)1+ja1j( 1)t+1a2tM12;tj + P ( 1)1+ja1j( 1)ta2t12;jt

1 t<j n		1 j<t n
Теперь рассмотрим,	какой коэффициент				перед M12;xy.		12;xy
встречается в первой сумме и		âî	второй		сумме.	Вычисляем
коэффициент a1xa2y a1ya2x =		a2x	a2y	.
		a1x	a1y
Что и требовалось.

5.Если 2 строки (столбца) поменять местами, определитель изменит знак.

Доказательство для строк.

База индукции. Если у матрицы 2 на 2 поменять местами 2 строки, то все очевидно, ее определитель сменит знак.

Предположение индукии. Предположим, уже доказано, что если в определителе k на k поменять местами 2 строки, он поменяет знак.

Индукционный переход. Теперь пусть у нас матрица размером k+1 на k + 1. Надо рассмотреть 3 случая. Случай первый: меняем местами

не первые строки (т.е. первую строку не трогаем). jAj = a11M11

a12M12 + ::: + ( 1)k+1a1nM1n

Расписываем определитель по определению. Первая строка не изменилась; а в минорах поменялись местами 2 строки. По индукционному предположению все миноры поменяли знак, а значит и вся сумма поменяла знак.

Второй случай. Когда меняем местами 1 и 2 строки. Воспользуемся теоремой о разложении по 1 и 2 строкам. Миноры не изменили знак,

поменяла знак.			a1i		a1j		поменяли знаки. Значит, и вся сумма
			a2i		a2j
а вот определители
Третий случай.	Когда			меняем			местами первую и	-ую строки (	i	6=
							i

2). Сделаем 3 действия: поменяем местами 1 и 2. Потом поменяем местами 2 и i-ую строки. Ну, и в конце поменяем местами снова 1 и 2 строки. В итоге получится, что мы просто поменяли местами 1 и i-ую строки. Знак сменился 3 раза, т.е. стал противоположным.

Доказательство для столбцов.

Лемма: если поменять местами 2 соседних столбца, определитель изменит знак.

Доказательство леммы: База индукции и индукционное предположение строятся как для строк.

Пусть матрица B такая же, как матрица A, но столбцы номер i и i + 1 поменялись местами. Вычислим определитель матрицы B.

13

B = b11N11 a12N12 + : : : + ( 1)i+1b1iN1i + ( 1)i+2b1(i+1)N1(i+1) + : : : +

( 1)n+1b1nN1n Здесь N1j миноры матрицы B (чтобы отличать их от миноров матрицы A).

Заметим, что N1j = M1j, при j 6= i; (i + 1) по предположению индукции, а b1i = a1i. Кроме того, N1i = M1(i+1; N1(i+1) = M1i; b1i = a1(i+1); b1(i+1) = a1i. Подставим все в формулу.

Получим, что jBj = jAj. Лемма доказана.

Возвращаемся к доказательству теоремы. Предположим, что нам надо поменять местами i-ый и j-ый столбики (j > i). Итак, матрица

состоит из столбиков A = (1) : : : (i)(i + 1) : : : (j) : : : (n) . Меняем местами столбики i-ый столбик с соседними, продвигая его к j-ому. В

поменялся			(i+1)		(j 1)
конце получим (1) : : : (i 1)(i+1) : : : (j				1)(i)(j) : : : (n) . i-ый столбик
	местами со столбиками с			-îãî ïî		Таким образом,
знак у определителя поменялся j i + 1 раз.
Теперь j-ый		столбик аналогично	бежит вперед.			Он поменяется

местами j i раз, так как он поменяется местами со всеми столбиками с i-ого по j 1-ый.

Итого, на обратном пути знак сменится на один раз больше. Поэтому в итоге знак сменится на противоположный. Все столбики, кроме (i)

и (j) окажутся на своих местах. А столбики (i) и (j) поменяются местами. Что и требовалось доказать.

6.Определитель с равными (или пропорциональными) строками (столбцами) нулевой.

Доказательство. Пусть si i-ая строка матрицы. Строки si è sj пропорциональны, это означает, что si = sj. Если = 0, то все очевидно. Поделим i-ую строку на , от этого весь определитель поделится на . Но теперь в определителе две одинаковые строки.

Поменяем местами эти две одинаковые строки. С одной стороны, определитель не изменился. С другой стороны, определитель должен поменять знак. Поэтому jAj = jAj, а следовательно jAj = 0.

