Задание с 03_12

Задачи по теме «Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Формула Пуассона. Полиномиальная схема»

1. Бригада из десяти человек идёт обедать. Имеются две одинаковые столовые, и каждый член бригады независимо один от другого идёт обедать в любую из этих столовых. Если в одну из столовых случайно придёт больше посетителей, чем в ней имеется мест, то возникает очередь. Какое наименьшее число мест должно быть в каждой из столовых, чтобы вероятность возникновения очереди была меньше 0,15?

2. Пусть всхожесть семян пшеницы составляет 90%. Чему равна вероятность того, что из 7 посеянных семян взойдут 5?

3. Если в семье четыре ребёнка, что вероятнее: это два мальчика и две девочки, или три ребёнка одного пола и один другого пола? Принять вероятность того, что данный ребёнок – мальчик, равной 0,5.

4. Капитан корабля перед высадкой десанта приказал выпустить по береговой полосе длиной 200 метров 20 реактивных снарядов, опасаясь замаскированных огневых точек. Вдоль берега в землю был врыт бункер длиной 20 метров.

а) Найти вероятность того, что 4 снаряда попали в бункер.

b) Найти наивероятнейшее число снарядов, попавших в бункер.

5. Примерно 70% клиентов банка расплачиваются по кредитам вовремя.

а) Найти вероятность того, что из 20-ти случайным образом выбранных клиентов банка вовремя расплатятся по кредитам более 15-ти клиентов.

b) Найти наивероятнейшее число клиентов из выбранных 20-ти, которые вовремя погасят долги по кредитам.

с) Найти вероятность того, что именно наивероятнейшее число клиентов вовремя погасит долги по кредитам.

6. Предприятие производит полиэтиленовые бутылки. Пивной завод покупает их, наполняет и запускает в торговлю. При покупке бутылок на пивзаводе для контроля качества из партии отбирается случайным образом 10 бутылок. Если среди этих бутылок только две или менее оказываются дефектными, вся партия принимается и направляется в производство.

а) какова вероятность того, что вся партия будет принята, если предприятиепроизводитель выпускает 10% дефектных бутылок?

b) 20% дефектных бутылок?

с) 30% дефектных бутылок?

d) 40% дефектных бутылок?

7. Аудитор обнаруживает финансовые нарушения у проверяемой фирмы с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что среди 4 фирм-нарушителей будет выявлено больше половины.

8. В результате каждого визита страхового агента договор заключается с вероятностью 0,1. Найти наивероятнейшее число заключенных договоров после 25 визитов.

9. Известно, что процент брака для некоторой детали равен 0,5%. Контролер проверяет 1000 деталей. Какова вероятность обнаружить ровно три бракованные детали? Какова вероятность обнаружить не меньше трех бракованных деталей?

10. Вероятность искажения одного символа при передаче сообщения по линии связи равна 0.001. Сообщение считают принятым, если в нём отсутствуют искажения. Найти вероятность того, что будет принято сообщение, состоящее из 20 слов по 100 символов каждое.

11. Телефонная станция обслуживает 1000 абонентов. Вероятность того, что в течении минуты какому-либо абоненту понадобится соединение, равна 0,0007. Вычислить вероятность того, что за минуту на телефонную станцию поступит не менее 3 вызовов.

12. Вероятность покупки при посещении клиентом магазина составляет р=0,75. Найти вероятность того, что при 100 посещениях клиент совершит покупку ровно 80 раз.

13. Страховая компания заключила 40000 договоров. Вероятность страхового случая по каждому из них в течение года составляет 2%. Найти вероятность, что таких случаев будет не более 870.

14. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0.8. Определить вероятность того, что при 400 выстрелах произойдёт ровно 300 попаданий.

15. Найти вероятность того, при 600 подбрасываниях игральной кости выпадет от 90 до 120 шестёрок.

16. Вероятность появления события в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,8. Найти такое положительное число , чтобы с вероятностью 0,99 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности не превышала .

17. Курс акции за день может подняться на 1 пункт с вероятностью 50%, опуститься на 1 пункт с вероятностью 30% и остаться неизменным с вероятностью 20%. Найти вероятность того, что за 5 дней торгов курс поднимется на 2 пункта.

18. Игральную кость бросают 12 раз. Требуется найти вероятность того, что «3» выпадет 4 раза, а «4» выпадет 3 раза.

19. Найти вероятность того, что среди 10 случайным образом выбранных человек у четырёх дни рождения будут в первом квартале, у трёх – во втором, у двух – в третьем и у одного – в четвёртом.

20. В урне 30 шаров : 10 белых, 5 зелёных, 8 синих и 7 жёлтых (шары различа­ются только цветом). Из урны случайным образом выбирают 10 шаров с возвращением. Найти вероятность того, что среди выбранных шаров будет:3 белых, 2 зелёных, 4 синих и 1 жёлтый.

21. В семье пять детей. Считая вероятность рождения мальчика и девочки равными 1/2, определить вероятность того, что среди этих детей два мальчика.

22. Наладчик обслуживает 50 станков. Вероятность того, что в течение смены станок потребует регулировки, равна 1/3. Что более вероятно: а) регулировки потребуют 17 станков; б) регулировки потребуют 16 станков?

23. Какова вероятность того, что среди 500 наугад выбранных человек двое родились 1 апреля?

24. Среди 2000 человек приблизительно 16 левшей. Какова вероятность того, что среди сотни наугад выбранных человек окажется хотя бы один левша?

