- •Приближение функции.
- •Рассмотрим многочлен вида
- •Аппроксимация.
- •Функцию f(x,a0,a1,…,am) определим как полином степени m вида:
- •Необходимые условия минимума критерия R имеют вид:
- •Полученную линейную относительно искомых параметров a0,a1,a2, систему уравнений
- •При аппроксимации полиномами высших порядков матрица Ф будет иметь вид:
Приближение функции.
Для заданных на отрезке значениях независимой переменной xi и соответствующих им значениях зависимой переменной yi (i=0,1,2,…,n) определить аналитическую зависимость. y=f(x)
Основные этапы при приближение функции.
.
•Выбор вида зависимости
•Выбор критерия
•Выбор узловых точек
•Оценка точности
Интерполяция.
Определение аналитической зависимости функции, между x и y в виде некоторой функции f(x), которая в узловых точках принимает заданные значения.
f(xi)=yi, где i=0,1,2,…,n .
Интерполяция используется для замены реальной сложной функции более простой на небольшом интервале области определения функции, а также для вычислений промежуточных значений функции заданной таблично.
Метод с использование многочлена Лагранжа.
Пусть в n+1 узловой точке x0, x1, x2, …, xn определены значения y0, y1, y2, …, yn. Требуется построить многочлен L(x) степени не выше n, который принимает в узловых
точках заданные значения, т.е. L(x0)=y0, L(x1)=y1, L(x2)=y2, …, L(xn)=yn. |
1 |
Рассмотрим многочлен вида |
|
i (x) сi (x x0 )(x x1)...(x xi 1)(x xi 1)...(x xn 1)(x xn ) |
(1) |
где i = 0,1,2,3,…….,n, который только в точке xi принимает значение yi , а в остальных равен нулю.
|
|
|
(x |
j |
) yi при i j |
j 0,1,2, , n |
|
||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 при i j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из этого условия можно определить ci: |
|
|||||||||
i (xi ) ci (xi x0 )(xi x1)...(xi xi 1)(xi |
xi 1)...(xi xn 1)(xi xn ) yi |
|
|||||||||||
сi |
|
|
|
|
|
|
|
yi |
|
|
|
|
|
(xi |
x0 )(xi |
x1)...(xi xi 1)(xi |
xi 1)...(xi xn 1)(xi xn ) |
|
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
и тогда многочлен (1) примет вид: |
|
||||||||
i (x) yi |
|
(x x0 )(x |
x1)...(x |
xi 1)(x |
xi 1)...(x xn 1)(x xn ) |
|
(2) |
||||||
(xi x0 )(xi |
x1)...(xi |
xi 1)(xi |
xi 1)...(xi xn 1)(xi xn ) |
Многочлен, который в n+1 узловой точке будет принимать заданные значения, можно представить как сумму многочленов вида (2).
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
L(x) i (x) |
|
|
|
||
|
(x x0 )(x |
i 0 |
xi 1)...(x xn 1)(x xn ) |
|
|||
n |
x1)...(x |
xi 1)(x |
|
||||
L(x) yi |
|
|
|
|
|
2 |
|
(xi x0 )(xi |
x1)...(xi |
xi 1)(xi |
xi 1)...(xi |
xn 1)(xi xn ) |
|||
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
Пример. По заданным точкам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
0 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
xi |
-1.000 |
|
|
0.000 |
1.000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
yi |
1.0000 |
|
|
0.0000 |
1.0000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Определить интерполяционный многочлен L(x). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
0 (x) y0 |
|
|
(x |
x1)(x x2 ) |
1 |
|
(x |
0)(x 1) |
|
|
1 |
x |
2 |
|
1 |
x |
||||||||||||
(x0 |
x1)(x0 x2 ) |
( 1 |
0)( 1 1) |
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
(x |
x0 )(x |
x2 ) |
|
|
(x 1)(x 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1(x) y1 |
|
|
|
0 |
(0 1)(0 1) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(x1 x0 )(x1 |
x2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
(x) y2 |
|
(x |
x0 )(x x1) |
|
1 |
(x 1)(x 0) |
|
1 |
x |
2 |
|
1 |
x |
||||||||||||||
|
(x2 |
x0 )(x2 x1) |
(1 |
1)(1 0) |
2 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L(x)=x2
3
Аппроксимация.