7.Если к одной строке определителя прибавить другую, умноженную на любое число, то определитель не изменится.

Доказательство. Пусть мы хотим прибавить к si строку sj. Полученную при таком действии матрицу обозначим A0.

Составим новую матрицу B. В ней все элементы как в матрице А,

но на месте i-ой строки запишем sj. Заметим, что jBj = 0. С другой стороны, определитель матрицы A0 по теореме о сложении определителей равен jAj + jBj = jAj. Что и требовалось доказать.

3.2.1Треугольные матрицы

Определение 11. Квадратная матрица называется верхнетреугольной, если ниже главной диагонали только нули. Квадратная матрица

14

называется нижнетреугольной, если выше главной диагонали только нули.

Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы называются треугольными.

Теорема 4. При умножении двух верхнетреугольных (нижнетреугольных) матриц получается снова верхнетреугольная (нижнетреугольная матрица. Причем, элементы диагонали произведения соответствующих элементов диагоналей сомножителей.

Доказательство очевидно. Нарисовать 2 верхнетреугольные матрицы, и внимательно посмотреть, куда при произведении матриц умножаются нули.

Теорема 5. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов на главной диагонали матрицы.

Доказательство. База индукции. Если матрица размером 1 на 1, то утверждение очевидно.

Предположение индукции. Пусть мы уже знаем, что определитель треугольной матрицы размера k на k равен произведению элементов на

ее главной диагонали.

Индукционный переход. Пусть дана треугольная матрица размера (k + 1) (k + 1).

jAj = a11M11 a12M12 + ::: + ( 1)k+2a1(k+1)M1(k+1)

Если матрица A верхнетреугольная, кроме первого, все миноры содержат нулевой столбец, а следовательно нулевые. Поэтому jAj = a11M11.

Если же матрица A нижнетреугольная, то все элементы первой строки, кроме a11 нулевые, а поэтому снова jAj = a11M11.

Если матрица A треугольная, то и M11 тоже треугольная, по главной диагонали у нее идут элементы a22; : : : ; ann. Поэтому по предположению индукции ее определитель равен произведению диагональных элементов. Получаем именно то, что хотели.

3.3Метод Гаусса для вычисления определителей.

1.Если первый столбец матрицы нулевой, определитель равен нулю.

2.Если ненулевой, можно к первой строке прибавить другую так, чтобы первый элемент стал ненулевым.

3.Умножая первую строку на подходящие коэффициенты, прибавляем ее к остальным так, чтобы все элементы первого столбца под первым занулились.

4.Мысленно вычеркиваем первую строку и первый столбец матрицы. Повторяем шаги (a)-(c) для полученного определителя меньшего размера.

15

5.В итоге получаем верхнетреугольную матрицу, определитель которой равен произведению элементов на диагонали.

Заметим, что в методе Гаусса мы использовали только преобразования строк.

В теоретических целях модифицируем алгоритм Гаусса. Если первый столбец нулевой, будем считать, что мы уже занулили элементы под диагональю и не будем останавливаться, а будем переходить на следующий шаг. Да, в таком случае на диагонали возникнет 0, который в конце при перемножении диагональных элементов и покажет, что определитель равен нулю. Тогда метод Гаусса всегда будет заканчиваться верхнетреугольной матрицей.

Теорема 6. Определители транспонированных матриц равны.

Доказательство. К матрице применяем метод Гаусса для строк; к транспонированной для столбцов (те же самые преобразования). На каждом шагу матрицы остаются транспонированными. В итоге когда первая становится верхнетреугольной, вторая становится нижнетреугольной. Причем, на диагонали у них одинаковые элементы, поэтому и определители равны.

Теорема 7 (Теорема о разложении по любой строке) .

n

X

= ( 1)i+jaijMij

j=1

n

X

0 = ( 1)i+jakjMij; i 6= j

j=1

Доказательство. Пункт первый.

Если i = 1, теорема верна. Меняем строки 1-ую и i-ую местами. От этого

n

определитель меняет знак. Получаем jAj = P( 1)1+jaijM10j. Здесь в

j=1

минорах M10j на месте i-ой строки стоит первая. Меняем местами эту строку

со всеми предыдущими, чтобы она поднялась на верх. Мы поменяем строки местами i 2 раза. И получим из M10j минор исходной матрицы Mij. Таким

образом, M10j = ( 1)i 2Mij. Подставляем.

n

jAj = P( 1)1+jaijM10j = ( 1)i+j 1aijMij. Умножаем на 1 с обеих

j=1

сторон и получаем требуемое.

