линал лекции 1сем

Уравнения прямой на плоскости.

Рассмотрим Декартову систему координат на плоскости. Любая точка M, принадлежащая плоскости, однозначно

определяется двумя координатами					Координата
называется абсциссой точки M. координата, .					называется
ординатой точки M..
Расстояние между точкой M с координатами
,		и точкой N с координатами		,	равно
.

1. Общее уравнение прямой на плоскости

0

Прямая ортогональна вектору ,

Общее уравнение прямой называется полным, если все коэффициенты отличны от нуля.

Неполные уравнения прямой 1. 0 уравнение 0 определяет прямую,

проходящую через начало координат.

2.	0	уравнение	определяет прямую
параллельную оси .			определяет прямую
3.	0	уравнение
параллельную оси Ox.
4.	0,	уравнение	определяет ось Oy.
5.		0 уравнение	0определяет ось Ox.
	0,	0	0

Уравнение прямой в отрезках

1, ,

Каноническое уравнение прямой

Определяет прямую, параллельную вектору	,	и
проходящую через точку с координатами		.Вектор
,	,

называется направляющим вектором прямой.

Параметрическое уравнения прямой
определяет прямую,	, параллельную вектору	и
проходящую через точку с координатами		, .
Прямая с угловым коэффициентом		,

Определяет прямую, проходящую через точку 0, и имеющую угловой коэффициент . Угол между прямыми

1. Пусть прямые заданы общими уравнениями

и

Тогда угол между прямыми определяется с помощью формулы

.

Условие параллельности прямых

Условие ортогональности

2. Пусть прямые заданы каноническими уравнениями

и

Тогда угол между прямыми определяется с помощью формулы

Условие параллельности прямых

Условие ортогональности

3.Пусть прямые определяются уравнениями с угловыми коэффициентами

Тогда угол между прямыми определяется с помощью формулы

Условие параллельности прямых

Условие ортогональности

1

Нормализованное уравнение прямой

	Расстояние от точки	,	до прямой0равно
	|		|

Уравнения плоскости и прямой в пространстве.

Рассмотрим Декартову систему координат в пространстве.

Любая точка пространства M, однозначно определяется

тремя координатами				Координата
называется абсциссой точки, ,M. .координата						называется
ординатой точки M, координата				называется аппликатой
точки M.
	Расстояние между точкой M с координатами
.		, ,	и точкой N с координатами		, ,	равно

Общее уравнение плоскости

0

Плоскость ортогональна вектору , ,

Общее уравнение плоскости называется полным, если все коэффициенты отличны от нуля.

Неполные уравнения плоскости 1. 0 уравнение 0 определяет

плоскость, проходящую через начало координат.

2.	0	уравнение				0	определяет плоскость
параллельную оси .								определяет
3.	0	уравнение					0
плоскость параллельную оси Oy.
4.	0	уравнение					0	определяет
плоскость параллельную оси Oz.								определяет
5.	0,	0	уравнение				0
плоскость параллельную координатной плоскости										Oxy.
6.	0,	0	уравнение				0	определяет
плоскость параллельную координатной плоскости										Oxz.
7.	0,	0	уравнение				0	определяет
плоскость параллельную координатной плоскости										Oyz.
8.	0,	0,		0	уравнение			0	определяет

координатную плоскость Oxy.

9.	0,			0,				0	уравнение					0	определяет
координатную плоскость											Oxz.						определяет
10.	0,			0,				0		уравнение				0
координатную плоскость											Oyz.
Уравнение плоскости в отрезках
								1,					,					,

Угол между двумя плоскостями Пусть плоскости заданы общими уравнениями

0 и

0

Тогда угол между плоскостями определяется с помощью формул:

Условие параллельности плоскостей:

Условие ортогональности плоскостей:

0

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Три точки M,N,K, не лежащие на одной прямой, однозначно определяют плоскость.

Пусть точки имеют следующие координаты: точка M

координаты	,	N координаты	, ,	и K
координаты		, , .
	,	,

Тогда уравнение плоскости проходящей через эти точки имеет вид:

x x1 x2 x1 x3 x1

y y1 y2 y1 y3 y1

z z1

z2 z1 0 z3 z1

Нормированное уравнение плоскости

x cos y cos z cos p 0
Вектор	–единичный вектор,
направление которого,	совпадает,	с направлением

перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость, p длина этого перепендикуляра.

Уравнения прямой в пространстве

1. Прямую в пространстве можно задать с помощью двух общих уравнений плоскостей (прямая будет являться пересечением двух непараллельных плоскостей)

0

`0

2. Каноническое уравнение прямой

определяет прямую, параллельную вектору	,	,	и
проходящую через точку с координатами			.Вектор
, ,	,	,

называется направляющим вектором прямой. 3.Параметрические уравнения прямой

,				,
определяет прямую, параллельную вектору							и
проходящую через точку с координатами							, , .
4.Прямая, проходящая через две точки M ( координаты, ,
, , ) и N ( координаты				, , )

Угол между прямыми

Условие параллельности прямых