- •ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ
- •Типы векторов
- •Матрица
- •Характеристики и операции
- •файл сценария
- •Норма матрицы (Эвклидова).
- •Сложение и вычитание векторов.
- •Сложение и вычитание матриц.
- •Умножение вектора на константу.
- •Обращение матрицы методом Гаусса-Жордана
- •Текстуальный алгоритм метода Гаусса-Жордана состоит из четырёх этапов.
ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ
Вектор
С упорядоченной последовательностью действительных
|
|
чисел a1,a2,a3,…,an-1,an можно связать понятие связанного |
a a |
вектора в n-мерном пространстве и обозначить как: |
|
или понятие точки A(a1,a2,a3,…,an).
Числа a1,a2,a3,…,an называются элементами(проекциями) вектора
a1a2
..
an
aили
координатами точки A, а количество элементов в векторе называется размерностью этого вектора. Положение элемента ai определяется индексом i,
где i = 1,2,· ··,n. Элементы вектора записываются в виде столбца.
1
Типы векторов
Нулевой – вектор, все компоненты которого равны |
|
0 |
a=[0;0;0]; |
|
0 |
||||
нулю и обозначается как: |
a |
a= zeros(3,1); |
||
|
|
|||
|
|
0 |
|
Единичный – вектор, длина которого |
a 0.6 ; |
|
0.62 0.82 |
1 a= [0.6; 0.8]; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равна единице: |
0.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Транспонированный - |
вектор, который |
|
|
|
aT a |
|
a |
|
a |
|
|
at= a’; |
||
|
a |
a |
2 |
1 |
2 |
3 |
||||||||
|
представлен строкой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
Матрица
Совокупность чисел расположенных в прямоугольной таблице, состоящей из n строк и m столбцов, называется матрицей и обозначается как:
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
a1m |
|
|
|
a22 |
a23 |
a2m |
|
|
A A a21 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an2 |
|
|
|
|
|
an1 |
an3 anm |
Положение элемента aij в матрице определяется двумя индексами (i и j), где i определяет номер строки , а j – номер столбца .
3
|
Типы матриц |
|
Матрица, состоящая из одной строки |
A=[1 2 3]; или A=[1:3] |
|
называется вектор строка n=1 |
С =[1 3 5 7 9]; или C=[1:2:9]; |
|
Матрица, состоящая из одного столбца |
A=[1;2;3]; |
|
называется вектор столбец m=1 |
|
|
Если n равно m матрица называется квадратной |
A=[1 2 3;4 3 2;0 1 3]; |
|
Верхне треугольная |
aij=0 при i>j |
A=[1 2 3;0 2 3;0 0 4]; |
Нижне треугольная |
aij=0 при i<j |
A=[1 0 0;2 3 0;1 2 3]; |
Диагональная |
aij 0 при i j |
A=[3 0 0;0 2 0; 0 0 5]; |
Единичная |
1 при i j |
E=[1 0 0;0 1 0;0 0 1]; |
eij |
E=eye(3); |
|
|
0 при i j |
Транспонированная
матрица в которой строки заменены AT=A’; на соответствующие столбцы
atj,i ai, j , |
где i 1,2,3,...,n; j 1,2,3,...,m |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Равенство матриц |
A |
B |
т.е. aij= bij где i=1,2,3,…,n |
j=1,2,3,…,m 4 |
Характеристики и операции
Норма (длина) вектора
|
|
|
|
n |
|
a |
ai2 |
|
|
|
i 1 |
Пример.
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
22 32 3.61 |
||||
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Начало
n, a
s:=0
i:=1 шаг 1 до n
s : s ai2
s : s
s
nor=sqrt(sum(a.^2));
nor=norm(a);
Конец |
5 |
|
файл сценария
clc n=input('n='); a=inpVec(n,’a’); disp(nVec(n,a));
Файл функция |
Файл функция |
function vec=inpVec(n,nameVec); |
function nor=nVec(n,a); |
for i=1:n |
s=0; |
vec(i,1)=input(sprintf('%s(%g)=',nameVec,i)); |
for i=1:n |
end |
s=s+a(i)^2; |
|
end |
|
nor=sqrt(s); |
6
Норма матрицы (Эвклидова).
файл сценария
clc n=input('n='); m=input(‘m=‘);
A= inpMatr(n,m,’A’); Nor_A=nMatr(n,m,A); disp(Nor_A); disp(norm(A,'fro'));
Файл функция
|
|
|
|
n m |
|
A |
ai,2 j |
|
|
|
i 1 j 1 |
Nor_A=sqrt(sum(A.^2));
Nor_A=norm(A,’fro’);
Файл функция
function nor=nMatr(n,m,A); s=0;
for i=1:n for j=1:m
s=s+A(i,j)^2; end
end nor=sqrt(s);
function matr=inpMatr(n,m,nameMatr); for i=1:n
for j=1:m matr(i,j)=input(sprintf('%s(%g,%g)=',nameMatr,i,j));
end end
7
Сложение и вычитание векторов.