Пункт второй. Вместо матрицы A рассмотрим почти такую же матрицу, но вместо i-ой строки в нее напишем k-ую строку матрицы А. Определитель у нее равен нулю. Разложим этот определитель по i-ой строке и получим требуемую формулу.

16

. Эта матрица

Теорема 8 (Теорема о разложении по любому столбцу) .

n

X

= ( 1)i+jaijMij

i=1

n

X

0 = ( 1)i+jaikMij; i 6= j

i=1

Доказательство. Транспонируем матрицу, от этого определитель не изменится, применим теорему о разложении по любой строке.

	Определение 12. Матрица вида	A	C	, где A; B; C произвольные
		0	B

матрицы, а 0 нулевая матрица, называется полураспавшейся матрицей. Если C тоже нулевая матрица, то такая матрица называется распавшейся.

Теорема 9 (Определитель полураспавшейся матрицы) . Определитель

	полураспавшейся матрицы	A	C	, где A; B квадратные матрицы,
		0	B

равен произведению определителей матриц A и B.

Проведем метод Гаусса для нашей большой матрицы, но будем обращать внимание только на матрицу A. Потом проводим дальше

метод Гаусса, но обращаем внимание только на матрицу B. Получаем

2 треугольные матрицы, определители которых равны произведению элементов на диагонали. Но и большая матрица стала треугольная.

Теорема 10 (Теорема о произведении определителей) . jABj = jAjjBj

Доказательство.

Лемма 1. Рассмотрим матрицу S, верхнетреугольную, а по диагонали у

нее единицы.

При умножении на матрицу S слева, определитель матрицы A не меняется.

Леммы. Проведем такие действия: i от 2 до n

прибавим i-ую строчку матрицы ко всем предыдущим с разными коэффициентами. (i-ую строку к j-ой прибавляем с коэффициентом sji).

Заметим, что полученный результат такой же, как если бы мы матрицу

A не модифицировали, а умножили слева на S.		B		= jAj jBj.
Теоремы. Рассмотрим матрицу 2n 2n jMj =	E
	A	0

Расмотрим матрицу S размером 2n 2n. S =

E A

0 E

подходит под условие леммы и потому jMj = jSMj = jAj jBj.

17

	Заметим, что SM =	0	AB	. Меняем местами у этой матрицы
		E	B

столбики: последние n столбиков и первые n столбиков. Всего получится n2 замен. Поэтому jSMj = ( 1)n2 jABj j Ej = ( 1)n2+njABj = jABj.

Рассмотрим	матрицу: по	диагонали все единицы, aij = (i 6=
j). Обозначим	эту матрицу	ij( ). Заметим, что ij( )A матрица,

полученная из A прибавлением к i-ой строчке j-ой с коэффициентом . ATij( ) матрица, полученная из А прибавлением к i-ому столбцу j-ый с коэффициентом .

Таким образом, можно метод Гаусса представить себе в виде последовательного умножения слева на матрицы вида ij( ) и получим DA = Tx : : : T1A, здесь DA диагональная матрица, полученная из A в процессе метода Гаусса. Поэтому jDAj = jAj.

Аналогично, применяя только что описанную модификацию метода Гаусса к матрице B получаем DB = BT10 : : : Ty0.

К матрице AB применим преобразования строк, какие применяли к

матрице А и преобразования столбцов, какие применяли к преобразованию B. Таким образом, из матрицы AB получим матрицу Tx : : : T1ABT10 : : : Ty0,

у которой такой же определитель, как и у исходной. Получаем, что jABj = jDADBj. Матрицы DA è DB верхнетреугольные.

Нетрудно видеть, что их произведение тоже верхнетреугольная матрица, причем, по диагонали идут произведения диагональных элементов.

Поэтому jABj = jDADBj = jDAjjDBj = jAjjBj. Что и требовалось доказать.

3.4Обратная матрица

Теорема 11 (Явная формула обратной матрицы) . Если определитель матрицы A не равен нулю, то матрица

			0	M11		M21		: : :	( 1)n+1Mn1	1
B =	1			M12		M22		: : :	( 1)n+2Mn2
			B	( 1)1+: : n: M		( 1)2+: : n:		( 1):i+: :jMij	M: : :	C
	jAj				1n		M
			B					2n	nn	C
			@							A

является обратной к матрице A.

