ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Пусть на отрезке [a; b] определена непрерывная функция f(x). f=inline(‘<функция>');
|
b |
Требуется определить значение определенного интеграла |
I f (x)dx F(b) F(a), |
|
a |
которое числено равно площади S фигуры, ограниченной графиком функции f(x) и осью x, на заданном отрезке [a; b]. Для приближенного вычисления площади, разобьем отрезок [a; b] на n равных элементарных отрезков точками:
x =a, x = a+h, x =x +h,…,x =x +h,…,x =b, |
|
где h b |
a |
– шаг разбиения. |
||||||||||||||||||||
0 |
1 |
2 1 |
|
|
i |
i–1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Значение функции f(x) в точках разбиения xi обозначим через yi. |
|
x=a:h:b; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
plot(x,f(x),'k-') |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yn–1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yi–1 |
yi |
yi+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
y0 |
y1 |
y2 |
y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · |
|
|
|
|
|
|
|
· · · |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
s0 |
|
s1 |
|
s2 |
|
|
|
si-1 |
|
|
si |
|
|
|
sn-1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0=a |
x1 |
x2 |
x3 |
· · |
xi–1 |
xi xi+1 |
· |
· |
xn–1 xn=b |
x |
1 |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
· |
· |
|
|
|
Площадь S можно вычислить как сумму элементарных площадей определенных для соответствующих элементарных отрезков длиной h:
S = s0+s1+s2+…si+…..+sn–1
Произвольную площадь si можно вычислить, как определенный интеграл на отрезке [xi;xi+1] от более простой функции φi(x), которой заменим реальную функцию f(x):
xi 1
si i (x)dx
xi
Вид функции φi(x) будет определять название метода.
Методы прямоугольников
Значение функции φi(x) на отрезке [xi;xi+1] принимается константой
Метод прямоугольников вперед.
Для функции φi(x) = yi значения элементарной si и общей S площади можно вычислить как: |
|||||||||||
xi 1 |
|
xi 1 |
yi (xi 1 xi ) yi h |
S |
n 1 |
|
n 1 |
y |
|
||
si |
yidx yi x |
|
|
s |
|
h |
|
||||
|
|
xi |
|
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
||||||||
xi |
|
|
|
|
|
i 0 |
|
|
i 0 |
|
|
Метод прямоугольников назад.
Для функции φi(x) = yi+1 значения элементарной si и общей S площади можно вычислить как:
xi 1 |
|
xxii 1 yi 1 (xi 1 xi ) yi 1 h |
n 1 |
n 1 |
si yi 1dx yi 1 x |
|
S si h yi 1 2 |
||
|
||||
xi |
i 0 |
i 0 |
|
|
|
|
Метод прямоугольников в среднем. |
|
|
|
|
|||
Вычислим |
x |
i |
1 |
|
xi |
1 h |
и значение функции |
i (x) y |
i |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
Тогда значения элементарной si и общей S площади можно вычислить как:
|
|
xi 1 |
|
|
|
|
|
xi 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n 1 |
|
|
|
||
s |
|
y |
|
dx y |
|
|
x |
y |
|
(x |
|
x |
) y |
|
h |
|
|
|
|
|
|||||
|
i |
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
x |
i |
|
1 |
2 |
i 1 |
i |
|
1 |
2 |
S |
|
s |
i |
h |
y |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
xi |
i |
i |
|
|
|
i |
|
|
|
i |
|
|
|
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 0 |
|
|
i 0 |
|
|
x=a:h:b-h; |
x=a+h:h:b; |
x=a+h/2:h:b; |
|
S=h*sum(f(x)); |
S=h*sum(f(x)); |
||
S=h*sum(f(x)); |
|||
|
|
Метод трапеций
Функцию φi(x) будем определять как линейную на отрезке [xi;xi+1], т.е. ее график должен
проходить через две смежные точки (xi,yi) и (xi+1,yi+1). Функцию φi(x) можно будет представить как интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по двум точкам
(xi,yi) и (xi+1,yi+1): |
i (x) Li (x) yi (x xi 1 ) |
yi 1 |
|
(x xi ) |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(xi xi 1 ) |
|
|
|
|
(xi 1 xi ) |
|
|
|||
тогда значения элементарной si площади можно вычислить как: |
|
|
||||||||||||||||
|
|
x 1 |
x |
1 |
|
|
(x xi 1 ) |
|
|
x |
1 |
|
|
(x xi ) |
|
|||
s |
|
i L |
(x)dx i |
|
|
y |
|
dx |
i |
|
|
y |
|
dx |
||||
i |
|
|
i |
|
|
i 1 |
|
|||||||||||
|
i |
|
|
(xi xi 1 ) |
|
|
(xi 1 |
xi ) |
3 |
|||||||||
|
|
x |
x |
i |
|
|
|
x |
i |
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем переменную t |
x xi |
h |
Тогда x = xi + h·t и dx = h·dt. Значениям x, равным xi, xi+1 соответствуют значения t, равные 0,
1. Значение (x-xi) = xi–xi + h·t = h·t. Значение (x-xi+1) = xi – xi+1+ h·t = h(t-1). Элементарную площадь si с использование новой переменной определим как:
1 y |
h(t 1)hdt |
1 y |
ht |
hdt h(1 y |
(1 t)dt |
1 y |
tdt) h(y |
(t |
|
1 |
|
t 2 |
|
|
1 ) y |
|
t 2 |
|
|
1 ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
