2.матан.интегралы / ПоверхностныеИнт / ФизичПрилож

Физические приложения поверхностных интегралов

Масса оболочки

Пусть S представляет собой тонкую гладкую оболочку. Распределение массы оболочки описывается функцией плотности μ(x, y, z) . Тогда полная масса оболочки выражается через поверхностный интеграл первого рода по формуле

Центр масс и моменты инерции оболочки

Пусть распределение массы m в тонкой оболочке описывается непрерывной функцией плотности μ(x, y, z) . Координаты центра масс оболочки определяются формулами

где

− это так называемые моменты первого порядка относительно координатных плоскостей x = 0, y = 0 и z = 0, соответственно.

Моменты инерции оболочки относительно осей Ox, Oy, Oz выражаются формулами

Моменты инерции оболочки относительно плоскостей xy, yz, xz определяются формулами

Сила притяжения поверхности

Пусть дана поверхность S, в т.(x0, y0, z0), не принадлежащей ей, находится тело массой m (рис.1).

Рис.1

Рис.2

Сила притяжения между поверхностью S и точечным телом m определяется выражением

,

G - гравитационная постоянная, μ(x, y, z) − функция плотности.

Сила давления

Предположим, что поверхность S задана вектором и находится под воздействием силы давления (это может быть плотина, крыло самолета, стенка баллона со сжатым газом и т.д.). Полная сила , созданная давлением p(r ) , находится с помощью поверхностного интеграла

Давление действует в направлении вектора нормали к поверхности S в каждой точке. Поэтому

где − единичный нормальный вектор к поверхности S.

Поток жидкости и поток вещества

Если в качестве векторного поля рассматривается скорость жидкости ν (r ) , то поток через

поверхность S называется потоком жидкости. Он равен объему жидкости, проходящей через поверхность S в единицу времени и выражается формулой

Поток векторного поля F = ρνr , ρ − плотность, называется потоком вещества и равен

Он численно равен массе вещества, проходящего через поверхность S в единицу времени.

Заряд поверхности

Пусть величина σ (x, y) является плотностью распределения заряда по поверхности. Тогда полный заряд, распределенный по проводящей поверхности S выражается формулой

Теорема Гаусса

Поток электрического смещения через замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме всех зарядов, расположенных внутри поверхности

где , − диэлектрическая проницаемость вакуума, − напряженность электрического поля, ε − относительная диэлектрическая проницаемость среды.

Теорема Гаусса применима к любым замкнутым поверхностям. В случае поверхности с достаточной симметрией, данная теорема упрощает вычисление электрического поля. Теорему Гаусса рассматривают как один из основных постулатов теории электричества. Она входит в систему основных уравнений Максвелла.

Пример

Вязкая жидкость течет в цилиндрической трубе радиусом R со скоростью (м·с−1 ), где − единичный вектор, направленный вдоль оси трубы в сторону потока, r − расстояние от оси, C − некоторая константа. Вычислить поток жидкости через поперечное сечение трубы.

Решение. Для определения потока жидкости необходимо вычислить поверхностный интеграл

Так как векторы и сонаправлены, то поток равен

Переходя к полярным координатам, получаем

Последний интеграл можно вычислить с помощью интегрирования по частям. Полагая

можно записать

Таким образом, поток жидкости равен