Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
17
Добавлен:
13.02.2015
Размер:
214.02 Кб
Скачать

Приближение функции.

Для заданных на отрезке значениях независимой переменной xi и соответствующих им значениях зависимой переменнойyi (i=0,1,2,…,n) определить аналитическую зависимость.y=f(x)

Основные этапы при приближение функции.

.

Выбор вида зависимости

Выбор критерия

Выбор узловых точек

Оценка точности

Интерполяция.

Определение аналитической зависимости функции, между x и y в виде некоторой функции f(x), которая в узловых точках принимает заданные значения.

f(xi)=yi, где i=0,1,2,…,n .

Интерполяция используется для замены реальной сложной функции более простой на небольшом интервале области определения функции, а также для вычислений промежуточных значений функции заданной таблично.

Метод с использование многочлена Лагранжа.

Пусть в n+1 узловой точке x0, x1, x2, …, xn определены значения y0, y1, y2, …, yn. Требуется построить многочлен L(x) степени не выше n, который принимает в узловых

точках заданные значения, т.е. L(x0)=y0, L(x1)=y1, L(x2)=y2, …, L(xn)=yn.

1

Рассмотрим многочлен вида

 

i (x) сi (x x0 )(x x1)...(x xi 1)(x xi 1)...(x xn 1)(x xn )

(1)

где i = 0,1,2,3,…….,n, который только в точке xi принимает значениеyi , а в остальных равен нулю.

 

 

 

(x

j

) yi при i j

j 0,1,2, , n

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 при i j

 

 

 

 

 

 

 

 

из этого условия можно определить ci:

 

i (xi) ci(xix0 )(xix1)...(xixi1)(xi

xi1)...(xixn1)(xixn) yi

 

сi

 

 

 

 

 

 

 

yi

 

 

 

 

 

(xi

x0 )(xi

x1)...(xi xi 1)(xi

xi 1)...(xi xn 1)(xi xn )

 

 

 

 

 

 

 

и тогда многочлен (1) примет вид:

 

i (x) yi

 

(x x0 )(x

x1)...(x

xi 1)(x

xi 1)...(x xn 1)(x xn )

 

(2)

(xi x0 )(xi

x1)...(xi

xi 1)(xi

xi 1)...(xi xn 1)(xi xn )

Многочлен, который в n+1 узловой точке будет принимать заданные значения, можно представить как сумму многочленов вида (2).

 

 

n

 

 

 

 

 

 

L(x) i (x)

 

 

 

 

(x x0 )(x

i 0

xi 1)...(x xn 1)(x xn )

 

n

x1)...(x

xi 1)(x

 

L(x) yi

 

 

 

 

 

2

(xi x0 )(xi

x1)...(xi

xi 1)(xi

xi 1)...(xi

xn 1)(xixn)

i 0

 

 

 

 

 

 

 

Пример. По заданным точкам

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

0

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

-1.000

 

 

0.000

1.000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yi

1.0000

 

 

0.0000

1.0000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определить интерполяционный многочлен L(x).

 

 

 

 

 

0 (x) y0

 

 

(x

x1)(x x2 )

1

 

(x

0)(x 1)

 

 

1

x

2

 

1

x

(x0

x1)(x0 x2 )

( 1

0)( 1 1)

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

x0 )(x

x2 )

 

 

(x 1)(x 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1(x) y1

 

 

 

0

(0 1)(0 1) 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x1 x0 )(x1

x2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

(x) y2

 

(x

x0 )(x x1)

 

1

(x 1)(x 0)

 

1

x

2

 

1

x

 

(x2

x0 )(x2 x1)

(1

1)(1 0)

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L(x)=x2

3

Аппроксимация.

Метод наименьших квадратов

Пусть данные некоторого эксперимента представлены в виде таблицы значений независимой переменной x и зависимой переменной y:

i

xi

yi

0

x0

y0

1

x1

y1

2

x2

y2

 

 

 

n

xn

yn

Требуется отыскать аналитическую зависимость f(x,a0,a1,…,am), являющуюся функцией одной независимой переменной x и параметров a0,a1,a2,…,am, которая наилучшим образом

описывала бы эти экспериментальные данные в смысле минимума квадратичного критерия рассогласования R(a0,a1,…,am):

n

yi f (xi , a0

, a1, , am )2

R

i 0

 

 

4

Функцию f(x,a0,a1,…,am) определим как полином степени m вида:

_ m j 2 m

f (x,a ) a j x a0 a1x a2x amx

j 0

Надо найти такие значения параметров, при которых квадратичный критерий рассогласования имел бы минимальное значение

n

yi (a0 a1xi a2 xi2 am xim )2 min

R

i 0

 

Вывод формулы для определения параметров в матричном виде рассмотрим на примере полинома второй степени (m=2).

