Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
17
Добавлен:
13.02.2015
Размер:
180.74 Кб
Скачать

Система нелинейных уравнений (СНУ).

В общем случаи систему нелинейных уравнений можно записать как:

f1

(x1, x2

,x3,....., xn ) 0

 

 

 

 

f

2

(x , x

2

,x

3

,....., x

n

) 0

или

 

 

1

 

 

 

f ( x ) 0

 

. . . . . . . . .

 

 

 

 

f

n

(x , x

2

,x

3

,....., x

n

) 0

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решением СНУ является такой вектор

x*

при подстановке которого в систему последняя обращается в тождество.

 

Метод простых итераций.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Преобразуем Систему нелинейных уравнений к эквивалентному виду:

x

( x )

 

 

 

 

(0)

 

 

 

 

 

Выберем некоторое начальное приближение

x

Последующие приближения найдем

(1)

(0)

(2)

 

(1)

);

(3)

(2)

);

по формулам x

( x

); x

 

( x

x

( x

 

 

 

 

(k)

 

(k 1)

 

 

Произвольное приближение запишем как:

 

x

 

( x

)

 

 

1

 

(k)

(k)

(k 1)

На каждой итерации вычисляем вектор

x

x

x

 

 

 

 

(k)

и проверяем условие окончания итерационного процесса || x

||

где заданная точность

Решить СНУ с точностью =0.1

Преобразуем каждое уравнение

2x1

3x12

x1

x2

2

1 0

 

 

(0)

 

0.5

x2

 

при

x

 

 

 

 

 

 

x2

2 0

 

 

 

0.5

 

 

2

 

 

 

 

1( x ) x2

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2 ( x ) 3x12 2

 

x

 

(1)

 

(0)

 

 

0.52 1

 

 

0.63

;

(1)

 

0.13

(1)

|| 1.7544

1

 

1( x

)

 

2

 

 

 

x

 

; || x

 

 

 

 

 

(0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

( x

 

3

0.5

2

2

 

1.25

 

-1.75

 

 

 

 

 

2

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x1

(2)

 

(1)

 

 

 

1.25

2

 

 

1.28

 

 

 

(2)

0.65

 

 

(2)

 

 

 

1( x

)

 

 

 

1

;

 

 

 

 

 

|| 0.7802

 

 

 

 

(1)

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

; || x

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

3 0.63

2

 

0.83

 

 

 

 

 

0.42

 

 

 

 

 

 

 

2 ( x

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

(3)

 

(2)

 

 

 

 

 

 

2

 

0.84

 

 

 

(3)

- 0.44

 

 

(3)

 

 

 

1( x

 

)

 

( 0.83

1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

|| 3.7784

 

 

 

 

(2)

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

; || x

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3.75

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

3

1.28

2

 

2.92

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ( x

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итерационный процесс расходится.

x1

Попробуем, по другому осуществить преобразование.

x2

 

 

 

x2

2

1( x )

 

3

 

 

2 ( x ) 2 x1 1

x1

(1)

 

(0)

 

 

 

0.5 2

 

 

0.913

(1)

 

0.413

(1)

 

 

 

1

( x

(0)

)

 

 

3

 

 

;

x

 

; || x

|| 0.648

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

2 0.5 1

0.000

 

 

0.500

 

3

 

 

2

( x

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

(2)

0.816

(2)

x1

(3)

0.985

 

(3)

 

 

 

;

|| x

|| 0.9138

 

 

 

;

|| x

|| 0.202

x2

0.909

 

 

x2

0.796

 

 

x1

(4)

0.965

 

(4)

x1

(5)

0.997

(5)

 

 

 

;

|| x

|| 0.189

 

 

 

;

|| x

|| 0.038

x2

0.985

 

 

x2

 

0.965

 

 

Процесс сходится к решению.

Если не удаётся преобразовать исходную СНУ к итерационному виду, который будет сходится, то можно воспользоваться общим приемом.

