2.матан.интегралы / КратныеИнтегралы / ТройнойИнтеграл / ГеомПрилож

Вычисление объемов с помощью тройных интегралов

Объем тела U в декартовых координатах Oxyz выражается формулой

Вцилиндрических координатах объем тела равен

Всферических координатах, соответственно, используется формула

Пример 1.Найти объем конуса высотой H и радиусом основания R.

Решение. Конус ограничен поверхностью и плоскостью z = H (рис.1). В д.с.к. объем выражается формулой

Вычислим этот интеграл в цилиндрических координатах, кото-

рые изменяются в пределах

Hρ ≤ z ≤ H . R

Рис.1

Находим объем конуса

Пример 2. Найти объем шара x2 + y2 + z2 ≤ R2.

Решение. Вычислим объем части шара, расположенной в первом октанте (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0), и затем умножим результат на 8. Путем перехода к сферическим координатам, получаем, что

Пример 3. Найти объем области, ограниченной параболоидами

Рис.2

Рис.3

Решение. Исследуем пересечение двух параболоидов (рис 2). Поскольку ρ2 = x2 + y2, то уравнения парабо-

лоидов имеют вид При z1 = z2 (линия пересечения) получаем ρ2=1/2.

Этому значению ρ (рис.3) соответствует z=0,5.Объем тела в цилиндрических координатах равен

После вычислений получим, что V = π4 .

Пример 4. Вычислить объем эллипсоида

Решение.Объем эллипсоида можно вычислить, используя обобщенные сферические координаты.

Модуль якобиана преобразования в этом случае равен поэтому объем эллипсоида выражается через тройной интеграл

В силу симметрии эллипсоида найдем объем части, расположенной в первом октанте (x≥0, y≥0, z≥0), и

умножим результат на 8. При этом