_

f (x,a) a0 a1x a2x2

Тогда критерий R будет являться функцией трёх переменных a0,a1,a2 :

n

yi (a0 a1xi a2 xi2 )2

R R(a0,a1, a2 )

i 0

 

5

Необходимые условия минимума критерия R имеют вид:

 

 

R

 

2

n

yi

(a0 a1xi a2 xi2 ) ( 1) 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a0

 

 

i 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

n

yi

(a0 a1xi a2 xi2 ) ( xi ) 0

 

 

 

2

 

 

 

 

 

a1

 

 

i 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

yi

(a0 a1xi a2 xi2 ) ( xi2 ) 0

 

 

 

 

 

a 2

 

 

i 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n

2

 

2

n

 

 

 

 

1

a0

xi

a1

 

xi

a

yi

 

 

 

 

i 0

 

 

 

 

i 0

 

 

 

i 0

 

 

 

i 0

 

 

 

n

 

 

 

 

 

n

2

 

 

 

n

3

 

 

n

 

 

xi

a0

 

xi

a1

 

xi

a 2

yixi

 

i 0

 

 

 

 

i 0

 

 

 

i 0

 

 

 

i 0

 

 

 

n

2

 

 

 

 

n

3

 

 

 

n

4

 

2

n

2

 

xi

a0

 

xi

a1

 

xi

a

yixi

 

i 0

 

 

 

 

i 0

 

 

 

i 0

 

 

 

i 0

 

6

Полученную линейную относительно искомых параметров a0,a1,a2, систему уравнений

запишем в матричном виде:

 

n

 

n

 

n

2

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

1

xi

xi

 

 

 

 

 

 

yi

 

 

_ _

 

 

 

i 0

 

i 0

2

i 0

3

 

_

a0

_

i 0

 

 

где

 

 

n

 

n

n

 

 

 

 

n

 

 

N a b

N

 

xi

xi

xi

 

a a1

b

 

yixi

 

 

 

 

i 0

 

i 0

 

i 0

 

 

 

 

 

i 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

 

 

 

 

 

 

 

n

2

n

3

n

4

 

 

n

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

xi

xi

 

 

 

 

 

 

yixi

 

 

 

 

i 0

 

i 0

 

i 0

 

 

 

 

 

 

i 0

_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для удобства формирования матрицы коэффициентов N и столбца свободных членовb

 

 

 

1

x0

введем матрицу Ф элементы которой определяются

 

 

 

1

x1

 

Ф

 

через значения независимой переменной xi, i=0,1,2,…,n

 

 

 

 

 

 

xn

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

T

1

1

1

1 x0

x02

 

_ T

_

1

N

Ô Ô

 

x

 

x

x

 

 

1

x1

x1

 

b Ô

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y x

 

 

 

 

 

0

1

 

n

 

 

 

 

0

 

 

x02

x12

xn2

 

1 x

n

x2

 

 

 

x02

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

x02x12

x2n

1

x1

x12

тогда

 

1

y0

 

y

 

x

 

 

1

 

2n

 

 

 

 

 

xn

 

 

 

 

 

 

yn

 

7

При аппроксимации полиномами высших порядков матрица Ф будет иметь вид:

 

 

1

x0

x02x0m

 

 

 

1

x1

2

m

 

элемент

 

 

x1

x1

 

Ф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

xn

xn2xnm

 

 

 

 

 

В общем случае

 

 

количество строк в матрицы

Ф равно

 

количеству точек, а количество столбцов

Ф

равно количеству параметров, где строка состоит из значений частных производных от функции f(x,a0,a1,…,am) по

соответствующему параметру.

ij xij , i 0,1,2,..., n,

 

 

 

 

 

 

 

f (x0, a )

 

f (x0, a )

 

 

a0

 

 

a1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x a )

 

 

f (x a )

 

 

1,

 

 

1,

 

 

 

a0

 

 

a1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (xn, a )

 

f (xn, a )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a0

 

 

a1

 

 

 

 

j0,1,2,..., m

f (x0, a )

am

 

 

 

 

 

 

 

f (x

a )

 

1,

 

 

 

 

am

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (xn,

 

 

 

 

a )

 

 

 

 

 

 

am

 

 

 

 

 

 

 

 

_

Пример. Определить параметры зависимости вида

f (x,a) a0 a1x

используя метод наименьших квадратов, по следующим экспериментальным данным:

i

0

1

2

3

 

xi

-1

0

1

2

8

yi

2

1

2

4

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф 1

0

 

T

1 1

1

1

 

1

1

 

Ф 1 0

1

2

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1 1 1

1

9

 

 

 

1 1 1 1

 

 

0

 

 

4 2

 

 

 

1

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0 1 2

 

 

8

N

1 0 1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

1

 

2 6

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4a

0

2a1

 

 

9

 

 

1.9

 

f (x) 1.9 0.7 x

R 2.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

2a0

6a1

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф 1

0

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

 

 

 

 

 

1

 

1

1

1

1

 

 

1

N

0

1

 

 

 

1

4

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4a

0

6a1

 

9

 

6a

 

18a1

 

20

 

0

y a0 a1 x2

1

 

 

0

4

6

 

 

 

1

 

6

18

 

 

 

4

 

 

_

1.67

a

 

 

0.72

T

1

1

1

1

Ф

 

0

1

 

 

1

4

 

 

 

 

 

2

 

 

_

1

1

1

1

 

 

 

9

 

1

b

0

1

 

 

2

 

 

 

1

4

 

 

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

y 1.67 0.72 x2

R 0.06

10

Соседние файлы в папке Лекции по ВычМат VBA

Калькулятор

Сервис бесплатной оценки стоимости работы

  1. Заполните заявку. Специалисты рассчитают стоимость вашей работы
  2. Расчет стоимости придет на почту и по СМС

Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с политикой конфиденциальности и на обработку персональных данных.

Номер вашей заявки

Прямо сейчас на почту придет автоматическое письмо-подтверждение с информацией о заявке.

Оформить еще одну заявку