Складывать или вычитать можно только вектора с одинаковой размерностью.
|
|
|
|
|
c |
a |
b |
ci ai bi , i 1,2,3,..,n |
c=a+b; |
файл сценария
clc n=input('n='); a=inpVec(n,'a'); b=inpVec(n,'b');
c=addVec(n,a,b); disp(' c'); disp(c)
Файл функция
function vec=addVec(n,a,b); for i=1:n
vec(i)=a(i)+b(i); end
Сложение и вычитание матриц.
Складывать |
или вычитать |
можно только матрицы |
с одинаковой |
|||
|
|
|
|
|
|
|
размерностью. |
|
|
|
|||
C |
A B; |
cij aij bij, i 1,2,3,...,n; |
j 1,2,3,...,m |
C=A+B; |
||
|
|
|
файл сценария |
|
|
|
|
|
|
n=input('n='); |
|
|
|
|
|
|
m=input('n='); |
|
|
|
|
|
|
A= inpMatr(n,m,’A’); |
|
|
|
|
|
|
B= inpMatr(n,m,’B’); |
|
|
|
|
|
|
C= addMatr(n,m,A,B); |
|
||
|
|
|
disp(‘ |
C’); disp(C); |
|
Файл функция
function matr=addMatr(n,m,A,B); for i=1:n
for j=1,m matr(i,j)=A(i,j)+B(i,j)
end
end |
9 |
|
Умножение вектора на константу.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c a |
ci ai |
, i 1,2,3,...,n |
|
c=λ*b; |
|||||||
|
|
|
|
Умножение матрицы на константу. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
C A; ci, j ai, j |
i 1,2,3,...,n; j 1,2,3,...,m |
C= λ *B; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Скалярное произведение векторов |
|
|||
Это значение суммы произведений соответствующих компонент двух |
|||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
векторов. |
|
|
|
|
|
|
|
i 1,2,3,..., n |
|
|
|
z ( a , b) aT b ai bi , |
|
z=a’ * b; |
|||||||||
|
|
|
2 |
i 1 |
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 3 5 23 |
|
||||
Пример |
a |
|
b |
|
|
z 2 3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
|
|
5 |
5 |
|
|
||
Файл функция |
|
|
|
|
|
|
|
||||
function sp=scalpr(n,a,b); |
|
|
z=scalpr(n,a,b); |
||||||||
sp=0; |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|||
for i=1:n |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|||
|
sp=sp+a(i)*b(i); |
|sp=sum(a.*b); |
|
||||||||
end |
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Угол между векторами. |
|
|
cos( ) |
|
|
|
|
aT b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Косинус угла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r=a’*b/(norm(a)*norm(b)) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ортогональность векторов |
|
cos( ) 0 т.е. aT b 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Линейная зависимость векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(i) |
|
|
|
|||||||
(i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|||
Вектора a |
называются линейно зависимыми, если соотношение |
i a |
|
0 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
справедливо, хотя бы при одном множителе |
i |
отличным от нуля. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
(1) |
2 |
(2) |
|
1 |
(1) |
|
|
|
(2) |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
0 |
|||||||
Пример: |
a |
|
; a |
|
a |
|
2 |
a |
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
0 |
1 2 2 1 0 |
2 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 4 2 2 0 |
1 4 1 4 0 1 0 0 при любом 1 |
|
|
|
|
|
|
|
11
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cnm Ank Bkm |
|
|||||
C |
A B |
B A |
|
|
||||
оличество столбцов матрицы |
Aдолжно равняться количеству строк матрицы |
B |
||||||
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
Элемент |
вычисляется как скалярное произведение i-й строки матрицы |
|
||||||
|
ij |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и j-го столбца матрицы |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
cij ail blj |
|
|
C=A*B; |
|
|
|
|
|
l 1 |
|
|
|
|
Файл функция |
|
|
|
|
|
|||
function RM=multMatr(n,k,m,A,B); |
|
|
|
|
||||
for i=1:n |
|
|
|
|
|
|
|
|
for j=1:m |
|
|
| |
|
C=multMatr(n,k,m,A,B); |
|||
|
s=0; |
|
|
|
||||
|
for ℓ=1:k |
| |
|
|
|
|
||
|
s=s +A(i,ℓ) *B(ℓ,j); |
|RM(i,j)=A(i,:)*B(:,j); |
|
|
|
|||
|
end |
|
|
| |
|
|
|
|
|
RM(i,j)=s; |
| |
|
|
|
|
||
end |
|
|
Умножение матриц. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
end |
12 |
|