Доказательство по теореме о разложении по любой строке.

Теорема 12 (Критерий обратимости матрицы). У матрицы А есть обратная тогда и только тогда, когда определитель матрицы А ненулевой.

Доказательство: Если определитель матрицы не равен нулю, то можно построить обратную матрицу по явной формуле.

Предположим, что определитель матрицы A равен нулю и у нее есть обратная матрица A 1. Тогда AA 1 = E, поэтому jAjjA 1j = 1. Íî

18

слева стоит ноль, т.е. равенство невозможно. Поэтому если определитель матрицы равен нулю, у матрицы не может быть обратной.

Метод Гаусса для поиска обратной матрицы.

1.К матрице An n приписываем справа матрицу E таких же размеров.

2.К большой матрице (AjE)n (2n) применяем преобразования строк так, чтобы вместо матрицы А получилась верхнетреугольная матрица.

3.Если определитель матрицы A равен нулю, у нее нет обратной.

4.Если же определитель матрицы A не равен нулю, то у полученной

треугольной матрицы нет нулевых элементов по диагонали. Поэтому можно с помощью преобразований строк от треугольной матрицы перейти к диагональной.

5.Разделим все строки матрицы (DjA) на диагональные элементы матрицы D. На месте исходной матрицы A возникнет матрица E; а

на месте, где изначально была единичная матрица, возникает матрица

A 1.

Обоснование метода. Докажем, что метод Гаусса для поиска обратной матрицы действительно дает обратную матрицу.

Заметим, что матрица E получилась из матрицы A при помощи

преобразований строк, а они эквивалентны умножению слева на матрицы специального вида (которые встречались нам в доказательстве теоремы об определителе произведения матриц). Поэтому E = Tn : : : T1A = T A. Поэтому T матрица, обратная к А. К единичной матрице справа мы

применяли те же преобразования, поэтому справа мы получили Tn : : : T1E =

T E = T = A 1.

Пример. Вычислить методом Гаусса обратную матрицу для

01

	@	5	5	8	A
A =		1	4	4
		2	6	6

19

4Системы линейных уравнений

4.1Определение; метод Гаусса

В жизни (и в физике) линейные уравнения и системы линейных уравнений встречаются очень часто. Даже более того, если система уравнений изначально нелинейна, очень часто ее приближают линейной системой, чтобы найти приближенное решение, что очень важно в практических инженерных и физических задачах.

Давайте попробуем решить легкую задачу с вариациями.

Задача 1. Золушка отделяла фасоль от гречки, раскладывая их по банкам. В одну банку входит килограмм гречки или 600 грамм фасоли. Смеси было 10 килограммов, а банок с продуктами получилось 12 штук. Сколько чего было?

Ответ: 3 кг фасоли; 7 кг гречки.

Задача 2. Золушка отделяла просо от гречки. В банку входит либо килограмм гречки, либо килограмм проса. Смеси было 10 килограммов, а банок с продуктами получилось 10 штук. Сколько чего было?

Ответ: гречки=(10-проса) кг.

Задание 3. Золушка отделяла пшено от риса. В банку входит 800 грамм риса или 800 грамм пшена. Смеси было 12 килограммов. У Золушки получилось 14 банок. Сколько чего было?

Ответ: такого быть не могло.

Определение 13. Системой линейных уравнений над кольцом K

называется формальная запись вида:

8

> a11x1 + a12x2 + : : : + a1nxn = b1

>

(S) < a21x1 + a22x2 + : : : + a2nxn = b2

: : :

>

>

: ak1x1 + ak2x2 + : : : + aknxn = bk

Здесь aij è bi некоторые числа из K. xi неизвестные. Числа aij называются коэффициентами, а bi свободными членами.

Определение 14. Упорядоченный набор чисел fc1; c2; : : : ; xng называется решением системы линейных уравнений (S), если при подстановке в систему (S) числа c1 вместо x1, c2 вместо x2... cn вместо xn из уравнений получаются верные равенства.

Определение 15. Решить систему линейных уравнений означает найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Если решений бесконечно много, то мы не можем явно выписать все решения, поэтому мы выписываем общий вид решения.

Заметим, что если все коэффициенты системы собрать в одну матрицу A = (aij), переменные в столбец переменных, а свободные члены в столбец свободных членов, то систему можно переписать в виде:

Ax = b:

20