Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
19
Добавлен:
13.02.2015
Размер:
155.65 Кб
Скачать

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Пусть на отрезке [a; b] определена непрерывная функция f(x). b

Требуется определить значение определенного интеграла I f (x)dx F(b) F(a),

a

которое числено равно площади S фигуры, ограниченной графиком функции f(x) и осью x, на заданном отрезке [a; b]. Для приближенного вычисления площади, разобьем отрезок [a; b] на n равных элементарных отрезков точками:

x0=a, x1= a+h, x2=x1+h,…,xi=xi–1+h,…,xn=b, где h b a

– шаг разбиения.

n

 

Значение функции f(x) в точках разбиения xi обозначим через yi.

f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yn–1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yi–1

yi

yi+1

 

 

 

 

 

 

 

 

y0

y1

y2

y3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

· ·

 

 

 

 

 

 

 

· · ·

 

 

 

 

 

 

 

s0

 

s1

 

s2

 

 

 

si-1

 

 

si

 

 

 

sn-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0=a

x1

x2

x3

· ·

xi–1

xi

xi+1

·

·

xn–1

xn=b

x

 

 

 

·

·

 

 

Площадь S можно вычислить как сумму элементарных площадей определенных для соответствующих элементарных отрезков длиной h:

S = s0+s1+s2+…si+…..+sn–1

Произвольную площадь si можно вычислить, как определенный интеграл на отрезке [xi;xi+1] от более простой функции φi(x), которой заменим реальную функцию f(x):

xi 1

si i (x)dx

xi

Вид функции φi(x) будет определять название метода.

Методы прямоугольников

Значение функции φi(x) на отрезке [xi;xi+1] принимается константой

Метод прямоугольников вперед.

Для функции φi(x) = yi значения элементарной si и общей S площади можно вычислить как:

xi 1

 

xi 1

yi (xi 1 xi ) yi h

S

n 1

 

n 1

y

 

si

yidx yi x

 

 

s

 

h

 

 

 

xi

 

 

 

 

i

 

 

i

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

i 0

 

 

i 0

 

 

Метод прямоугольников назад.

Для функции φi(x) = yi+1 значения элементарной si и общей S площади можно вычислить как:

xi 1

 

xxii 1 yi 1 (xi 1 xi ) yi 1 h

n 1

n 1

si yi 1dx yi 1 x

 

S si h yi 1

 

xi

i 0

i 0

 

 

 

 

Метод прямоугольников в среднем.

 

 

 

 

Вычислим

x

i

1

 

xi

1 h

и значение функции

i (x) y

i

1

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

2

Тогда значения элементарной si и общей S площади можно вычислить как:

 

 

xi 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi 1 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

n 1

 

 

 

s

 

 

y

 

 

dx y

 

 

x

 

 

 

 

 

 

(x

 

x

 

) y

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

i

1

2

 

 

i

1

2

 

x

i

 

 

 

i

 

1

2

 

i 1

 

 

i

 

 

i

1

2

 

S

 

 

s

i

h

y

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 0

 

 

 

i 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод трапеций

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функцию φi(x) будем определять как линейную на отрезке [xi;xi+1], т.е. ее график должен

проходить через две смежные точки (xi,yi) и (xi+1,yi+1). Функцию φi(x) можно будет

 

 

 

представить как интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по двум точкам

 

(xi,yi) и (xi+1,yi+1):

i (x) Li (x) yi

(x xi 1 )

 

yi 1

 

(x xi )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(xi xi 1 )

 

 

 

 

 

(xi 1 xi )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тогда значения элементарной si площади можно вычислить как:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

x

1

 

 

 

(x xi 1 )

 

 

 

x

 

1

 

 

(x xi )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

i

i

L

(x)dx i

 

 

 

y

i

 

dx i

 

 

y

i 1

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

(xi xi 1 )

 

 

 

 

 

 

(xi 1

xi )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x

i

 

 

 

 

 

 

x

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введем переменную

 

 

t

x

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда x = xi + h·t и dx = h·dt. Значениям x, равным xi, xi+1 соответствуют значения t, равные 0,

1. Значение (x-xi) = xi–xi + h·t = h·t. Значение (x-xi+1) = xi – xi+1+ h·t = h(t-1). Элементарную площадь si с использование новой переменной определим как:

1 y

h(t 1)hdt

1 y

ht

hdt h(1 y

(1 t)dt

1 y

tdt) h(y

(t

 

1

 

t 2

 

 

1 ) y

 

t 2

 

 

1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

i

( h)

i 1

(h)

i

 

i 1

i

 

