Задание с 05_03

Задачи по теме «Формула полной вероятности. Формулы Байеса»

1. В первой урне 7 белых и 3 черных шара, во второй – 8 белых и 2 черных. При перевозке из первой урны во вторую урну перекатились два шара. После того, как шары во второй урне перемешались, из неё выкатился шар. Найти вероятность того, что выкатившийся из второй урны шар белый.

2. В условие задачи №1 внесем изменение. Пусть после того, как из первой урны во вторую перекатились два шара и шары во второй урне перемешались, из неё выкатился белый шар. Найти вероятность того, что из первой урны во вторую перекатились разноцветные шары.

3. В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 играных. Для игры выбираются 2 мяча и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекаются ещё два мяча. Найти вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами.

4. Сообщение со спутника на землю передаётся в виде бинарного кода, то есть как упорядоченного набора нулей и единиц. Предположим, что послание на 70% состоит из нулей. Помехи приводят к тому, что только 80% нулей и единиц правильно распознаются приёмником. Если принят сигнал “1”, то какова вероятность того, что отправлен сигнал “0”?

5. При переливании крови надо учитывать группы крови донора и больного. Человеку, имеющему четвёртую группу крови можно перелить кровь любой группы, человеку со второй и третьей группой можно перелить либо кровь его группы, либо первой. Человеку с первой группой крови можно перелить кровь только первой группы. Известно, что среди населения 33,7 % имеют первую группу, 37,5 % имеют вторую группу, 20,9 % имеют третью группу и 7,9 % имеют 4 группу. Найти вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора.

6. Наудачу выбираем колоду, а из нее карту. В каком случае вероятность достать туз больше: если выбирать карту из двух колод, содержащих по 32 и 52 карты, или выбирать карту из трех колод в 36 карт и одной в 52?

7. В каждой из трех урн содержится по одному белому и одному черному шару. Из первой урны во вторую переложили один шар, из второй пополненной урны в третью тоже переложили один шар, а затем из третьей урны наудачу извлекли один шар. Какова вероятность извлечь белый шар из третьей пополненной урны?

8. Предположим, что 5 мужчин из 100 и 25 женщин из 10000 являются дальтониками. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность, что это мужчина?

9. Для проверки усвоения лекционного материала в студенческой группе был случайным образом выбран студент, и ему был предложен тест по теме лекции. В этой студенческой группе 6 отличников, 7 хороших студентов и три средних студента (по результатам прошедшей сессии). Было известно, что отличник справляется с тестом с вероятностью 0,85, хороший студент справляется с тестом с вероятностью 0,6, а средний студент справляется с тестом с вероятностью 0,3.

а) вычислить априорную вероятность того, что был протестирован хороший студент;

в) вычислить вероятность того, что студент не справился с тестом;

с) вычислить вероятность того, что был выбран хороший студент, если известно, что студент с тестом не справился.

10. В упаковке находилось 7 изделий первого сорта и 5 изделий второго сорта, внешне неразличимых. При транспортировке два изделия были похищены. После этого из упаковки было извлечено наудачу изделие и подвергнуто проверке на качество.

а) вычислить вероятность того, что были похищены изделия второго сорта;

в) вычислить вероятность того, что среди похищенных изделий одно было первого сорта, другое второго сорта;

с) вычислить вероятность того, подвергнутое проверке изделие было второго сорта;

d) вычислить вероятность того, что похищенные изделия были второсортными, если

Ответы. 1) а) 7/16 = 0,4375; в) 0,3625 с) 0,482759.

11. Одна кость из полного набора домино утеряна. Какова вероятность того, что извлеченная из оставшихся кость "подходит" к утерянной?

12. Имеются три урны: в первой - 3 белых и 2 черных, во второй - 2 белых и 3 черных, в третьей - 5 белых шаров. Наугад выбирается урна и из нее извлекается один шар. Этот шар оказался белым. Найдите вероятность того, что шар вынут из первой урны.

13. В первой урне 2 белых и 5 черных шаров, во второй - 3 белых и 4 черных. Из первой урны один шар переложен во вторую, после чего из второй урны извлекают один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?

14. В двух пакетах по 20 конфет одинаковой формы, в первом пакете 5 конфет с начинкой, а во втором - 8. Наугад выбранная конфета оказалась с начинкой. Найдите вероятность того, что она была вынута из второго пакета.

15. Имеются три колоды в 32 карты, две - в 36 и одна - в 52. Выбираем колоду и из нее одну карту. Какова вероятность того, что вынутая карта окажется тузом?

16. Сборщик получил три коробки деталей, изготовленных заводом 1, и две коробки деталей, изготовленных заводом 2. Вероятность того, что деталь завода 1 стандартна, равна 0,9, а завода 2 - 0,8. Сборщик извлек стандартную деталь из наудачу взятой коробки. Найдите вероятность того, что она изготовлена заводом №1.

17. В первой урне содержатся один белый и один черный шар, а во второй - один белый и два черных шара. Найдите вероятность извлечения белого шара, если:

а) урна выбирается случайно и из нее извлекается шар;

б) из каждой урны извлекли по одному шару и из них выбирается шар;

в) из первой урны переложили во вторую один шар, а затем из нее извлекли шар.

18. В урну, содержащую  шаров, опущен белый шар, после чего наудачу извлечен один шар. Найдите вероятность того, что извлеченный шар окажется белым.

19. Король Артур проводит рыцарский турнир, в котором порядок состязания определяется жребием. Среди восьми рыцарей, одинаково искушенных в ратном деле, два близнеца. Какова вероятность того, что они встретятся в поединке?

20. Преподаватель шутки ради предложил студенту распределить по двум урнам два белых и один черный шар. Преподаватель выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар: если шар будет белый, то студент получает зачет по теории вероятностей. Каким образом студенту нужно распределить шары в урнах, чтобы иметь наибольшие шансы на получение зачета?