Метод наименьших квадратов
Пусть данные некоторого эксперимента представлены в виде таблицы значений независимой переменной x и зависимой переменной y:
i |
xi |
yi |
0 |
x0 |
y0 |
1 |
x1 |
y1 |
2 |
x2 |
y2 |
|
|
|
n |
xn |
yn |
Требуется отыскать аналитическую зависимость f(x,a0,a1,…,am), являющуюся функцией одной независимой переменной x и параметров a0,a1,a2,…,am, которая наилучшим образом
описывала бы эти экспериментальные данные в смысле минимума квадратичного критерия рассогласования R(a0,a1,…,am):
n |
yi f (xi , a0 |
, a1, , a m ) 2 |
R |
||
i 0 |
|
|
4
Функцию f(x,a0,a1,…,am) определим как полином степени m вида:
_ m j 2 m
f (x,a ) a j x a0 a1x a2x amx
j 0
Надо найти такие значения параметров, при которых квадратичный критерий рассогласования имел бы минимальное значение
n |
yi (a0 a1xi a 2 xi2 a m xim ) 2 min |
R |
|
i 0 |
|
Вывод формулы для определения параметров в матричном виде рассмотрим на примере полинома второй степени (m=2).
_
f (x,a) a0 a1x a2x2
Тогда критерий R будет являться функцией трёх переменных a0,a1,a2 :
n |
yi (a0 a1xi a 2 xi2 ) 2 |
R R(a0,a1, a 2 ) |
|
i 0 |
|
5
Необходимые условия минимума критерия R имеют вид:
|
|
R |
|
2 |
n |
yi |
(a0 a1xi a 2 xi2 ) ( 1) 0 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
a0 |
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
n |
yi |
(a0 a1xi a 2 xi2 ) ( xi ) 0 |
||||||||||||
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
a1 |
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
R |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
yi |
(a0 a1xi a 2 xi2 ) ( xi2 ) 0 |
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
a 2 |
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
2 |
|
2 |
n |
|
||||
|
|
|
1 |
a0 |
xi |
a1 |
|
xi |
a |
yi |
|
|||||||||||
|
|
|
i 0 |
|
|
|
|
i 0 |
|
|
|
i 0 |
|
|
|
i 0 |
|
|||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
n |
3 |
|
|
n |
|
||||
|
xi |
a0 |
|
xi |
a1 |
|
xi |
a 2 |
yi xi |
|||||||||||||
|
i 0 |
|
|
|
|
i 0 |
|
|
|
i 0 |
|
|
|
i 0 |
|
|||||||
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
n |
3 |
|
|
|
n |
4 |
|
2 |
n |
2 |
||||
|
xi |
a0 |
|
xi |
a1 |
|
xi |
a |
yi xi |
|||||||||||||
|
i 0 |
|
|
|
|
i 0 |
|
|
|
i 0 |
|
|
|
i 0 |
|
6
Полученную линейную относительно искомых параметров a0,a1,a2, систему уравнений
запишем в матричном виде: |
|
n |
|
n |
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||
|
|
|
|
1 |
xi |
xi |
|
|
|
|
|
|
yi |
|
|
|||
_ _ |
|
|
|
i 0 |
|
i 0 |
2 |
i 0 |
3 |
|
_ |
a0 |
_ |
i 0 |
|
|
||
где |
|
|
n |
|
n |
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|||||
N a b |
N |
|
xi |
xi |
xi |
|
a a1 |
b |
|
yixi |
|
|||||||
|
|
|
i 0 |
|
i 0 |
|
i 0 |
|
|
|
|
|
i 0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
n |
2 |
n |
3 |
n |
4 |
|
|
n |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
xi |
xi |
xi |
|
|
|
|
|
|
yixi |
|
||||
|
|
|
i 0 |
|
i 0 |
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
i 0 |
_ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для удобства формирования матрицы коэффициентов N и столбца свободных членов b |
|
|
|
1 |
x0 |
введем матрицу Ф элементы которой определяются |
|
|
|
1 |
x1 |
||
|
Ф |
|
|
