Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
11
Добавлен:
13.02.2015
Размер:
73.89 Кб
Скачать

Геометрические приложения криволинейных интегралов

Длина кривой

Пусть C является гладкой, кусочно-непрерывной кривой, которая описывается вектором r (t), t [α, β] ,

r(t)=(x(t),y(t),z(t)). Длина кривой C выражается следующим криволинейным интегралом

где dr / dt − производная.

Если кривая C задана в плоскости, то ее длина выражается формулой

Если кривая C представляет собой график заданной явно, непрерывной и дифференцируемой функции y=f(x) в плоскости Oxy, то длина такой кривой вычисляется по формуле

Наконец, если кривая C задана в полярных координатах уравнением r = r(θ), θ [α, β] , и функция r = r(θ)

является непрерывной и дифференцируемой в интервале[α, β] , то длина кривой определяется выражением

Площадь области, ограниченной замкнутой кривой

Пусть C является гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой, заданной в плоскости Oxy (рис.1). Тогда площадь области R, ограниченной данной кривой, определяется формулами

Здесь предполагается, что обход кривой C производится против часовой стрелки.Если замкнутая кривая C задана в параметрическом виде, r(t)=(x(t),y(t)), то площадь соответствуюшей области равна

Рис.1

Рис.2

Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно оси Ox

Предположим, что область R расположена в верхней полуплоскости y ≥ 0 и ограничена гладкой, кусочнонепрерывной и замкнутой кривой C, обход которой осуществляется против часовой стрелки. В результате вращения области R вокруг оси Ox образуется тело & (рисунок 2). Объем данного тела определяется формулами

Соседние файлы в папке КриволинейныеИнт