25. Вероятность выигрыша лотерейного билета составляет 0,1. Некто покупает 5 лотерейных билетов. Найти вероятности следующих событий: A = {ровно два билета выигрывают}, B = {большая часть билетов выигрывает}, C={выигрывает хотя бы два билета}.

26. В цех по ремонту радиоаппаратуры поступают резисторы с трех заводов в отношении 2:3:5. Мастер для ремонта прибора взял наугад 6 резисторов. Какова вероятность того, что взят 1 резистор первого завода, 2 резистора второго завода, 3 резистора третьего завода?

27. Игральная кость бросается 5 раз. Найти вероятность того, что 2 раза появится число очков, кратное трем.

28. На цель сбрасывается 6 бомб, вероятность попадания каждой в цель составляет 0,3. Найти вероятность поражения цели: а) 4 бомбами; б) 3 бомбами.

29. Вероятность попадания стрелком в мишень при каждом выстреле не зависит от результатов предыдущих выстрелов и равна 0,8. Стрелок сделал 5 выстрелов. Найти вероятности следующих событий: а) мишень поражена одной пулей; б) мишень поражена двумя пулями; в) зарегистрировано хотя бы одно попадание; г) зарегистрировано не менее трех попаданий.

30. В семье 5 детей; вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятности событий: A = {в семье два мальчика}, B = {в семье не более двух мальчиков}, C = {в семье более двух мальчиков}, D = {в семье не менее 2 и не более 3 мальчиков}.

31. Играют две равносильные команды в футбол. В ходе матча забито 4 мяча. Какова вероятность того, что счет будет равным?

32. Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или две из четырех? б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех из пяти? Ничьи во внимание не принимаются.

33. При раздаче колоды в 52 карты четырем игрокам один из них три раза подряд не получал тузов. Есть ли у него основания жаловаться на невезение?

34. Игральная кость подбрасывается 16 раз. Найти наивероятнейшее число выпадений очков, кратных 3.

35. Из трех орудий произведен залп по цели. Вероятность попадания в цель для первого орудия равна 0,8, для второго - 0,85, для третьего - 0,9. Найти вероятность того, что в цель попали: а) все три орудия; б) два орудия; в) одно орудие; г) ни одного орудия.

36. На трассе гонок имеется 4 препятствия. Первое препятствие гонщик успешно преодолевает с вероятностью 0,9, второе - с вероятностью 0,95, третье - с вероятностью 0,8, четвертое - с вероятностью 0,85. Найти вероятность того, что гонщик успешно преодолеет: а) все 4 препятствия; б) ровно два препятствия; в) не менее двух препятствий из четырех.

37. Экспериментально установлено, что при подбрасывании спичечного коробка количества его падений на меньшую, среднюю и большую грани относятся как 1:4:15. Какова вероятность того, что при 6 подбрасываниях коробка он 1 раз упадет на меньшую грань, 1 раз - на среднюю, 4 раза - на большую?

38. Для новогодних подарков школой закуплено 8 кг яблочной, 20 кг вишневой, 12 кг сливовой и 10 кг апельсиновой карамели. Все конфеты перемешаны, и в каждый подарочный пакет кладется по 6 карамелек. Какова вероятность того, что школьник Ваня обнаружит в своем пакете две вишневых, две сливовых и по одной яблочной и апельсиновой карамельке.

39. Вероятность набора абонентом телефонного номера с ошибкой равна 0,001. Определить вероятность того, что среди 500 произведенных заказов не более 2 телефонных номеров были набраны с ошибкой.

40. Передается закодированное сообщение из 1100 символов. Вероятность ошибки при декодировании каждого символа составляет 0,01. Считая декодирование каждого символа независимым от других, найти вероятность того, что число ошибок в принятом сообщении не превышает 20.

41. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти наименьшее число испытаний, при котором с вероятностью 0,99 можно ожидать, что относительная частота появления события отклоняется от его вероятности по модулю не более чем на 0,04.

42. Вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости (брак) равна 0,002. Сверла укладываются в коробки по 100 штук. Найти вероятность того, что: а) в коробке не окажется бракованных сверл; б) число бракованных сверл окажется не более 3.

43. Магазин получил 1000 стеклянных бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка будет разбита, равна 0,003. Найти вероятность того, что при перевозке будут разбиты: а) ровно две бутылки; б) не более двух бутылок; в) не менее двух бутылок; г) хотя бы одна бутылка.

44. Если левши составляют в среднем 1% населения, каковы шансы на то, что среди 200 человек: а) окажутся ровно четверо левшей; б) окажутся не менее четырех левшей.

45. Известно, что в среднем 5% студентов носят очки. Какова вероятность того, что из 200 студентов, сидящих в аудитории, не менее 5 носят очки?

46. Корректура в 500 страниц содержит 1300 опечаток. Найти наиболее вероятное число опечаток на одной странице текста и вероятность этого числа опечаток.

47. На факультете 500 студентов. Найти наиболее вероятное число студентов, родившихся 1 сентября, и вероятность этого числа рождений. Вероятность рождения 1 сентября принять равной 0,0027.

48. Вероятность изготовления консервной банки с недостаточной герметизацией равна 0,002. Среди скольких банок, отобранных случайно, можно с вероятностью 0,9 ожидать отсутствие бракованных?

49. Школа принимает в первые классы 200 детей. Определить вероятность того, что среди них одинаковое количество мальчиков и девочек, если вероятность рождения мальчика равна 0,515.

50. Вероятность изготовления обуви первого сорта равна 0,4. Какова вероятность того, что среди 600 пар обуви, поступивших на контроль, количество пар первосортной обуви колеблется в пределах от 228 до 252?