 

 

 

 

 

 

 

f ( x ) 0 ;

f ( x ) 0 ;

x

x f ( x )

 

 

 

 

(k)

(k 1)

(k 1)

)

Итерационную формулу запишем

x

x

f ( x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где матрицу

 

 

 

 

 

можно представить диагональной, а подбором значений элементов, можно добиться 4 сходимость итерационного процесса.

Метод Ньютона-Рафсона

 

 

 

(k 1)

 

 

 

 

Пусть известно некоторое приближение x

к решению

x*

 

 

(k 1)

(k)

 

(k)

 

(k 1)

Запишем исходную систему в виде f ( x

x

) 0 ,

где x

x* x

Разложим функцию в ряд Тейлора и ограничимся линейными членами.

(k 1)

 

(k)

 

(k 1)

 

 

 

(k 1)

(k)

 

 

 

 

 

f ( x

)

 

f ( x

x

) f ( x

)

 

x

0

(k 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

(k 1)

(k)

 

(k 1)

 

 

 

 

f ( x

)

 

 

 

 

 

x

 

f ( x

)

 

 

 

 

(k 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(k)

Это система линейных уравнений относительно x

5

Матрица Якоби

 

 

 

 

 

 

 

 

f ( x )

 

 

 

 

1

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

 

 

f ( x )

 

f2 ( x )

J

 

 

x1

 

 

 

 

 

x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fn ( x )

 

 

 

 

x1

f1( x )

x2

f2 ( x )x. 2

fn ( x )

x2

 

 

 

.

f ( x )

1

 

 

xn

 

 

 

 

.

f2 ( x )

xn

 

.

 

.

 

.

 

 

fn ( x )

 

xn

 

 

(k)

 

(k 1)

 

1

 

 

(k 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда x

 

J

 

 

 

( f ( x

 

)), а новое приближение к решению СНУ будет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

(k)

 

 

 

 

 

(k)

 

(k)

(k 1)

(k 1)

 

 

 

(k 1)

 

 

(k 1)

))

иметь вид: x

 

x

 

x

или

x

x

J

 

( f ( x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Условие окончания итерационного процесса является выполнения неравенства

(k)

(k)

(k)

(k 1)

x

, где x

x

x

6

 

Решить приведенный выше пример =0.1

 

(0)

 

0.5

 

 

 

 

2

 

 

2 x2

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.5

 

 

 

6 x

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

(1)

x1

 

(0)

 

 

2

 

 

2 x02

 

1

 

 

(0)

 

 

0.5

 

2

1

1

 

 

0.25

 

 

 

 

 

 

 

f ( x

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

1

(0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

x

 

1

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

( x

 

 

0.5

 

 

1

 

 

 

1.75

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

f2

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.5

 

1

1

 

0.25

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.5

 

 

3

2

 

 

1.75

 

 

3.25

 

x

 

(2)

 

1.323

 

(2)

 

 

 

1

 

 

 

 

 

|| x

 

|| 1.53

 

 

 

 

 

 

;

 

x

2

 

 

1.878

 

 

 

 

 

 

x

(4)

1.007

 

(4)

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

|| x

 

|| 0.223

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

x

2

 

 

1.029

 

 

 

 

 

(1)

 

1.5

(1)

|| 3.132

x

 

; || x

 

 

2.75

 

 

 

x

 

(3)

1.070

 

(3)

 

1

 

 

|| x

|| 0.684

 

 

 

 

 

;

x2

 

 

1.243

 

 

 

x

 

(5)

1.000

 

(5)

 

1

 

 

|| x

|| 0.029

 

 

 

 

 

;

x2

 

 

1.001

 

7

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

1.000

f1

(x1

, x2 )

 

0.001

 

 

 

;

 

 

 

 

 

x2

1.001

f1

(x1, x2 )

 

0.000

8

Соседние файлы в папке Лекции по ВычМат VBA