Задание с 03_26

ДЗ 6: задачи по теме «Дискретные случайные величины»

1. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается четыре выигрыша по 5 тысяч рублей; пять выигрышей по 4 тысячи рублей и одиннадцать выигрышей по 1 тысячи рублей.

1. Составить ряд распределения случайной величины X – размер выигрыша по одному купленному билету.

2. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины.

3. Записать функцию распределения и построить ее график.

2. Сеть кафе "Пить кофе" включает 7 кофеен, 3 из них работают круглосуточно. Для оценки качества обслуживания клиентов, администрация кафе случайным образом отбирает 4 кофейни.

а) составьте ряд распределения числа кофеен с круглосуточным режимом работы, отобранных для анализа и постройте график,

б) найдите числовые характеристики этого распределения,

в) запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график,

г) чему равна вероятность того, что в исследовании будут участвовать не более 2-х кофеен.

3. В связке из 3 ключей только один ключ подходит к двери. Ключи перебирают до тех пор, пока не отыщется подходящий ключ. Построить закон распределения для случайной величины  – числа опробованных ключей.

4. Построить функцию распределения F_(x) для случайной величины  из задачи 3.

5. Закон распределения случайной величины  имеет вид:

	-1	2	3	5
P	1/4	½	1/8	1/8

Найти функцию распределения случайной величины , вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение. Вычислить вероятность .

6. Задан закон распределения случайной величины :

i	2	4	6	7
Pi	0,1	?	0,2	0,4

Найти:

а) неизвестную вероятность;

б) математическое ожидание М();

в) дисперсию D(); г) среднее квадратическое отклонение σ ();

д) составить функцию распределения случайной величины F(x);

е) построить график функции распределения случайной величины F(x);

ж) пользуясь составленной функцией распределения, вычислить вероятности попадания случайной величины  в интервал

з) составить закон распределения случайной величины ;

и) вычислить математическое ожидание и дисперсию составленной случайной величины η двумя способами: пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии, а так же непосредственно по закону распределения случайной величины .

7. Вероятность того, что эксперимент удастся, равна 0,8. Составить закон распределения случайной величины – числа удачно закончившихся экспериментов, при общем их количестве равном 3. Найти математическое ожидание (двумя способами), дисперсию (двумя способами), среднее квадратическое отклонение, составить функцию распределения случайной величины и построить её график.

8. Найти закон распределения дискретной случайной величины Х, которая может принимать только два значения: с известной вероятностью p1 = 0,1 и , причём . Известно так же, что и .

9. Даны законы распределения независимых случайных величин

Х	-3	0	1
Р	0,1	0,3	0,6

Y		0		3		6
р	0,2		0,5		0,3

Составить законы распределения случайных величин:

а) XY;

б) X+Y.

Найти М(X+Y), D(X+Y).

Справедливо ли равенство М(X)М(Y)=М(XY)?

10. Монету подбросили 3 раза. Найти распределение вероятностей для числа появлений герба.

11. Три стрелка с вероятностями попадания в цель при отдельном выстреле 0,7, 0,8 и 0,9 соответственно делают по одному выстрелу. Найти распределение вероятностей для общего числа попаданий.

12. Вероятность, что лотерейный билет окажется выиграшным, равна 0,1. Покупатель купил 5 билетов. Найти распределение вероятностей для числа выигрышей у владельца этих 5 билетов.

13. Стрелок поражает мишень с вероятностью 0,7 при одном выстреле. Стрелок стреляет до первого попадания, но делает не более трех выстрелов. Найти распределение вероятностей для числа выстрелов.

14. На перекрестке стоит автоматический светофор, в котором 1 минуту горит зеленый свет и 0,5 минуты – красный. Машина подъезжает к перекрестку в случайные моменты времени. Найти закон распределения времени ожидания у перекрестка.

15. Прибор комплектуется из двух деталей, вероятность брака для первой детали – 0,1, а для второй – 0,05. Выбрано 4 прибора. Прибор называется бракованным, если в нем есть хотя бы одна бракованная деталь. Построить закон распределения для числа бракованных приборов среди выбранных 4 приборов.

16. С конвейера поступили 4 детали. Вероятность брака для каждой детали равна 0,1. Детали проверяют одну за другой, пока не наберут две доброкачественные. Найти распределение вероятностей для числа проверенных деталей.

17. Два стрелка поражают мишень с вероятностями 0,8 и 0,9 соответственно (при одном выстреле). Найти распределение вероятностей для общего числа попаданий в мишень, если первый стрелок выстрелил один раз, а второй – два раза.

18. Каждая из 5 лампочек имеет дефект с вероятностью 0,1. Дефектная лампочка при включении сразу перегорает и ее заменяют новой. Построить закон распределения для числа опробованных ламп.

19. Среди 5 ключей два подходят к двери. Ключи пробуют один за другим, пока не откроют дверь. Найти распределение вероятностей для числа опробованных ключей.

20. Монета подбрасывается до тех пор, пока герб не выпадет второй раз, при этом делается не более 4 проб. Найти распределение вероятностей числа подбрасываний.

21. Среди 10 деталей – три нужного размера. Детали извлекаются поочередно, пока не появятся две детали нужного размера, при этом делается не более 4-х проб. Найти распределение числа извлеченных деталей.

22. Закон распределения случайной величины  имеет вид:

	0	1	2	3
P	1/8	3/8	3/8	1/8

Найти функцию распределения случайной величины , вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение. Вычислить вероятность .

10. В процессе производства изделие высшего качества удается получить только с вероятностью 0,2. С конвейера берутся наугад детали до тех пор, пока не будет взято изделие высшего качества. Найти математическое ожидание числа проверенных изделий.

11. Сдача экзамена по математике производится до получения положительного результата. Шансы сдать экзамен остаются неизменными и составляют 20%. Найти математическое ожидание числа попыток сдачи экзамена.

12. ОТК должке проверить 100 комплектов, состоящих из 4 изделий каждый. Найти математическое ожидание числа комплектов, состоящих из стандартных деталей, если каждая деталь может быть стандартной с вероятностью 0,8.

13. Игральная кость подбрасывается до а) второго; б) третьего появления грани с номером «три». Найти среднее число подбрасываний.

14. Найти математическое ожидание и дисперсию суммы выпавших очков при бросании четырех игральных костей.