i |
( h) |
i 1 |
(h) |
i |
|
i 1 |
i |
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
i 1 2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h ( yi (1 |
1) yi 1 |
1 ) h yi yi 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n 1 |
|
n 1h |
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
S si |
|
|
2 |
(yi |
yi 1 ) |
2 |
(y0 y1 |
y1 y2 |
y2 |
... yn 1 |
yn 1 yn ) |
|
|||||||||||||||||
|
|
i 0 |
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
h |
(y |
|
2y |
|
|
2y |
|
2y |
|
.... 2y |
|
y |
|
y |
0 |
y |
n |
|
n 1 |
y |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
0 |
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
n 1 |
|
|
n |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
i |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|||
|
|
x=a:h:b-h; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x=a:h:b; |
|
|
|
|
x=a:h:b; |
|
|
|
|
||||||||
|
|
S=h*sum((f(x) |
|
|
|
|
|
S=trapz(x,f(x)); |
|
|
|
S=h*trapz(f(x)); |
4 |
+f(x+h))/2);
Метод Симпсона
Определим точку xi+½ = xi+½·h в середине элементарного отрезка [xi;xi+1] и значение функции в этой точке yi+½
Функцию φi(x) будем определять как квадратичную на отрезке [xi;xi+1], т.е. её график
должен проходить через три смежные точки (xi,yi),(xi+½,yi+½) и (xi+1,yi+1). Функцию φi(x) можно будет представить как интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по трём точкам xi, xi+½ и xi+1:
|
i (x) Li (x) yi |
(x xi 1/ |
2 )(x xi 1 ) |
|
|
||||
|
(xi xi 1/ |
|
|
|
|||||
|
|
|
2 )(xi |
xi 1 ) |
|
|
|||
yi 1/ 2 |
(x |
xi )(x xi 1 ) |
|
yi 1 |
|
(x |
xi )(x |
xi 1/ 2 ) |
|
(xi 1/ 2 |
xi )(xi 1/ 2 xi 1 ) |
|
(xi 1 |
xi )(xi 1 xi 1/ 2 ) |
|||||
|
|
|
Тогда значения элементарной si площади можно вычислить как:
|
|
|
xi 1 |
|
xi 1 |
|
xi 1 |
|
|
(x |
x |
i 1/ |
2 |
)(x |
x |
i 1 |
) |
|
s |
i |
|
|
(x)dx |
L |
(x)dx |
|
y |
i |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
i |
|
i |
|
|
(xi |
xi 1/ |
2 )(xi |
xi 1 ) |
|
|||||||
|
|
|
xi |
|
xi |
|
xi |
|
|
|
|
|
(x |
xi )(x xi 1 ) |
|
|
(x |
xi )(x xi 1/ 2 ) |
|
|
||
y |
i 1/ 2 |
|
|
|
y |
i 1 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(xi 1/ 2 |
|
xi )(xi 1/ 2 xi 1 ) |
|
(xi 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
xi )(xi 1 xi 1/ 2 ) |
5 |
Введем переменную |
t |
x |
xi |
тогда x = xi + h·t и dx = h·dt. |
h |
|
|||
|
|
|
|
Значениям x, равным xi, xi+½, xi+1 соответствуют значения t, равные 0,½,1 Значение (x-xi) = xi–xi + h·t = h·t. Значение (x-xi+½) = xi – xi+½ + h·t = h(t- ½) Значение (x-xi+1) = xi – xi+1+ h·t = h(t-1)
Элементарную площадь si с использование новой переменной определим как:
1 |
|
h(t |
1 |
)h(t |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
hth(t |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
hth(t 1) |
|
2 |
) |
|||||||||||
si yi |
|
|
|
yi 1/ 2 |
yi 1 |
|
|
|
hdt |
||||||||
|
h |
|
|
|
h |
|
h |
|
|
h |
|
|
|||||
0 |
|
( |
)( h) |
|
|
( |
)( |
) |
|
(h)( |
) |
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
(y |
|
(t |
2)(t 1) |
) y |
|
|
t(t 1) |
y |
|
|
t(t |
2) |
)hdt |
|||||
i |
|
i 1/ 2 |
|
i 1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
||||
0 |
|
|
|
|
2) |
|
|
|
|
( 4) |
|
|
|
2) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(2t 2 |
3t 1) 4y |
|
|
(t 2 |
t) y |
|
|
(2t 2 |
t))dt |
||||||||
h (y |
i 1/ 2 |
i 1 |
|||||||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
h (y |
(2 |
t3 |
|
3 |
t 2 |
|
t |
|
) 4y |
|
( |
t3 |
|
|
|
|
t 2 |
|
|
) y |
|
(2 |
t3 |
|
|
t 2 |
|
) ) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
i |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
i 1/ 2 |
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
i 1 |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
h (yi ( |
2 |
|
3 |
1) yi 1/ 2 |
4(1 |
|
1) yi 1 ( |
2 |
|
1) ) h(yi |
1 |
|
yi 1/ 2 |
4 |
yi 1 |
1) |
||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
6 |
|
6 |
h6 (yi 4yi 1/ 2 yi 1)
Тогда значения общей S площади можно вычислить как:
|
|
S |
n 1 |
|
h |
n 1 |
|
|
4y |
|
y |
|
) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
s |
i |
|
|
(y |
i |
i 1/ 2 |
i 1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
i 0 |
|
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
S h (y |
0 |
4y |
2y |
1 |
4y |
3/ 2 |
2y |
2 |
... 2y |
n 1 |
4y |
n 1/ 2 |
y |
n |
) |
|||||||||
6 |
1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x=a+h:h:b-h; |
|
xs=a+h/2:h:b; |
S=quad(f,a,b); |
S=h/6*(f(a)+f(b)+2*sum(f(x))+4*sum(f(xs))); |
|
|
7 |