 

0

 

2

 

 

 

i 1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h ( yi (1

1) yi 1

1 ) h yi yi 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

n 1h

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S si

2

(yi

yi 1 )

2

(y0

y1 y1

y2

y2 ... yn 1

yn 1 yn )

i 0

 

i 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

(y

 

2y

 

2y

 

2y

 

.... 2y

 

y

 

y

0

y

n

 

n 1

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

2

3

n 1

n

) h

 

 

 

 

i

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

Метод Симпсона

Определим точку xi+½ = xi+½·h в середине элементарного отрезка [xi;xi+1] и значение функции в этой точке yi+½

Функцию φi(x) будем определять как квадратичную на отрезке [xi;xi+1], т.е. её график

должен проходить через три смежные точки (xi,yi),(xi+½,yi+½) и (xi+1,yi+1). Функцию φi(x) можно будет представить как интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по трём точкам xi, xi+½ и xi+1:

 

i (x) Li (x) yi

(x xi 1/

2 )(x xi 1 )

 

 

 

(xi xi 1/

 

 

 

 

 

 

2 )(xi

xi 1 )

 

 

yi 1/ 2

(x

xi )(x xi 1 )

 

yi 1

 

(x

xi )(x

xi 1/ 2 )

(xi 1/ 2

xi )(xi 1/ 2 xi 1 )

 

(xi 1

xi )(xi 1 xi 1/ 2 )

 

 

 

Тогда значения элементарной si площади можно вычислить как:

 

 

 

xi 1

 

xi 1

 

xi 1

 

 

(x

x

i 1/

2

)(x

x

i 1

)

 

s

i

 

 

(x)dx

L

(x)dx

 

y

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

i

 

 

(xi

xi 1/

2 )(xi

xi 1 )

 

 

 

 

xi

 

xi

 

xi

 

 

 

 

 

(x

xi )(x xi 1 )

 

 

(x

xi )(x xi 1/ 2 )

 

y

i 1/ 2

 

 

 

y

i 1

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

(xi 1/ 2

 

xi )(xi 1/ 2 xi 1 )

 

(xi 1

 

 

 

 

 

 

 

xi )(xi 1 xi 1/ 2 )

Введем переменную

t

x

xi

тогда x = xi + h·t и dx = h·dt.

h

 

 

 

 

 

Значениям x, равным xi, xi+½, xi+1 соответствуют значения t, равные 0,½,1 Значение (x-xi) = xi–xi + h·t = h·t. Значение (x-xi+½) = xi – xi+½ + h·t = h(t- ½) Значение (x-xi+1) = xi – xi+1+ h·t = h(t-1)

Элементарную площадь si с использование новой переменной определим как:

1

 

h(t

1

)h(t

1)

 

 

 

 

 

 

 

hth(t

1

 

 

 

2

 

hth(t 1)

 

2

)

si yi

 

 

 

yi 1/ 2

yi 1

 

 

 

hdt

 

h

 

 

 

h

 

h

 

 

h

 

 

0

 

(

)( h)

 

 

(

)(

)

 

(h)(

)

 

 

 

 

2

 

 

2

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

(y

 

(t

2)(t 1)

) y

 

 

t(t 1)

y

 

 

t(t

2)

)hdt

i

 

i 1/ 2

 

i 1

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

0

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

( 4)

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

(2t 2

3t 1) 4y

 

 

(t 2

t) y

 

 

(2t 2

t))dt

h (y

i 1/ 2

i 1

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h (y

(2

t3

 

3

t 2

 

t

 

) 4y

 

(

t3

 

 

 

 

t 2

 

 

) y

 

(2

t3

 

 

t 2

 

) )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

i 1/ 2

3

 

 

 

 

2

 

 

 

 

i 1

 

3

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h (yi (

2

 

3

1) yi 1/ 2

4(1

 

1) yi 1 (

2

 

1) ) h(yi

1

 

yi 1/ 2

4

yi 1

1)

 

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

 

 

 

 

3

 

2

 

 

6

 

 

 

 

 

6

 

6

h6 (yi 4yi 1/ 2 yi 1)

Тогда значения общей S площади можно вычислить как:

 

 

S

n 1

 

h

n 1

 

 

4y

 

y

 

)

 

 

 

 

 

 

 

s

i

 

 

(y

i

i 1/ 2

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 0

 

 

 

i 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S h (y

0

4y

2y

1

4y

3/ 2

2y

2

... 2y

n 1

4y

n 1/ 2

y

n

)

6

1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Соседние файлы в папке Лекции по ВычМат VBA