через значения независимой переменной xi, i=0,1,2,…,n |
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
T |
1 |
1 |
1 |
1 x0 |
x02 |
|
_ T |
_ |
1 |
|||||||
N |
Ô Ô |
|
x |
|
x |
x |
|
|
1 |
x1 |
x1 |
|
b Ô |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x |
|
||||||||
|
|
|
|
0 |
1 |
|
n |
|
|
|
|
0 |
|||||
|
|
x02 |
x12 |
xn2 |
|
1 x |
n |
x2 |
|
|
|
x02 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
x02 x12
x2n
1
x1
x12
тогда
|
1 |
y0 |
|
||
y |
|
||||
x |
|
|
1 |
|
|
2n |
|
|
|||
|
|
|
|||
xn |
|
|
|
||
|
|
|
yn |
|
7
При аппроксимации полиномами высших порядков матрица Ф будет иметь вид:
|
|
1 |
x0 |
x02 x0m |
|
||
|
|
1 |
x1 |
2 |
m |
|
элемент |
|
|
x1 |
x1 |
|
|||
Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
xn |
xn2 xnm |
|
||
|
|
|
|
В общем случае |
|
|
количество строк в матрицы |
Ф равно |
|
количеству точек, а количество столбцов |
Ф |
равно количеству параметров, где строка состоит из значений частных производных от функции f(x,a0,a1,…,am) по
соответствующему параметру.
ij xij , i 0,1,2,..., n,
|
|
|
|
|
|
||
|
f (x0, a ) |
|
f (x0, a ) |
||||
|
|
a0 |
|
|
a1 |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||||
|
f (x a ) |
|
|
f (x a ) |
|||
|
|
1, |
|
|
1, |
|
|
|
|
a0 |
|
|
a1 |
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
f (xn, a ) |
|
f (xn, a ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
a1 |
|||
|
|
|
|
j0,1,2,..., m
f (x0, a )
am
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x |
a ) |
||
|
1, |
|
|
|
|
|
am |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (xn, |
|
|
|
|
|
a ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
am |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
_ |
Пример. Определить параметры зависимости вида |
f (x,a) a0 a1x |
используя метод наименьших квадратов, по следующим экспериментальным данным:
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
xi |
-1 |
0 |
1 |
2 |
8 |
|
yi |
2 |
1 |
2 |
4 |
||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф 1 |
0 |
|
T |
1 1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
Ф 1 0 |
1 |
2 |
|
|
|
2 |
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 1 1 |
1 |
9 |
||||||||
|
|
|
1 1 1 1 |
|
|
0 |
|
|
4 2 |
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 1 2 |
|
|
8 |
||||||||||
N |
1 0 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
2 |
1 |
|
2 6 |
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4a |
0 |
2a1 |
|
|
9 |
|
|
1.9 |
|
f (x) 1.9 0.7 x |
R 2.3 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2a0 |
6a1 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф 1 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
||||
N |
0 |
1 |
|
|
|
|
1 |
4 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4a |
0 |
6a1 |
|
9 |
|
|
6a |
|
18a1 |
|
20 |
|
0 |
y a0 a1 x2
1 |
|
|
0 |
4 |
6 |
|
|
|
1 |
|
|
6 |
18 |
|
|
|
|
4 |
|
|
_ |
1.67 |
|
a |
|
|
|
0.72 |
T |
1 |
1 |
1 |
1 |
Ф |
|
0 |
1 |
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
_ |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
9 |
|
1 |
|||||||
b |
0 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
20 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
y 1.67 0.72 x2 |
R 0.06 |
10