Лекция № 4. Сигналы с ограниченным спектром. Теорема Котельникова

4.1. Разложение непрерывных сигналов в ряд Котельникова

Как отмечено ранее, любые сигналы конечной длительности теоретически имеют бесконечно широкий спектр частот. В то же время доля энергии, передаваемая на высоких частотах, очень мала и ею при расчете полной энергии сигнала можно пренебречь.

Следовательно, сигналы с ограниченным спектром являются удобными математическими моделями реальных сигналов.

В 1933 году В. А. Котельников доказал, что сигнал s(t) с ограниченной полосой частот, не имеющий спектральных компонент с частотами, которые превышают значение ωв = 2πFв, однозначно

определяется значениями, выбранными через равные промежутки времени

t = π/ωв = 1/2Fв.

Суть процесса аналогово-цифрового преобразования – проблема выбора частоты дискретизации аналогового сигнала. В действительности, чем меньше частота оцифровки (или больше период дискретизации) и грубее квантование сигнала, тем меньше данных необходимо для представления аналогового сигнала в цифровом виде. С другой стороны с уменьшением объема данных увеличивается вероятность потери информации содержащейся в сигнале.

Чтобы продемонстрировать искажение информации при неправильном выборе частоты оцифровки сигнала рассмотрим пример.

Пример 1

Пусть гармонический сигнал имеет частоту f (период T = 1/f). Проведем дискретизацию сигнала с периодом дискретизации Tд меньшим половины периода входного сигнала T (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Дискретизация сигнала с периодом Тд < Т/2

Очевидно, что дискретные отсчеты сигнала однозначно не отображают форму исходного сигнала, в частности по получившимся точкам можно

построить гармонический сигнал с периодом Tискаж., отличающимся от периода исходного сигнала T. Период Tискаж. больше периода исходного

сигнала T, соответственно частота меньше, частоты исходного сигнала f (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Стробоскопический эффект дискретизации

Данный эффект называется стробоскопическим эффектом или алиасингом. Он заключается в появлении ложной низкочастотной составляющей при дискретизации сигнала с частотой меньшей удвоенной частоты исходного сигнала (или с периодом большим половины периода исходного сигнала), отсутствующей в исходном сигнале.

Пример 2 При дискретизации с периодом равным половине исходного аналогового

сигнала (fд = 2f) возникает неопределенность начальной фазы и амплитуды

сигнала, т.е. возможно зеркальное искажение (противофаза), при этом частота исходного сигнала не искажается. В крайнем случае, мы можем получить отсчеты сигнала равные нулю (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Дискретизация сигнала с периодом Тд = Т/2

Пример 3 Если период дискретизации меньше половины периода исходного

сигнала, то очевидно, что через получившиеся после оцифровки точки можно построить только один гармонический сигнал, соответствующий исходному, без искажения начальной фазы, амплитуды и частоты (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Дискретизация сигнала с периодом Тд < Т/2

Таким образом, для адекватного восстановления гармонического сигнала по дискретным отсчетам, период дискретизации должен быть не меньше половины периода сигнала. Частота равная половине частоты

дискретизации называется частотой Найквиста fN = fд/2.

Данное утверждение можно обобщить следующим образом: Аналоговый сигнал с ограниченным спектром может быть восстановлен

однозначно и без искажений по своим дискретным отсчетам, взятым с частотой большей удвоенной максимальной частоты в своем спектре.

Fд > 2·Fmax

Данное утверждение известно как теорема Котельникова (в западной литературе теорема Найквиста-Шеннона) или теорема отсчетов.

Временные диаграммы непрерывного сигнала s(t) и дискретизированного sд(t) имеют вид:

Рис. 4.5

Важно, что не надо передавать непрерывно исходный сигнал s(t), достаточно передавать отсчёты s(k t). Это первый шаг перехода от непрерывного сигнала к цифровому.

С точки зрения математики теорема Котельникова означает представление сигнала в виде ряда:

(4.1)

Ряд Котельникова – это разложение сигнала s(t) в ряд по ортогональным функциям φk(t).

(4.2) Теоретически дискретизация осуществляется с помощью

-импульсов. Временная диаграмма одиночного -импульса имеет вид:

Рис. 4.6

Спектр одиночного -импульса получим, используя преобразование Фурье:

Использовано "фильтрующее" свойство дельта-функций:

Следовательно, спектр одиночного дельта-импульса имеет вид:

Рис. 4.7

Чтобы получить отсчёты функции s(t) перемножим функцию s(t) на периодическую последовательность δ-импульсов с периодом Т = t.

Временная диаграмма периодической последовательности дельта- импульсов имеет вид:

Рис. 4.8

Так как сигнал периодический, то его спектр будет дискретным.

(4.3)

Т = t; ωд – частота дискретизации.

Спектр периодической последовательности δ-импульсов в соответствии с формулой для U(t) имеет следующий вид:

Рис. 4.9